Nombres | Dr. Goulu

A303935 , ma première suite OEIS

Sat, 09 Jun 2018 00:00:00 +0000

Depuis le temps que je joue avec l’ ( ), ça a fini par arriver : j’ai réussi à y ajouter une nouvelle suite, !

Tout a commencé avec le , qui traite de la somme des factorielles des chiffres (dfs) des nombres ( ). Seuls quatre d’entre eux appelés sont égaux à la somme des factorielles de leurs chiffres : 1, 2, 145 et 40585 ( ).

Quelqu’un a prouvé en 2004

\[1\]

que l’application répétée de la fonction dfs atteint immanquablement un des 4 factorions ou l’une des trois seules et uniques “boucles” suivantes:

169 → 363601 → 1454 → 169 871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Ne restait plus qu’à compter la longueur de l’ de dfs(n), et c’est précisément ce que liste , qui n’était pas encore répertoriée dans l’OEIS.

Publier dans l’OEIS, c’est du sérieux.

Le processus de publication dans l’OEIS est très strict, sur le modèle de certaines publications scientifiques. “The standards are those of a mathematics reference work.” comme ils le mentionnent.

Après s’ il faut préparer tout le contenu comme pour un “papier”, en citant d’autres séries liées et des publications scientifiques. Ensuite des “reviewers” ne se privent pas de demander des précisions et clarifications, voire de corriger la ponctuation… C’est vraiment strict, et ça peut prendre un mois, qui a nécessité 40 itérations avant publication.

J’ai failli abandonner car l’édition de m’avait plutôt fait imaginer un processus collaboratif à la Wikipédia. Puis je me suis dit que puisque “ma” suite était connue depuis quelques années mais pas publiée dans l’OEIS, mes prédécesseurs avaient du se décourager, mais qu’il fallait que quelqu’un se sacrifie, alors voilà :

2, 1, 1, 16, 8, 10, 15, 32, 36, 35, 2, 2, 17, 33, 13, 10, 15, 32, 36, 35, 17, 17, 9, 37, 7, 12, 6, … telle est désormais ma suite d’entiers préférée.

Et une référence “peer reviewed” de plus

\[2\]

Et en Python ?

Le code suivant, tiré de , implante les trois suites mentionnées en Python, à l’aide de la .

\[python\]

def dfs(n): return sum(map(factorial,digits(n)))

A061602=Sequence(0, dfs, desc=“Sum of factorials of the digits of n”)

A014080=Sequence(0,None,lambda n:dfs(n)==n)

def dfcl(n): l=set() i=n while i not in l: l.add(i) i=dfs(i) return len(l)

A303935=Sequence(0,dfcl) )

\[/python\]

Ce code est suffisant pour calculer quelques milliers de termes de A303935, mais pour résoudre le problème 74 rapidement, il faut être légèrement plus subtil… Comme je ne donne pas de solutions aux Problèmes Euler, je vous laisse chercher…

En passant, ce problème était mon 100ème résolu, ce qui fait que je suis passé “Level 4 " !

Référence

\[altmetric doi="10.1017/S0025557200174996" float="right"\]Gupta, S. S. (2004). 88.31 Sum of the factorials of the digits of integers. The Mathematical Gazette, 88(512), 258–261. DOI>
Ph. Guglielmetti, Sequence in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (2018), published electronically at .

Suites infinies en Python

Mon, 26 Jun 2017 00:00:00 +0000

Depuis que je programme en Python, j’entasse les petits bouts de code utiles ou potentiellement réutilisables dans “Goulib”, ma librairie perso et néanmoins disponible en open-source (licence LGPL) sur , , ReadTheDocs pour , avec des

Comme la valeur d’un code se mesure surtout par les tests qui vérifient son bon fonctionnement, je me suis lancé dans un ambitieux projet (de plus…) : tester un maximum de fonctions de mes modules et en calculant des suites de l’ , plus connue sous son acronyme anglais OEIS.

