Pythagore | Dr. Goulu

2017 et les triplets pythagoriciens

Mon, 02 Jan 2017 00:00:00 +0000

Au moment d’envoyer un mot à Franck à propos de son livre , je me suis rappelé qu’il était à l’origine de sur la pédagogie appliquée au théorème de Pythagore (et aussi de sur la Relativité). J’ai ainsi découvert celle des sur laquelle baser mes vœux pour cette nouvelle année :

Bonne et Heureuse Année $\sqrt{792^2+1855^2}$ !

En effet, 2017 est un “nombre hypotenuse” ( ), l’hypoténuse du triangle rectangle correspondant au (792,1855,2017). C’est même un triplet pythagoricien “primitif” car ces 3 entiers sont , donc 2017 est un “nombre hypoténuse primitif” ( ).

(3,4,5), le premier et le plus célèbre des triplets pythagoriciens

Car comme on le voit dans , il existe deux sortes de triplets pythagoriciens: les et les composés, qui sont des multiples de triplets plus petits, par exemple (6,8,10) obtenu en doublant (3,4,5). Ca va avoir de l’importance plus bas.

Comment générer les triplets pythagoriciens

Il existe plusieurs algorithmes simples pour générer des triplets pythagoriciens. Ils sont tous mauvais. Ceux qui utilisent deux boucles imbriquées voire trois sont lents, ceux qui calculent la racine carrée en nombres flottants sont imprécis, et tous sont limités par une longueur maximale des côtés recherchés. écrit pour résoudre du ne faisait pas exception.

J’ai depuis découvert l’existence d’une méthode beaucoup plus efficace, mais pas simple. Quelques millénaires après et la , en 1934 pour être précis, un matheux nommé Berggren a démontré que chaque triplet primitif pouvait être généré à partir de (3,4,5) en le multipliant par une combinaison de ces 3 petites matrices :

$R_1 =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\\\ 2 & -1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 3 \\\\ \end{pmatrix}$ $R_2 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2 & 3 \\\\ \end{pmatrix}$ $R_3 =\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\\\ -2 & 1 & 2 \\\\ -2 & 2 & 3 \\\\ \end{pmatrix}$

Un autre matheux nommé Barning ayant montré en 1963** que chaque triplet n’est ainsi produit que d’une et une seule manière , il suffit de parcourir l’ formé en multipliant chaque nœud par chacune de ces 3 matrices pour générer l’un après l’autre tous les triplets primitifs:

Ensuite, un autre bout de code peut multiplier chaque triplet primitif par 2,3,4,… pour ajouter les triplets composés et produire ainsi tous les triplets pythagoriciens l’un après l’autre. C’est ce que fait très efficacement ce .

Oui mais dans l’ordre svp

Une difficulté supplémentaire apparaît si on veut obtenir les triplets triés dans un ordre croissant, par exemple de leur hypoténuse, puis du long côté comme dans ou dans et d’autres séries de l’OEIS. Evidemment, si on ne s’intéresse qu’aux N premiers triplets, on peut toujours les générer, et les trier ensuite. Mais si on veut chercher par exemple le plus petit triplet dont la longueur de hypoténuse est un carré ainsi que la somme des côtés*, on ne connait a priori pas N…

Pour générer les triplets dans un ordre croissant, j’ai incorporé le tri aux fonctions précédentes à l’aide de , mais je ne vais pas accentuer votre mal de cheveux annuel en vous détaillant ça ici. Pour ceux que ça intéresse, de ma librairie Goulib dont je vous reparlerai très bientôt, et où vous pouvez voter pour moi…

Mais bon, juste parce que j’en suis assez content, en testant mon code j’ai découvert une erreur dans : le 20ème terme de la série est 145, pas 142. Et j’ai ainsi pu constater que l’OEIS est un bon site scientifique car il est doté d’un système rigoureux mais efficace de correction des erreurs.

