Simpson | Dr. Goulu

"Contre-exemples" au théorème de Fermat-Wiles

Fri, 25 Mar 2016 00:00:00 +0000

vient de remporter le pour sa démonstration du qui dit qu’il n’existe pas de solution de l’équation an+bn=cn pour a,b,c,n entiers et n>2. Pourtant :

il a en réalité “seulement” démontré un cas particulier du (aussi appelé conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) dont le théorème de Fermat résulte directement
quelques semaines après la publication des quelques 100 pages de la démonstration d’Andrew Wiles en 1995 , Homer Simpson se promène nonchalamment et en 3D devant un contre-exemple : 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Cette égalité est due à , matheux et co-scénariste de cette . Si on la vérifie sur une calculatrice standard, on trouve que le terme de gauche vaut 2.541210259e+39 et que celui de droite vaut… 2.541210259e+39 ! C’est un contre-exemple du Grand théorème de Fermat, et la démonstration d’Andrew Wiles ne vaut pas tripette!

Mais en fait non:

Avec plus de décimales ou Python, on voit que le terme de gauche vaut 2541210258614589176288669958142428526657 et celui de droite 2541210259314801410819278649643651567616. Ca fait une gigantesque différence de 700212234530608691501223040959, mais comme elle représente moins d’un milliardième des nombres précédents (2.75 10-10 pour être précis), une bête calculatrice du siècle passé qui ne calculait qu’avec 9 chiffres significatifs ou en nombres flottants sur 32 bits pouvait considérer ce chiffre comme comparativement négligeable.
quatre grands problèmes scientifiques résolus sur un seul tableau !

En y regardant de plus près, on voit tout de suite que l’égalité est fausse car comme 1782 est pair, 1782¹² l’est aussi et comme 1841¹² est impair pour les mêmes raisons, la somme 782¹² + 1841¹² est impaire. Or 1922¹² est pair…

Informé de cette dernière objection, David X. Cohen a fait apparaître dans un autre épisode le tableau noir suivant, sur lequel se trouve un autre faux contre-exemple : 3987¹² + 4365¹² = 4472¹². Belle conscience professionnelle, n’est-ce pas ?*

Cette fois l’égalité proposée respecte la parité, et est “moins fausse” que la précédente puisque la différence ne représente que 1.89 10-11 des termes.

Je me suis alors posé trois questions:

y’a-t-il beaucoup de tels contre-exemples ?
y’a-t-il une raison particulière au fait que les deux exemples de David X. Cohen utilisent la puissance 12 ?
peut-on en trouver qui sont encore moins faux que 1.89 10-11 ?

J’ai donc écrit un ** qui génère les triplets (a,b,c) tels que an+bn=cn est juste à 10-9 près, en balayant les nombres a et b entre 100 et 100'000 et incrémentant n à partir de 3. Ce programme s’est révélé productif au point de pouvoir répondre facilement à la question No 1 : oui, il y a des centaines de faux contre-exemples de la qualité de ceux des Simpson pour chaque p et 100 < a,b < 100'000.

Le plus petit faux contre-exemple trouvé donnant une différence inférieure à 10-9 est 1295³ + 216³ = 1297³ . La différence entre les deux termes 2181825071 et 2181825073 n’est que de 2 !

Celui ayant la précision relative la plus élevée est 487674 + 245764 = 495354 L’erreur relative n’est que de 5.1 10-16 soit juste deux fois plus que la précision des nombres flottants sur 64 bits de la plupart des calculatrices actuelles.

A la puissance 5, le record de précision est 843855 + 834525 = 964035 (à 5.67 10-15 près), ensuite la précision des contre-exemples les moins faux diminue lentement quand la puissance augmente. A la puissance 12 il y a 1931112 + 1882112 = 2021812 (1.95 10-12) qui est meilleur que celui de David X. Cohen, qui s’est probablement limité aux nombres de 4 chiffres. Mais je n’ai rien remarqué de particulier pour n=12

Voilà Andrew, comme 99.99% de la population je n’ai rien compris à ta prodigieuse démonstration qui a nécessité 20 ans de vérifications avant que tu reçoive enfin ce prix bien mérité. Je me joins à David et Homer pour te dire juste Bravo !