Pour cela j’ai fait un truc dont je suis vachement fier* :

La classe Sequence

Ce ( ) permet de représenter une (sequence en anglais) finie ou infinie de nombres** à partir d’‘une ou plusieurs fonctions passées à :

iterf : un ou générateur produisant les termes de la suite l’un après l’autre
itemf : une fonction retournant le i-ème paramètre de la suite
containf : une fonction renvoyant vrai (True) si son paramètre appartient à la suite.

On peut créer par exemple la série (infinie) des nombres premiers ainsi :

=Sequence(containf= )

Ensuite, l’objet ainsi créé avec n’importe quelle combinaison de ces 3 paramètres peut être utilisé indifféremment:

comme un générateur : for p in A000040() : print(p) # affiche les nombres premiers (jusqu’à l’infini)
comme une liste: A000040 \[999\]# renvoie le 1000ème nombre premier (parce que Python indice à partir de 0…)
comme un ensemble: 201420142013 in A000040 # renvoie True car ce nombre est premier.

Evidemment, si on dispose de fonctions plus efficaces pour chacun de ces paramètres, on peut les utiliser pour rendre les calculs bien plus rapides. Par exemple pour la suite de Fibonacci, on peut exploiter trois algorithmes différents :

=Sequence(iterf= , itemf= , containf= )

En passant, voici comment est définie la séquence “auto descriptrice"qui orne la bannière de l’OEIS ci-dessus:

=Sequence( ( lambda x: ( ( ( ( (x))))) ,1))

Compact et presque clair, non ?

Dérivation

Une Sequence peut être dérivée d’une autre grâce à plusieurs méthodes:

renvoie une Sequence correspondant à la Sequence source filtrée par une fonction. Par exemple: =A000040.filter( ) renvoie les “exposants de Mersenne”, les nombres premiers p tels que $2^p - 1$ est premier.
applique une fonction à chaque terme de la Sequence source. Par exemple la série des carrés des nombres premiers peut se définir ainsi: =A000040.apply(lambda n:n*n)
Pour éviter l’utilisation d’apply dans des cas trivialement simples, l’addition (et la soustraction) d’une Sequence et d’un entier sont définies. Par exemple: = +1 définit les à partir des nombres de la forme $2^{2^n}$
renvoie une Sequence dont le n-ième terme est obtenu en sommant les n premiers termes de la Sequence source: =A000040.accumulate()
renvoie une Sequence produite en appliquant applique une fonction à chaque paire de termes consécutifs. Ainsi la suite des différences entre nombres premiers consécutifs s’écrit: =A000040.pairwise(operator.sub)

On peut aussi combiner deux Sequences pour en créer une nouvelle:

L’opérateur % (modulo, pourquoi pas…) renvoie les termes de la Sequence opérande de gauche qui ne sont PAS dans l’opérande de droite. Ainsi: =A000040 % définit la Sequence des nombres premiers qui ne sont pas
L’opérateur & (and) renvoie les termes de la Sequence opérande de gauche qui sont aussi dans l’opérande de droite. Ainsi: = & A000040 définit la suite des nombres premiers dont qui ne s’écrivent qu’avec des 0 et des 1.
L’opérateur | (or) renvoie la fusion de deux séquences à l’aide du génial . Ainsi: = | définit les nombres ayant 4 diviseurs (dont 1 et eux-mêmes) comme l’union de ceux qui sont le produit de deux nombres premiers avec ceux qui sont le cube d’un nombre premier.

Il y a encore deux méthodes un peu “tirées par les cheveux” du point de vue mathématique, mais qui fonctionnent très bien informatiquement:

renvoie une Sequence (par défaut) en triant les termes de la Sequence d’origine. Par exemple, voici la suites des surfaces des dans l’ordre croissant: =Sequence(math2.primitive_triples).apply(lambda x:x \[0\]*x \[1\]//2) .sort()
renvoie une Sequence où les termes redondants de la suite d’origine sont absents, par exemple: = .unique() // oui, parce que le 5 appartient à deux paires de nombres premiers jumeaux …

Ces méthodes utilisent respectivement et qui fonctionnent tant que la suite initiale est “presque” triée, à savoir tant que l’écart n entre un terme $a_i+n \leq a_i$ n’excède pas le paramètre “buffer” de la fonction. On peut évidemment trouver des suites qui ne pourront “mathématiquement” pas être traitées ainsi, mais informatiquement j’arrive à reproduire les suites de l’OEIS rencontrées jusqu’ici avec buffer=100 seulement