Pour terminer, à tous ceux qui se demandent à quoi peut bien servir tout ça, je recommande la lecture de auquel je n’ai pas tout compris (séquelles du champagne je suppose), mais qui propose une nouvelle méthode de cryptographie basée sur les triplets pythagoriciens.

Comme quoi les années passent, mais les bonnes idées restent et construisent inéluctablement un monde plus intéressant à découvrir.

Mes chers lecteurs, je vous souhaite à tous l’indispensable Santé, le très important Bonheur, et l’Etonnement qu’apportent la curiosité, la découverte et la compréhension de ce monde étrange.

Notes:

* C’est (4565486027761, 1061652293520, 4687298610289=21650172), découvert en 1643 par . (edit du 9.1.2016 :) dont je n’ai aucune idée de comment il a fait à l’époque spectaculaires, d’autant que la recherche avec le générateur proposé dans cet article prend des plombes… vaut décidément bien mieux, et en plus indique .

** Excellente année aussi…

Références:

Franck Le Vallois (2016). L'expérience humaine: Regard sur une métamorphose inachevée. Gouvernances.
Berggren, “Pytagoreiska trianglar”, 1934, Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, p. 129-139.
Barning, F. J. M. “Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices”, 1963 Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, ( )
Spezeski, W. J. “ ”, 2008, Applications and Applied Mathematics: An International Journal, 3(1), 100–112. Retrieved from

Un peu de pédagogie grâce à Pythagore

Sat, 28 Apr 2012 00:00:00 +0000

Je donne des cours depuis longtemps, avec plus ou moins de succès. Parfois mes élèves se sont endormis, parfois ils n’ont pas osé parce que leurs patrons payaient très cher leur formation. Une fois, 300 gaillards ont quitté l’amphi à la cloche sans me lancer de tomates. Une autre fois, une très jolie fille à qui je donnais des cours d’appui en maths a préféré m’épouser… Sans ressentir de véritable vocation d’enseignant, j’aime bien “transmettre mon savoir”, alors à quoi bon la pédagogie ?

Actuellement je passe environ 10% de mon temps de travail à former des collaborateurs, et comme mon employeur dispose d’un centre de formation pour ses 270 apprentis et la formation continue de son personnel, j’ai bénéficié d’une “formation de formateur” de trois jours, une excellente introduction à la . Révélation. On a pris des baffes, mais c’était salutaire. Avis à presque tous mes anciens élèves : je ne donnerai plus de cours comme avant, promis !

En tournant autour du , un participant a mentionné la démonstration du comme exemple type du truc asséné par la et qu’on ne retient pas, parce que ce n’est pas “3U” : utile + utilisable + utilisé. Comme chaque participant devait élaborer une petite formation de 20 minutes, l’ de la mienne était tout trouvé :

“Réconciliez-vous avec Pythagore au point d’être capables de démontrer son Théorème à vos enfants avec du papier et des ciseaux.”

Pour ça j’ai pondu ce et le petit , expérimenté sur mes collègues/cobayes :