Notes:

* la dernière ligne du tableau concerne évidemment la topologie (et non, un donut n’est pas isomorphe à une sphère), mais quelqu’un sait-il à quoi correspondent les lignes 1 et 3 ? Je doute que Cohen ait sorti ces équations de nulle part…

** pourquoi Python ? entre autres parce qu’il gère l’ de façon transparente : rien de spécial à faire pour manipuler des nombres énormes.

Références

Andrew Wiles. “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”, 1995, Annals of Mathematics 142 (3): 443–551. . ( )
séquence “Homer³” dans “ ", épisode 6 saison 7, 1995
, Les Simpson épisode 2 saison 10, 1998
video “ ” de Numberphile sur ce sujet (en anglais)

20 ans de Science Simpson

Sun, 07 Mar 2010 00:00:00 +0000

Pour les 20 ans des , alors que le sexe n’est qu’un thème très secondaire dans la meilleure série animée du monde. Par contre la science y est très présente, ce qui justifie amplement un article sur Dr. Goulu, en plus des livres existant déjà sur le sujet

\[1,2,3\]

Maths

Il faut dire que , comme diplômé en physique de Harvard et en informatique de Berkeley

\[5\]

. C’est à lui qu’on doit l’égalité 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² devant laquelle Homer passe sans sourciller en entrant dans la 3ème dimension (séquence “Homer³” de l’épisode S07E06)

Mais vous qui savez que le dit qu’il n’existe pas de solution de l’équation an+bn=cn pour a,b,c,n entiers et n>2, vous bondissez sur votre calculatrice et, ô stupeur, vous croyez l’espace qu’il existe un contre exemple invalidant la démonstration de plusieurs centaines de pages due à ! En réalité il s’agit d’un hommage à ce résultat impressionnant publié en 1994 quelques semaines avant l’épisode des Simpson, et il faut effectuer le calcul avec beaucoup de chiffres significatifs ou être assez observateur

\[5\]

pour voir que l’égalité est fausse.

Médecins, inventeur et vrais scientifiques

Les thèmes liés à la santé sont abondamment traités dans les Simpsons : les médicaments et leurs effets secondaires, la fécondation assistée , la transplantation d’organes, l’obésité, les dépendances diverses, les épidémies, les OGM et toutes les problématiques possibles liées à l’alimentation. Les deux médecins de Springfield sont le , qui abuse largement des assurances de santé, et , un authentique charlatan qui vit des habitants qui en sont dépourvus.

A part les deux médecins, le est le seul véritable scientifique de Springfield. Inventeur complètement déjanté, sa productivité est exceptionnelle. On retiendra en particulier

le Citrobon, un bonbon au citron tellement acidulé qu’il doit être conservé à l’intérieur d’un champ magnétique. (S06E09)
Une fusée qui doit détruire la comète avant qu’elle ne s’abatte sur Springfield. Ca rate, mais la comète se désintègre avant l’impact grâce à la densité de la couche de pollution sur la ville. (S06E14)
Il enlève Lisa en la rapetissant à l’aide de son degrandulateur (S07E06)
Un téléporteur, vendu à Homer pour 35 cents (S09E04)
Il a inventé le monstromètre, le glouglouteur, le canularscope, le surgrenouillateur, le délochnessateur.
Evidemment, une machine à remonter le temps (S06E06, S14E01)
Il invente le marteau qui fait tournevis de l’autre côté.
Il cryogénise son père et le refait revivre en remplaçant de nombreux organes vitaux par de l’électronique.
Il reçoit le Prix Nobel de Physique des mains de , prix Nobel de Chimie 1986 (S15E01)

En effet, on trouve dans la série les avatars de véritables scientifiques, et non des moindres, qui ont de plus prêté leur voix à leur personnage. Outre Hershbach il y a le paléontologiste apparait dans l’épisode S09E08 consacré au créationnisme, dont nous reparlerons plus bas.

Physique

Et surtout il y a , physicien cosmologiste a dit des Simpson que c’était la . Il a participé à trois épisodes (S10E22, S16E16, S18E20) , notamment en utilisant sa voix synthétique lors d’une discussion avec Homer sur la topologie en donut de l’Univers.