Le dictionnaire OEIS

J’ai ainsi constitué peu à peu le fichier qui définit actuellement environ 150 séries de l’OEIS, et que j’étoffe lorsque l’occasion se présente. A la fin de ce module, j’utilise la géniale possibilité d’introspection de Python pour regrouper toutes les Sequence définies dans un dictionnaire fort utile pour les tests:

\[python\]

# Construit le dictionnaire OEIS par introspection : Simple et WOW ! oeis={} # on crée le dictionnaire vide seqs=globals().copy() # on copie tous les objets déclarés dans ce module for id in seqs: # on parcourt tous les identificateurs des objets if id

\[0\]

==‘A’ and len(id)==7: # et s’ils ont un nom de séquence OEIS … oeis

\[id\]

=seqs

\[id\]

# on les ajoute au dictionnaire … seqs

\[id\]

.name=id # et on définit leur champ name

\[/python\]

Performance

Un point important est qu’aucun calcul n’est effectué lors des opérations ci-dessus. Ce n’est qu’au moment d’utiliser les Sequence ainsi définies que les fonctions iterf, itemf, containf et leurs éventuelles compositions sont évaluées.

C’est un peu “automagique”, mais il faut tout de même veiller à utiliser les algorithmes les plus efficaces, et c’est même un des buts que je poursuis avec ce projet. Par exemple la suite des nombres premiers dont qui ne s’écrivent qu’avec des 0 et des 1 = & A000040 aurait pu s’écrire également: A020449=A000040 & A007088 mais la première formulation est beaucoup plus rapide car la série A007088 des nombres ne s’écrivant qu’avec des 0 et des 1 croît beaucoup plus vite que celle des nombres premiers A000040. Il est par conséquent beaucoup plus rapide de tester si les nombres du genre 1101010101011101 sont premiers que d’énumérer tous les nombres premiers de 16 chiffres et de jeter ceux qui contiennent d’autres chiffres que des 0 ou 1.

Malgré toutes ces précautions, parcourir une suite infinie prendra forcément un temps infini, et ces idiots d’ordinateurs ne sont toujours pas foutus de gérer le . J’ai donc écrit un qui limite le temps de calcul d’une boucle ainsi :

for x in (suite,1): print(x) # affiche tous les termes calculables en 1 seconde (au total)

Ce décorateur est utilisé en particulier dans la fonction appelée par pour afficher les dix premiers termes d’une Sequence, ou du moins ceux qu’on peut calculer en moins d’une seconde.

Les suites particulièrement lentes sont par exemple ou dont le n-ième terme donne le nombre de nombres inférieurs à 10^n satisfaisant une certaine condition. Faute de meilleur algorithme, chaque terme prend 10x plus de temps que le précédent …

Tests

Voià, tous les ingrédients sont prêts pour tester si mes beaux algorithmes fonctionnent correctement, ce qui était le but initial je le rappelle.

Pour ceci, il suffit de vérifier que chaque Sequence fournit bien les mêmes termes que ceux disponibles dans l’OEIS. Ceci est facilité par le fait que l’OEIS fournit pour chaque suite les n premières valeurs dans un fichier texte en accessible par le web. Par exemple fournit les 10'000 premiers nombres premiers.

Donc mon fichier est lui aussi génialement simple* : il traverse le dictionnaire oeis et pour chaque Sequence il télécharge les N termes de référence du site OEIS, vérifie que les n premiers termes de la Sequence sont bien ceux attendus, et produit une erreur sinon. Ou un avertissement si itimeout a limité n à moins de 10.

Ces tests sont automatiquement exécutés (avec beaucoup d’autres) chaque fois que je pousse une nouvelle version de , ce qui fait que je suis averti si modification crée un problème avec une ancienne version de Python ou si un Pingouin détecte un problème invisible de mes Fenêtres.

Débogage… de l’OEIS !

