Le cadran des trois neufs
(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code … Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester MathJax pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)
Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.
Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 (
\[mathjax\]\(1=9^{9-9}\) ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:
- les 4 opérations de base
- la racine carré et la racine x-ième
- la factorielle (il y a d’ailleurs une erreur : \(5= \sqrt{9}!-9/9\) et pas \(\sqrt{9!}-9/9\) comme sur la photo)
- le développement décimal périodique noté \(\overline{.x}\) et valant x/9. Et oui, \(\overline{.9} = 1\) (voir Développement décimal de l’unité )
- la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x
Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines “heures” facilement:
- \(1 = x^{x-x}\)
- \(2 = (x+x)/x\)
- \(x-1 = x-x/x\)
- \(x = \sqrt \[x\]{x^x}\), parmi plusieurs autres possibilités
- \(x+1 = x+x/x\)
- \(11 = xx/x\), où xx désigne la concaténation de deux x
- \(3x = x+x+x\)
- \(9-x = x/\overline{.x} -x\)
- \(x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}\)
- \(x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}\) (trouvé par ced…)
- \(9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}\) (bravo ced !)
- \(2x = x+\sqrt{x*x}\) (encore ced !)
- \(3 = \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}\) (bien vu Danakh)
Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions “hors-recettes” que j’ai trouvées :
| x/heure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) |
| 2 | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) |
| 3 | (g) | (e) | (d) | (c) | (m) | (h) | (m) | (m) | \(\sqrt{9}+9-9\) |
| 4 | (i) | (l) | (e) | (d) | (c) | \(\sqrt{6*6}*\overline{.6}\) | (j) | \(8-\sqrt{8+8}\) | \(\sqrt{9}+9/9\) |
| 5 | \(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\) | (i) | \(3!-3/3\) | (e) | (d) | (c) | (j) | \(\sqrt{9}!-9/9\) | |
| 6 | \((1+1+1)!\) | (g) | \(3!+3-3\) | \((4-4/4)!\) | (e) | (d) | (c) | \(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\) | (j) |
| 7 | (h) | \(3!+3/3\) | \((4!+4)/4\) | (e) | (d) | (c) | \(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\) | ||
| 8 | (h) | \(2*2*2\) | \((3!/3)^3\) | \(4!-4*4\) | (i) | \((6+6)*\overline{.6}\) | (e) | (d) | (c) |
| 9 | (k) | (k) | (g) | (k) | (k) | (k) | (k) | (e) | (d) |
| 10 | \(11-1\) | \(4+4+\sqrt{4}\) | (l) | \(6+6*\overline{.6}\) | (i) | \(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\) | (e) | ||
| 11 | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) |
| 12 | \(11+1\) | \((2+2)!/2\) | \(3*3+3\) | (g) | \(5!/(5+5)\) | (l) | \(8+\sqrt{8+8}\) | \(9+9/\sqrt{9}\) |
Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:
En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à \(x = \sqrt{x*x}\) comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…
Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:
- le cadran du 4. El Jj avait d’ailleurs remarqué la “fertilité” du quatre il y a longtemps.
- ceux du 1 et du 6, obtenus grâce à la sagacité de Danakh. Bravo² !
- celui du 8, brillamment terminé par Groug grâce à un Œuf de Colomb de plus. Bravo !
En autorisant quatre répétitions, on peut:
- remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes \(8 = x/\overline{.x} - x/x\) et \(10 = x/\overline{.x} + x/x\), ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
- et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5
Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?