2 mins : méthode interrogative “qui se souvient du théorème de Pythagore ?”. Faire dire aux participants qu’il concerne les triangles rectangles, qu’il s’agit de la relation entre la longueur des côtés. Faire dire la relation, ou au moins qu’elle concerne les carrés. Lequel des côtés est appelé hypothénuse ? (là surprise : un participant se souvient que l’ autre s’appelle “ ”, ce que j’avais oublié, car inutile :-) )
3 mins : méthode explicative : il y a environ 2500 ans, a eu l’idée géniale que la relation entre les côtés des triangles rectangles impliquait les carrés. Dessin de la figure de l’interprétation géométrique. Comment a-t-il eu cette idée ? Personnellement je pense que c’est peut-être en découvrant le (3,4,5) et en remarquant que 3²=9, 4²= 16, 9+16=25=5². Ajout du 5.5.12 : c’est bien ça ! je viens de découvrir la des égyptiens grâce à la ! Mais l’existence des triplets comme (3,4,5) ne constitue pas une “démonstration”. Pour démontrer Pythagore, il faut montrer que la relation a²+b²=c² est vraie pour tout triangle rectangle. Une démonstration géométrique se base sur un dessin avec un triangle quelconque, mais peut être répétée quel que soit le triangle.
5 mins : méthode découverte : donner la page A du (j’avais prédécoupé les triangles pour gagner du temps). L’idée est que les participants retrouvent par eux-mêmes l’une des méthodes suivantes:
- le puzzle de animé et en video:
- le réarrangement
5 mins : si on a le temps (on ne l’a pas eu parce que le point ci-dessus prend 10 mins au lieu de 5), voir cette et la reproduire à l’aide de la page B du et de carrés a² et b² à découper :

La démonstration de Gougu, mon cousin chinois du IIIème siècle
6 mins ( 1 min par participant) : évaluation : chacun reproduit la démonstration sans aide.

Au debriefieng, le retour des participants est assez bon, ils ont apprécié mais font remarquer que je n’ai pas parlé de l’utilité du théorème de Pythagore. Et c’est vrai. J’y avais pensé mais je ne voulais pas trop digresser sur la norme euclidienne dans un espace à 3 dimensions et ses applications dans les jeux vidéo (on ne se refait pas…) lorsqu’un participant à mentionné la longueur de la rampe d’un escalier. Effectivement, c’est simple, parlant et je n’y avais pas songé…

Malgré ça j’étais assez content de moi, persuadé que toute l’assistance allait passer la soirée en famille avec mes petits triangles de papier lorsque le formateur me dit : “j’ai rien compris”. Voyant mon air catastrophé il ajoute aussitôt : “par contre j’ai réalisé un truc aujourd’hui, à 59 ans : quand on dit 3 au carré, ça correspond à la surface d’un carré de 3 par 3.” Réalisant que j’étais sorti de sa , je lui ai dit que ce qu’il avait compris était beaucoup plus important que le théorème de Pythagore, et que j’étais très content.

Et je l’étais vraiment, mais la vraie raison pour laquelle j’avais mis sur pied cette formation continuait à me turlupiner : peut-on vraiment enseigner (= transmettre des compétences ) des notions demandant un certain degré d’abstraction (comme les maths) par des méthodes très interactives ? Et même si oui, en quoi découper et bouger des petits triangles en papier serait-il plus pédagogique que tracer des symboles mathématiques sur du papier ? Ou n’est-ce qu’un problème de prérequis ? Quand on “ne sait plus qu’on sait” , la phrase qui tue “mais c’est évident, voyons” n’est pas loin…

En pensant à ça et à l’escalier, je me demande si le problème de l’apprentissage ne réside pas dans la hauteur des marches ? Pour une même pente d’apprentissage, il y a peut être des domaines (lecture, écriture, sciences humaines ?) dans lesquelles l’escalier est formée de nombreuses marches très petites, formant presque une rampe continue alors que lees maths et les sciences “dures” m’apparaissent comme de vraies marches, parfois hautes, correspondant à des notions qu’il faut intégrer, appliquer, digérer avant d’attaquer la marche suivante.

Tout ça m’a aussi donné une idée à propos des : peut-être qu’ils ne nous répondent pas parce que leur société est dirigée par des pédagogues et que leurs mathématiciens, génétiquement incapables de transmettre leur science d’une manière accessible à tous, sont relégués dans une basse caste…

Ensuite j’ai du me concentrer parce qu’un autre participant nous a appris à faire une mayonnaise et je ne voulais pas rater la mienne. Parce qu’une mayonnaise, ça se mange !

Quelques liens:

sur MediaMaths
Elisha S. Loomis (1968). The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs.. National Council of Teachers of Mathematics. (un !)