J’ai ainsi beaucoup débogué, amélioré et optimisé la plupart des fonctions de et beaucoup d’ , et je compte poursuivre dans cette voie qui permet d’utiliser les données de l’OEIS comme une référence, validées par de nombreux utilisateurs.

Sauf que des fois, le bug était chez eux. Et je ne suis pas peu fier d’ sur l’OEIS :

, comme déjà mentionné dans , le 20ème terme de la série est 145, pas 142.
, dont certains termes avaient besoins de 0 supplémentaires. Tant qu’à faire j’ai fourni un B-file contenant les 1000 premiers termes exacts pour remplacer l’ancien qui n’en avait que 500.

A cette occasion j’ai remarqué que l’édition de l’OEIS est un peu rébarbative, ce qui peut décourager les contributeurs débutants. Peut-être que mon modeste projet pourrait servir de base à un site plus interactif, utilisant du code (Python of course) pour calculer dynamiquement les suites requises …

Ce long article mijoté pendant plus de six mois se termine par un appel aux allumés du code bonnes volontés : si cet article vous a motivé , n’hésitez pas à contribuer à la Goulib sur GitHub.

Pour ma part je m’attaque aux et qui seront l’occasion de nettoyer le code du en utilisant et testant le module

Notes

*sinon je n’en parlerais pas ici… **ou d’autres objets mais je n’ai pas encore trouvé quoi…

Comment calculer le 10'000'000'000'000'000'000 ème terme de la suite de Fibonacci

Tue, 25 Apr 2017 00:00:00 +0000

Tombé l’autre jour sur un problème idiot mais intéressant : calculer le 1019 ème terme de la . Idiot parce que ça ne sert à rien. Intéressant parce que ça sous-entend qu’il existe une manière de calculer le n-ième terme de cette suite définie par récurrence sans calculer tous les termes précédents. En effet, calculer les termes les uns après les autres prendrait dans les 300'000 ans à raison d’une microseconde par terme…

Un nombre d’or, mais flottant

Comme même les ésotéristes le savent, la suite de Fibonacci est liée au A partir de ce fait, Moivre, Euler et Binet ont indépendamment obtenu ce qu’on appelle aujourd’hui la , et qui donne directement le n-ième terme de la suite:

$\mathcal F_n=\frac1{\sqrt5}(\varphi^n-\varphi'^n)$, avec $ \varphi=\frac{1+\sqrt5}2$, et $ \varphi'=-\frac1\varphi$ .

En pratique, le terme en $ \varphi'$ devient rapidement négligeable et il suffit de chercher l’entier le plus proche de $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$. Par exemple pour n=50, on peut calculer très vite $\mathcal F_{50}\approx\frac{\varphi^{50}}{\sqrt5}$ = 12586269025

Mais on se heurte rapidement au problème de la précision de calcul en nombres flottants sur nos ordinateurs : $\varphi$ étant (mais pas aussi que $\pi$ …), il faut calculer $\varphi^n$ avec au moins autant de décimales que $\mathcal F_n$ comporte de chiffres. Dès n=71 on dépasse les 53 bits de la mantisse des nombres “extended precision” et les dernières décimales des termes calculés sont faux.

Dit autrement, à partir de n=70 la division $\mathcal F_n/\mathcal F_{n-1}$ donne au moins autant de décimales de $ \varphi$ que son calcul en nombres flottants

La Matrice salvatrice

Pour une méthode de calcul en nombres entiers atteignant (presque) la rapidité de la formule de Binet, il faut utiliser l’idée d’un certain Brenner : écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle . La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$\begin{pmatrix}1&1\\\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$\begin{pmatrix}1&1\\\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice $Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$.

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant log2(n) multiplications de matrices 2x2, soit pour n=1019. Ultra rapide, et facilement généralisable à d’autres formules de récurrence !

Malheureusement, la fonction souffre d’une qui empêche de l’utiliser dès n=71 car elle utilise les nombres flottants. Il m’a donc fallu la réécrire, en résolvant une petite contrainte technologique au passage.