Dans les Simpson, les références sont souvent très discrètes, à l’intention du public qui peut les percevoir, mais sans frustrer ou ennuyer les autres. Par exemple, la célèbre formule d’Einstein apparait dès le deuxième épisode (S01E02), oùt Maggie, un an écrit MCSQU (MC squared, MC²) avec ses blocs de jeu.

De même lorsque Lisa construit une machine à mouvement perpétuel, c’est de façon très surprenante Homer qui la rappelle à l’ordre (S06E21)

Lisa, viens voir papa… Dans cette maison, on respecte les lois de la thermodynamique !

Le créationnisme

L’un des meilleurs épisodes de la série (S09E08) est consacré à cette plaie des USA, et qui s’étend désormais partout. Suite à la découverte d’un étrange fossile que le bigot et d’autres Springfildiens considèrent comme celui d’un ange, Lisa souhaite appliquer une approche scientifique. A cela Ned Flanders rétorque cette réplique mémorable:

“Moi je dis qu’il y a des choses qu’on n’a pas envie de savoir, des choses importantes!”

Lisa se retrouve au tribunal, accusée d’avoir abimé l’ange pour envoyer un échantillon à Stephen Jay Gould. Au moment d’être condamnée, l’ange s’envole… Si vous ne devez voir qu’un seul épisode des Simpsons dans votre vie, voyez celui-là !

Environnement

Outre le nucléaire dont nous parlerons plus bas, les questions environnementales sont fréquemment abordées dans les Simpson. Souvent Lisa se préoccupe d’un problème grave, mais se retrouve seule contre tous ses concitoyens. Par exemple elle devient végétarienne (S07E05) alors que son cours sur la chaine alimentaire est pourtant clair:

Elle s’oppose aussi au pourtant très populaire et traditionnel massacre des serpents (S04E20), et se montre sceptique sur l’intervention humaine dans les processus naturels (S10E03) :

Skinner : Et bien j’avais tort, les lézards sont une bénédiction ! Lisa : Je trouve que c’est prendre des risques. Qu’est ce qu’il se passera quand on sera envahis par les lézards ? Skinner : Pas de problème, on lâchera des vagues de serpents aiguilles venus de Chine, ils extermineront les lézards ! Lisa : Mais avec des serpents se sera pire ! Skinner : Oui mais, on a prévu le coup. On a déniché une étonnante race de gorilles qui se nourrissent de viande de serpent ! Lisa : Et on aura les gorilles sur les bras ! Skinner : Non, c’est là qu’est l’astuce : quand arrivera l’hiver et le gel, les gorilles mourront de froid !

Lisa se rapproche même d’un mouvement écologiste radical (S12E04) pour sauver une forêt millénaire, avant de militer contre la pollution lumineuse (S14E16) qui l’empêche d’observer les étoiles. Brave petite.

Plusieurs épisodes des Simpson concernent le syndrome “ ” (“Not In My Backyard”) : la société moderne requiert des infrastructures ou des services ayant des effets secondaires un peu désagréables, mais pourquoi les placer devant chez moi plutôt que chez le voisin ?

Le nucléaire

La centrale nucléaire de Springfield est le véritable poumon économique de la ville, et la source de la fortune et du pouvoir absolu de . Dès le troisième épisode de la série (S01E03), on constate que le nucléaire influence jusqu’à la prière du soir d’Homer, (ir)responsable de la sécurité de la centrale (S02E07):

Seigneur, on vous est surtout reconnaissant pour l’énergie nucléaire, la plus sure et la plus propre de toutes les sources d’énergies, mis à part l’énergie solaire, mais ça, c’est du pipeau.

Évidemment, Springfield frôle plusieurs fois la catastrophe. On apprend même que le père de avait sacrifié sa vie pour sauver la centrale (S13E05). Homer, quant à lui, évite de justesse un accident majeur que sa fainéantise avait déclenché (S07E07), ce qui lui vaut les félicitations de Mr. Burns: “Homer, vous avez promptement réagit et fait d’un Tchernobyl un petit pétard radioactif foireux, bravo!”

