(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code… Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester MathJax pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)
Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.
Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 ( \(1=9^{9-9}\) ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:
- les 4 opérations de base
- la racine carré et la racine x-ième
- la factorielle (il y a d’ailleurs une erreur : \(5= \sqrt{9}!-9/9\) et pas \(\sqrt{9!}-9/9\) comme sur la photo)
- le développement décimal périodique noté \(\overline{.x}\) et valant x/9. Et oui, \(\overline{.9} = 1\) (voir Développement décimal de l’unité)
- la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x
Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines « heures » facilement:
- \(1 = x^{x-x}\)
- \(2 = (x+x)/x\)
- \(x-1 = x-x/x\)
- \(x = \sqrt[x]{x^x}\), parmi plusieurs autres possibilités
- \(x+1 = x+x/x\)
- \(11 = xx/x\), où xx désigne la concaténation de deux x
- \(3x = x+x+x\)
- \(9-x = x/\overline{.x} -x\)
- \(x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}\)
- \(x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}\) (trouvé par ced…)
- \(9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}\) (bravo ced !)
- \(2x = x+\sqrt{x*x}\) (encore ced !)
- \(3 = \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}\) (bien vu Danakh)
Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions « hors-recettes » que j’ai trouvées :
| x/heure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) | (a) |
| 2 | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) | (b) |
| 3 | (g) | (e) | (d) | (c) | (m) | (h) | (m) | (m) | \(\sqrt{9}+9-9\) |
| 4 | (i) | (l) | (e) | (d) | (c) | \(\sqrt{6*6}*\overline{.6}\) | (j) | \(8-\sqrt{8+8}\) | \(\sqrt{9}+9/9\) |
| 5 | \(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\) | (i) | \(3!-3/3\) | (e) | (d) | (c) | (j) | \(\sqrt{9}!-9/9\) | |
| 6 | \((1+1+1)!\) | (g) | \(3!+3-3\) | \((4-4/4)!\) | (e) | (d) | (c) | \(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\) | (j) |
| 7 | (h) | \(3!+3/3\) | \((4!+4)/4\) | (e) | (d) | (c) | \(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\) | ||
| 8 | (h) | \(2*2*2\) | \((3!/3)^3\) | \(4!-4*4\) | (i) | \((6+6)*\overline{.6}\) | (e) | (d) | (c) |
| 9 | (k) | (k) | (g) | (k) | (k) | (k) | (k) | (e) | (d) |
| 10 | \(11-1\) | \(4+4+\sqrt{4}\) | (l) | \(6+6*\overline{.6}\) | (i) | \(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\) | (e) | ||
| 11 | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) | (f) |
| 12 | \(11+1\) | \((2+2)!/2\) | \(3*3+3\) | (g) | \(5!/(5+5)\) | (l) | \(8+\sqrt{8+8}\) | \(9+9/\sqrt{9}\) |
Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:
En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à \(x = \sqrt{x*x}\) comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…
Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:
- le cadran du 4. El Jj avait d’ailleurs remarqué la « fertilité » du quatre il y a longtemps.
- ceux du 1 et du 6, obtenus grâce à la sagacité de Danakh. Bravo² !
- celui du 8, brillamment terminé par Groug grâce à un Œuf de Colomb de plus. Bravo !
En autorisant quatre répétitions, on peut:
- remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes \(8 = x/\overline{.x} – x/x\) et \(10 = x/\overline{.x} + x/x\), ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
- et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5
Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?
22 commentaires sur “Le cadran des trois neufs”
Bon, on commercialise les cadrans complets ?
J’y ai aussi pensé… pas sur que le marché soit énorme…
Je vois plutôt un « générateur d’horloge » sur le net où tu entres tes chiffres fétiches et ça te génère le cadran pour quelques Euros
Oh ben faut voir ; j’ai certainement un tas de connaissances qui trouveraient ça zinzin à souhait ! Dans les boîtes d’info je pense que ça plairait.
Sinon, le plus simple est peut-être de faire faire des stickers, et y mettre au centre une horloge murale sans chiffre
http://www.maisonludique.com/38368-thickbox/horloge-aiguilles-murales-argent-hands-90cm-nextime.jpg
Dans la même veine : on a aussi 5 = x / (.x + .x). Ca aide pour x=1 et 7.
Si on a droit à .x barre = 0.xxxxxxxx… = x/9, on doit logiquement avoir droit à juste .x = 0.x = x/10. Du coup pour tout x on a
10 = racine(x*x)/.x
Ca complète 2 et 3.
mouais, j’ai hésité d’autant que le .x est accepté dans le jeu de l’année et le « quatre quatre » niveau 0, mais comme il n’est pas utilisé sur la photo du cadran 9, je ne l’ai pas inclus.
En admettant (bravo quand même !), on arriverait à terminer le cadran du 7 avec 12 = 7+ 7/(.7+.7), donc tous les cadrans seraient possibles avec max. 4 répétitions, ce qui n’était pas évident de prime abord (pour moi).
Mais si on admet pas le x/.x = 10 ? combien de 7 faut-il pour faire le 5 et le 12 ?
Avec des 8 :
4 = 8 / racine(racine(8+8))
6 = 8 – racine(racine(8+8))
10 = 8 + racine(racine(8+8))
12 = 8 + racine(8+8)
Et un cadran de plus !
Wow ! Bravo Groug ! Je me disais aussi que le 4 étant « si simple », le 8 ne pouvait pas être si compliqué 🙂
$10=2^{2^2}+2$
pas de problème, excepté qu’il y a quatre 2 😉
Ha tiens la ligne du 3 est facile en faite : racine carré(racine carré(x*x)/.x)
et on peut facilement rajouter :
racine carré(1/.1) – 1 = 5
racine carré(1/.1) + 1 = 7
bien vu !
par contre je ne te suis pas sur racine carré(1/.1) – 1 = 5 et racine carré(1/.1) + 1 = 7 …
1/.1 = 9 , non ? il manque un 2* quelque part me semble t’il …
bien vu !
par contre je ne te suis pas sur racine carré(1/.1) – 1 = 5 et racine carré(1/.1) + 1 = 7 …
1/.1 = 9 , non ? il manque un 2* quelque part me semble t’il …
J’ai oublié le factoriel pour faire du 3 un 6 🙂
racine carré(1/.1)! – 1 = 5
racine carré(1/.1)! + 1 = 7
mais c’est bien sur ! J’ai les yeux qui clignotent à force de regarder ce tableau …
Et ça termine la tableau du 1 ! (1 factorielle…) Incroyable !
BRAVO à tous
encore un petit : ((3!)/3)^3 = 8
Last ime I check didn’t 2*2*2 = 8 ???
So obvious that we missed it 😀
Bravo à ced et Danakh dont les commentaires matinaux m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code… Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes.
Pour obtenir 9 avec 3 fois le chiffre 1 : 9 = 1/.1 *1
En s’inspirant de (i), x-3 = x-Racine(x/.x)
On en tire le 4 pour x=7 et le 5 pour x=8
Et pour pour le 9 :
9=(Racine (x*x))/.x
Bonjour,
Avec trois répétitions, je propose : 2x = (Racine carré(x*x))+x
qui remplit le 10 pour x=5, le 12 pour x=6 et le 4 pour x=2
Et par ailleurs 12 = (2+2)!/2