Vers les pétaoctets et au delà …

Il se trouve que le 1019-ième terme de la suite de Fibonacci est trop grand pour tenir dans le plus super des ordinateurs. En effet, la longueur du n-ième terme de la suite s’obtient facilement en prenant le log (base 10) de la formule de Binet : $\mathcal L_n=\lceil n\log{\varphi}\rceil$ , soit grosso-modo n*0.208987640249978733769272089237555416822459239918210953539…

Vérifions. Pour n=1000, on obtient:

$\mathcal F_{1000}$=43466557686937456435688527675040625802564660517371780402481729089536555417949051890403879840079255169295922593080322634775209689623239873322471161642996440906533187938298969649928516003704476137795166849228875 qui comporte bien pile 209 chiffres.

Donc $\mathcal F_{10^{19}}$ comporte 2089876402499787337 chiffres … Il faudrait octets de RAM (de préférence…) pour stocker ce nombre …

(mon premier meme … désolé …)

Et modulo 1000000007 ?

Fort heureusement, le problème idiot avait un petit détail en prime : il fallait calculer le résultat 1000000007, et ça, ça change tout.

Ce nombre est premier (pour que ça soit plus intéressant), mais surtout il est inférieur à 230, ce qui fait que la multiplication modulo 1000000007 ne nécessite que des opérations sur des 32 bits (signés), ultra rapide.

Voici donc quelques fonctions Python tirées du qui effectuent:

le produit matriciel, optionnellement modulaire
l’exponentiation rapide d’une matrice, optionnellement modulaire, et qui corrige le bug de numpy.matrix_power
le calcul quasi instantané du n-ième terme de la série de Fibonacci, avec une option modulaire vivement recommandée pour de grands n

\[gist id="f56725fa32fbb4840c855a8309662c9d"\]

Avec ça on obtient fibonacci(int(1E19),1000000007) = 647754067 ce qui nous fait une belle jambe, mais nous a appris pas mal de choses intéressantes, non ?

Prochaine étape : trouver la correspondante …

Références

sur StackOverflow (et qui m’a inspiré cet article)
Weisstein, Eric W. “ .” From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
Arthur Charpentier “ , 2016 sur Freakonometrics (mention spéciale pour l’image de la spirale…)

Pyramides et sommes de puissances

Tue, 31 May 2016 00:00:00 +0000

En essayant de comprendre quelque chose aux je suis tombé sur un problème d’apparence tout simple qui m’a fait découvrir les et l’intéressant problème du calcul des .

Le problème tout simple concerne une pyramide de boulets comme celle ci-contre. Combien de boulets contient une pyramide de n étages ? Il est égal à $1+4+9+16+...+n^2 = \sum_{k=1}^{n}k^2$ , la somme des carrés des n premiers nombres entiers que nous allons noter $S_n^2$.

Sur internet on trouve facilement que $S_n^2= n(n+1)(2n+1) / 6$ mais ce n’est de retrouver cette formule sur une île déserte déconnectée.

Somme de puissances

D’autre part, en regardant $S_n^2$ de plus près, on voit un truc marrant:

La somme des n premiers nombres entiers (à la puissance 1)* $S_n^1 = \sum_{k=1}^{n} k = n(n+1) / 2$ est un facteur de $S_n^2$.
et la somme des n premiers nombres entiers à la puissance zéro $S_n^0 = \sum_{k=1}^{n} k^0 = n$ est un facteur de $S_n^1$.

Alors est-ce que la somme des carrés $S_n^2$ se retrouverait dans la somme des cubes $S_n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3$ ?

Surprise : non. En fait $S_n^3 = (n(n+1)/2)^2 = (S_n^1)^2$ : la somme des cubes est égale à la somme des nombres élevée au carré. On appelle parfois ceci “théorème de ”

Par contre dans $S_n^4$ on retrouve $S_n^2$ : $S_n^4 = (3n^2+3n-1).S_n^2$. Etrange non ?

Celui qui a mis un peu d’ordre dans cette étrangeté s’appelle . Au début du XVIIème siècle, ce professeur de a établi une méthode générale et calculé à la main les formules pour les sommes des puissances d’entiers jusqu’à la puissance 17, puis il est mort. Un siècle plus tard, a ramené la méthode générale de Faulhaber à une seule équation connue aujourd’hui sous le nom de :

$S_n^p = \sum_{k=1}{n}k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}$ où:

${p+1 \choose j}$ est un , bien connu
$B_j$ est le j-ème , moins connus mais que l’on retrouve dans des choses comme la ou la , un point chaud des maths.

