Prenons un nombre au hasard : 1729. Ecrivons-le à l’envers : 9271 et additionnons les deux nombres : 1729+9271=11000. Recommençons avec ce nombre : 11000+00011 = 11011.
Ce nombre est égal à lui même écrit à l’envers, c’est un nombre palindrome, comme le mot « radar » ou la phrase « élu par cette crapule » si on ne tient pas compte des espaces, ou encore « le grand palindrome« , un texte de 5566 lettres écrit par Georges Perec en 1969.
Tiens, refaisons le calcul avec 1969 pour voir :
1969+9691 = 11660
11660+06611 = 18271
18271+17281 = 35552
35552+25553 = 61105
61105+50116 = 111221
111221+122111 = 23332 : palindrome !
Bizarre n’est-ce pas ? En fait on peut prendre n’importe quel nombre de départ, et la séquence d’opérations arrive inévitablement à un nombre palindrome en un nombre fini d’itérations. C’est du moins ce que l’on conjecture, car il y a deux problèmes :
- nos amis mathématiciens n’ont aucune idée de la raison qui fait que ça marche, entre autre parce que « écrire un nombre en base 10 à l’envers » n’a pas de signification mathématique simple.
- il y a un gros hic. Si on commence avec 196, on n’arrive pas à un palindrome même après 300 millions d’itérations…
196 est le plus petit des « nombres de Lychrel » (en l’honneur de Cheryl, la petite amie du matheux qui a proposé cette propriété) : les nombres qui n’aboutissent apparemment pas à un palindrome … Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.
Ce qui est intéressant aussi, c’est la distribution du nombre d’itérations : très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus
Par exemple pour les nombres de 1 à 99, on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins pour 98 nombres, 79 et 97 ont besoin de 6 itérations, mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.
Pour les nombres de 1 à 999, 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins, 13 sont des nombres de Lychrel et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes : 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations
Poussons jusqu’à 10’000 : à part les 249 (edit du 6.1.14 : et non 246) nombres de Lychrel, il n’y a toujours pas d’autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.
La quête du « palindrome le plus retardé » a commencé par ces résultats :
| Nombre | Iterations | Palindrome |
| 10911 147996 150296 1000689 1005744 1017501 7008899 9008299 |
55 58 64 78 79 80 82 96 |
4668731596684224866951378664 8834453324841674761484233544388 682049569465550121055564965940286 796589884324966945646549669423488985697 796589884324966945646549669423488985697 14674443960143265333356234106934447641 68586378655656964999946965655687368586 555458774083726674580862268085476627380477854555 |
le record du monde actuel (2008) date de 2005 et concerne le nombre 1’186’060’307’891’929’990, qui produit un palindrome de 119 chiffres après 162 itérations.
On voit que le nombre maximal d’itérations requises n’augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel encore plus intriguants et exceptionnels.
A propos : j’ai commencé cet article par mon nombre fétiche 1729 parce que celui de Zinzin, 1548 est peu intéressant : 1548+8451 = 9999. Ou alors, 30 ans plus tard, je viens de découvrir une nouvelle propriété de ce nombre …
Références:
- forum avec un bout de code Python pour le calcul de palindromes
- 196-Algorithm sur MathWorld
26 commentaires sur “Palindrome de 196”
J’ai résolu la conjecture du nombre de Lychrel 196 et de tous les autres nombres de Lychrel et ma solution est à la portée de tous! Comment la valider?
Curieux, 196 est un carré, celui de 14 par 14,,,voir le cycle de fécondité féminine quiintroduit la possibilité des êtres donc des infinis éternellement dans cette dimension d’ espace temps matière
Il y a plus…
Bonjour, je penses avoir « découvert » un palindrome du nombre 196
Très bien ! Le site de référence est http://www.p196.org , je vous suggère d’y soumettre votre découverte.
Bon alors j’ai un peu creusé l’idée d’Alex qui consistait initialement à partir du nombre négatif -196, mais qui revenait à définir la série en soustrayant l’inverse plutôt qu’en l’additionnant. Pour 196 (ou -196) on obtient:
196-691=-495
-495+594=99 : palindrome!
99-99=0 juste après, et ensuite on boucle indéfiniment sur 0, avec une période de 1
Après avoir fait un petit programme Python qui explore cette série, j’ai trouvé que 1012 est le premier nombre qui ne revient pas à 0 après un palindrome. Voici la série qu’il produit :
-1089 8712 6534 [2178 -6534 -2178 6534]
La partie entre crochets boucle : on ne trouve donc jamais de palindrome, mais un cycle infini.