Lorsqu’ apparaissent des poissons à trois yeux (S02E04) et que 342 manquements à la sécurité sont constatés, Mr. Burns fait la seule chose raisonnable pour éviter la fermeture de sa centrale : devenir gouverneur de l’Etat afin de changer la loi. Dans ce but il produit un clip électoral remarquable:

Burns : Oh ! Bonjour mes amis. Je suis Montgomery Burns, votre futur gouverneur. Aujourd’hui, j’aimerais vous parler de mon petit copain Noenoeil. Nombreux sont ceux qui le considèrent comme un horrible poisson mutant. Ceux-là sont bien loin de la vérité, mais vous n’êtes pas obligé de me croire. Alors demandons à cet acteur qui campe Charles Darwin, ce qu’il en pense. Acteur : Bonjour, M. Burns. Burns : Bonjour, Charles. Soyez gentil, expliquez à nos téléspectateurs votre théorie de la sélection naturelle. Acteur : Avec joie, M. Burns. Voyez vous, régulièrement, notre Mère Nature transforment ses animaux en leur donnant de plus grandes dents, des griffes acérées, des pattes plus longues, ou dans ce cas, un troisième œil. Et s’il s’avère que ces changements représentent une amélioration, le nouvel animal se développe, se reproduit et se répand bientôt à la surface de la Terre. Burns : Ainsi, vous voulez dire que ce poisson pourrait être avantagé par son troisième œil ? Qu’on aurait affaire en quelque sorte à un super poisson ? Acteur : J’aurais envie d’avoir un troisième œil. Et vous ? Burns : Non. Vous voyez mes amis, si nos adversaires, les antinucléaires et écologistes de tout poil, venaient par hasard à tomber sur un éléphant en train de s’ébattre dans les eaux proches de notre centrale, ils mettraient certainement son pauvre nez ridicule sur le compte de la vilaine énergie nucléaire. Non, la vérité c’est que ce poisson au goût exceptionnel est un miracle de la nature. Alors pour conclure, dîtes tout ce que vous voulez sur moi. Je suis en mesure d’encaisser les coups les plus rudes. Mais, je vous en prie, cessez de vous en prendre à ce pauvre Noenoeil sans défense. Bonsoir. Et Dieu vous garde.

Selon Malaspina

\[1\]

, ce discours est “remarquable” par le fait qu’il est structuré selon les concepts de Peter Sandman, un spécialiste de la communication du risque connu aux USA

\[4\]

Science, technique et business dans les Simpson

Comme le montre de façon très convaincante Marco Malaspina

\[1\]

dans son livre, la science et les scientifiques sont souvent caricaturés dans les Simpson, mais l’approche scientifique des problèmes est plutôt valorisées, ou du moins opposée aux croyances et idées toutes faites, souvent ridiculisées.

L’inventivité et le sens pratique sont aussi permanents dans les Simpson. Valeur américaine entre toutes, il y a toujours une solution simple au problème le plus complexe. Et si ça cause des problèmes encore plus graves, d’autres solutions simplistes et absurdes s’imposent. Heureusement pour les Simpson, les problèmes se résolvent souvent tout seuls, d’une manière aussi inattendue qu’hilarante.

Dans les Simpson, les vrais problèmes viennent plutôt des (nombreuses) faiblesses humaines, et en particulier l’attrait de l’argent. Pour M. Burns, mais aussi pour tous la plupart des personnages jaunes à un moment ou un autre, la fin justifie les moyens du capitalisme le plus sauvage. On peut y voir une critique acerbe de la société états-unienne, mais soyons francs : nous nous retrouvons tous dans les Simspon. Peut-être est-ce ce qui nous fait rire si jaune…

Episodes:

(la notation SxxEyy dénote l’épisode yy de la saison xx, le code entre parenthèses étant le code de production de l’épisode)

Sources:

Marco Malaspina (2008). Les Simpson et la science. Vuibert.
Paul Halpern (2007). What's science ever done for us?: what the Simpsons can teach us about physics, robots, life and the universe. John Wiley.
Simon Singh (2013). The Simpsons and Their Mathematical Secrets. Bloomsbury.
“ ” le blog de Paul Halpern
“ ” sur , le site de référence en français
Peter M. Sandman “ ”,

EPA Journal (U.S. Environmental Protection Agency), November 1987, pp. 21–22
Dossier “ ” sur l’Internaute

(article légèrement édité le 24.10.2014 à l’occasion de la découverte de la référence \[3\] dans )