Je n’en suis pas encore là. Pour l’instant je me suis limité à immortaliser la formule de Faulhaber et les Nombres de Bernoulli en quelques lignes de Python qui pourraient être utile un jour, pour un ** ou l’autre

\[gist id="5bbf24a3e2e25070904b79f49020448f" file="faulhaber.py"\]

Du haut de ces pyramides…

Revenons à notre problème initial de pyramide à base carrée. Carrée ? Pourquoi se limiter à un carré ? D’ailleurs les faces de notre pyramide sont triangulaires… et même qu’elles ont 1+2+3+ … n boulets, et revoici notre $S_n^1$ ! Pas pour rien qu’on appelle les nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (suite de l’OEIS) “ ”, ce qui est d’autant plus logique que 1, 4, 9, 16, 25, 36, … ( ) sont les “ ”.

Image Wikimedia Commons : Rendered by Blotwell using POV-Ray

En empilant des boulets sur une base triangulaire, on obtient les 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, … ( ) donnés par la formule

$P_n^3=\frac{n(n+1)(n+2)}6={n+2 \choose 3}$

En 1850, un dénommé Sir Frederick que tout nombre entier peut être écrit comme la somme de 5 nombres tétraédriques au maximum. De fait, on ne connait aujourd’hui que 241 petits nombres qui nécessitent 5 termes ( ), mais personne n’a jusqu’ici démontré qu’il en n’en existe pas d’autre. Ou que si. C’est pourquoi la Conjecture de Pollock est toujours une …

On peut évidemment considérer des bases définies par d’autres , sur lesquels construire des donnés par cette formule toute simple, mise ici au cas où elle se révélerait utile à quelque chose un jour :

$P_n^r=\frac{n(n+1)}2\frac{(r-2)n-(r-5)}3$

Notes

et $S_n^1 = n(n+1) / 2$ est facile à retrouver si on l’écrit $S_n^1=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...$
** auquel je n’ai pas compris grand chose non plus…

Références

Charles-É. Jean “ ” Dictionnaire de mathématiques récréatives “ ”

Bonne Année 2015 !

Wed, 31 Dec 2014 00:00:00 +0000

Un petit coup d’oeil dans le rétroviseur…

2014 fut une année paradoxale pour ce blog. J’y ai publié , mais il a reçu plus de visiteurs que jamais : 405'000 mercis à vous tous !

Depuis 2012, le trio de tête des articles les plus lus n’a pas changé : mon plaidoyer a été vu par 22'000 lecteurs en 2014, suivi par “ ” (16'500) et “ ” (11'000). Même si je ne les considère comme mes meilleurs productions, ces 3 articles très différents correspondent parfaitement au de ce blog : il y a un “pourquoi”, un “comment” et un “combien”.

L’article de 2014 le plus lu est (9'000), qui m’a incité à installer . En passant, j’ai aussi (enfin…) réalisé une listant tous les articles du blog (bonne résolution 2015 : rendre le chargement de cette page plus rapide)

Plus de la moitié des visiteurs arrivent sur drgoulu par les moteurs de recherche (205'000). Je devrais dire LE moteur de recherche, car l’autre n’a fait bing que 2'583 fois en un an. Ensuite, 6'721 visiteurs sont arrivés par , 3'322 par Facebook et 3'053 en venant de (merci !), 2'327 par Twitter et 1'815 depuis la plateforme du . Suivent Netvibes, Disqus, Knowtex et la Wikipédia qui ont amené chacun un millier de lecteurs, puis qui avait très bien marché l’an passé mais semble chuter, hélas.

..et en avant pour 2015 !