En recherchant la série des nombres ayant cette propriété (1012 1023 1034 1045 1067 1078 …) je me suis aperçu que tout ceci est déjà documenté dans l’OEIS sous le nom de « Reverse and Substract »:
https://oeis.org/A072140 répertorie justement les nombres ne menant pas à 0, ou autrement dit ceux qui ont un cycle limite plus long que 1
Donc voilà Alex, c’était une excellente idée. Le fait que quelqu’un l’ait déjà eue ne doit pas vous décevoir mais vous encourager. En tout cas je vous remercie de m’avoir contacté à ce sujet.
Il n’en a pas de palindrome cher Monsieur et cela sera expliqué au moment opportun! 196 est soumis à un cycle et ce cycle est infini et c’est ce qui fait qu’il n’a pas de palindrome même après une infinité d’itérations! Si ce cycle est infini, les itérés sont aussi infinis!
soumettez la à un journal de maths.
il y a 2 sortes de conjectures, celles qui sont en bas de l’escalier et celles qui sont en haut, et l’escalier n’a qu’une marche.
il ne faut pas fantasmer sur mes aptitudes, je n’ai pas de formation mathématique, j’utilise le raisonnement.
si ça vous intéresse, je vous l’écris, s’il y a des erreurs, vous ne manquerez pas de me le dire.
j’ai 59 ans et je suis au chômage, tout travail mérite salaire, ce n’est pas de la cupidité.
seule la vérité m’intéresse, la gloire je te la laisse volontiers.
je renouvelle ma question, y a-t-il quelque chose à la clef, autre que la gloire?
Désolé, ce n’est pas un des « problèmes du millénaire » récompensé par 1 million de dollars par la fondation Clay.
Je classerais la « conjecture 196 » dans la catégorie de difficulté « autres théorèmes » de https://drgoulu.com/2007/04/14/les-problemes-mathematiques-difficiles/ , comme le Grand Théorème de Fermat par exemple.
Ne sous estimez surtout pas la difficulté de ce problème : le résoudre requiert de développer de nouveaux outils mathématiques. Donc je dirais que si vous arrivez à progresser dans ce domaine ( voir http://mathoverflow.net/questions/117104/status-of-the-196-conjecture ), vous devriez obtenir un poste de chercheur en maths assez facilement…
trouver la solution rapporterait quelque chose?
la gloire 😉 Quand on est un « pourquoi » ça suffit, et je peux vous dire que ça fait très plaisir de découvrir quelque choses en maths. Mais si vous êtes un « combien », vous ne pouvez pas comprendre… ( https://drgoulu.com/2009/03/07/pourquoi-comment-combien/ )
Cet article est intéressant mais comporte une petite erreur : il y a 249 nombres de Lychrel potentiels sous 10000, et non 246. Probablement, n’ont pas été pris en compte les 3 nombres inférieurs à 10000 qui, à l’instar de 4994, sont potentiellement nombres de Lychrel, bien qu’étant des palindromes à l’«itération 0». Mais, selon la définition stricte des nombres de Lychrel, ils en font partie.
Cordialement,
Lucas GIERCZAK.
Vous avez absolument raison, d’autant que c’est la réponse au problème 55 du Project Euler que j’avais trouvée… je ne me rappelle plus d’où vient ce 246, mais j’ai corrigé, merci !
Bonjours, j’aimerais que l’on me dise S.V.P » combien y a t-il de nombre palindromique a 365 chiffres? » merci deme repondre au plus tard mardi
Le but du défi de Villani dans Le Monde c’est que vous calculiez ça vous même… Mais je vais vous aider un peu : la moitié des chiffre est l’image miroir de l’autre moitié.
merci beaucoup pour votre réponse rapide.
J’ai maintenant de quoi m’occuper pour un moment
A bientôt
thierry
bonjour Dr. GOULU
Je m’amuse beaucoup chez vous. Ne suis pas matheux du tout (mais pas du tout) juste curieux, c’est dejà ça. Je voudrais bien jouer avec vous. Pourriez vous me donner la liste des nombres de lychrel jusqu’à 1000 ou me dire comment l’obtenir grace a un code python svp.
Merci d’avance
P.S : super site vraiment merci
merci pour les compliments, content que ça vous plaise.
Les nombres de Lychrel inférieurs à 1000 sont:
196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986
C’est du moins ce que prétend ce code Python (utile pour le problème EulerProject 55)
def is_lychrel(n): n = str(n) for count in xrange(0, 50): n = str(int(n) + int(n[::-1])) if n == n[::-1]: return False return True for n in range(0, 1000): if is_lychrel(n): print(n)Voilà j’ai modifié le code Python pour pouvoir faire le test en n’importe quelle base :
En binaire, il a été prouvé que certains nombres ne convergent pas vers un palindrome. C’est même très fréquent : 329 nombres sur les 1000 premiers et 3750 sur les 10’000 premiers ne convergent pas.
les bases 3,4,5 ne convergent pas mieux que la base 10, qui a 13 nombres inférieurs à 1000 et 246 inférieurs à 10’000.
En voyant tout d’abord que les bases 6,7, et 8, puis 11,13,17,25 puis 33,34,45 ne présentent aucun nombre inférieur à 1000 (décimal) qui ne converge pas vers un palindrome, je croyais avoir trouvé des bases « magiques » (qui plus est « premières » selon mon intuition). mais hélas elles ont toutes des nombres entre 1000 et 10’000 qui ne convergent pas, du moins après 1000 itérations.
En conclusion il semblerait bien que la conjecture sur les nombres palindromiques soit valable dans beaucoup de bases …
Ci dessous mes résultats en 3 colonnes:
– première colonne : la base
– deuxième colonne : nombre de nombres inférieurs à 1000 qui ne convergent pas
– troisième colonne : nombre de nombres inférieurs à 10’000 qui ne convergent pas
2 329 3570
3 71 1674
4 54 1433
5 15 727
6 0 447
7 0 155
8 0 336
9 6 355
10 13 246
11 0 109
12 9 134
13 0 126
14 4 64
15 3 119
16 12 193
17 0 105
18 10 170
19 13 146
20 6 106
21 7 164
22 8 116
23 8 178
24 4 77
25 0 133
26 2 179
27 2 83
28 2 129
29 2 107
30 2 137
31 2 158
32 1 126
33 0 146
34 0 122
35 0 154
@Hervé : bonne question. D’après http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumberConjecture.html la conjecture a été prouvée comme fausse pour les bases puissances de 2 (en binaire, 10110 ne produit jamais de palindrome)
Comme je ne trouve pas d’info sur les autres bases, je suppose que ça doit être une conjecture « plausible » dans les autres bases aussi.
Je devine l’idée de l’ami matheux : si on pouvait démontrer la conjecture dans certaines bases et l’infirmer dans d’autres, on pourrait peut être en déduire quelque chose pour la base 10 …
Mon instinct me pousserait à étudier les « bases premières » 3,5,7,11 … vais étendre mon petit code Python ASAP …
A pardon, je m’etais trompe, je croyais que le second nombre etait le resultat a l’iteration suivante, ce qu iaurait ete une erreur flagrante!
Autre question, d’un ami matheux (Benjamin Enriquez): de tels nombres existent-ils dans d’autres bases?
heu… je l’avais pas vérifié mais ça à l’air juste : voici les 55 sommes :
22812
44634
88278
175566
841137
1572285
7395036
13700973
51601704
92312319
183633648
1029970029
10230769230
13527472431
26954944962
53899890924
96809790759
192519581628
1018705496919
10215650575020
12273156226221
24535421363442
48971733816984
97933567534968
184877144068947
934737585847428
1759486171584867
9444337888434438
17788686775768887
96675444544457658
182350889088915327
905870770076968608
1712740440154047117
8830144950594519288
17659299901188929676
85352288012188225347
159704576133276450705
666759248464951858656
1323617407929794816322
3559802387226841979553
7119593873454674069106
13139198637998458028223
45421284127972147221354
90733558255944295433808
171567017500899580967517
887336103498905291732688
1773573296008799593366476
8520207255986806517120247
15940424412073702044140505
66444568432810723486545456
131899136865512546973089922
361879516510728115605088053
712760023022555131221066216
1325420145154110351541133433
4668731596684224866951378664
10911 -> 4668731596684224866951378664 apres 55 iterations
Bizarre, je n’ai pas la meme suite avec 10911.
c’est toujours fascinant ces propriétés étranges que l’on découvre dans les nombres…merci pour la plongée dans les palindromes numériques…!
à bientôt !