Comme d’habitude, on commence l’année par quelques faits numériques liés au nombre 2015. Parmi ses 216 434 répertoriées dans l’OEIS, j’ai remarqué que:

2015 est un : 2015 = 5 × 13 × 31 et 6, 14 et 32 sont tous des facteurs de 2016 ( )
2015 écrit en binaire est un ne comportant qu’un seul zéro : 11111011111 ( )
Il y aura 3 vendredi 13 en 2015. Que les superstitieux en profitent car ça n’arrivera plus avant 2026 ( )

Sinon, une équipe anglophone qui n’a m’a invité au concours du “ ”: après les quelques minutes nécessaires à redémarrer mon vieux programme Python, il ne me manque plus que des solutions pour 76, 79, 83, 88, 92 et 93. J’aimerais bien trouver une solution du type de …

Autrement, je me souhaite d’avoir le temps d’écrire un peu plus en 2015 qu’en 2014, ne serait-ce que pour diminuer l’effrayante liste de brouillons en attente… Certains comme celui sur “les limites de la croissance” attendent depuis plus de deux ans que j’aie le courage d’écrire quelques indispensables articles d’introduction aux systèmes dynamiques.

Mais avant ça je vais aborder une fois de plus le sujet passionnant du dans le cadre d’une semaine thématique du C@fé très bientôt, et publier ici une version “pour adultes” de mon paru sur Kidiscience, et il y a encore quelques sujets semi-professionnels ou liés à la politique (suisse) en gestation, donc une chose est sure : en 2015, je ne vais pas m’ennuyer.

A toutes et tous, chers amis lecteurs et inconnus, je souhaite que votre santé et votre boulot vous laissent le temps de progresser, d’apprendre, de découvrir le monde et de partager votre bonheur autour de vous.

Excellente Année 2015 !

Le cadran des trois neufs

Tue, 03 Jun 2014 00:00:00 +0000

(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du … Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)

Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.

Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 (

\[mathjax\]

$1=9^{9-9}$ ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:

les 4 opérations de base
la racine carré et la racine x-ième
la (il y a d’ailleurs une erreur : $5= \sqrt{9}!-9/9$ et pas $\sqrt{9!}-9/9$ comme sur la photo)
le noté $\overline{.x}$ et valant x/9. Et oui, $\overline{.9} = 1$ (voir )
la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x

Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines “heures” facilement:

$1 = x^{x-x}$
$2 = (x+x)/x$
$x-1 = x-x/x$
$x = \sqrt \[x\]{x^x}$, parmi plusieurs autres possibilités
$x+1 = x+x/x$
$11 = xx/x$, où xx désigne la concaténation de deux x
$3x = x+x+x$
$9-x = x/\overline{.x} -x$
$x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}$
$x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}$ (trouvé par ced…)
$9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}$ (bravo ced !)
$2x = x+\sqrt{x*x}$ (encore ced !)
$3 = \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}$ (bien vu Danakh)

Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions “hors-recettes” que j’ai trouvées :

x/heure	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)
2	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)
3	(g)	(e)	(d)	(c)	(m)	(h)	(m)	(m)	$\sqrt{9}+9-9$
4	(i)	(l)	(e)	(d)	(c)	$\sqrt{66}\overline{.6}$	(j)	$8-\sqrt{8+8}$	$\sqrt{9}+9/9$
5	$\sqrt{1/\overline{.1}}! -1$	(i)	$3!-3/3$	(e)	(d)	(c)		(j)	$\sqrt{9}!-9/9$
6	$(1+1+1)!$	(g)	$3!+3-3$	$(4-4/4)!$	(e)	(d)	(c)	$8-\sqrt{\sqrt{8+8}}$	(j)
7	(h)	$3!+3/3$	$(4!+4)/4$		(e)	(d)	(c)	$9-\sqrt{9}+\overline{.9}$
8	(h)	$222$	$(3!/3)^3$	$4!-4*4$	(i)	$(6+6)*\overline{.6}$	(e)	(d)	(c)
9	(k)	(k)	(g)	(k)	(k)	(k)	(k)	(e)	(d)
10	$11-1$			$4+4+\sqrt{4}$	(l)	$6+6*\overline{.6}$	(i)	$8+\sqrt{\sqrt{8+8}}$	(e)
11	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)
12	$11+1$	$(2+2)!/2$	$3*3+3$	(g)	$5!/(5+5)$	(l)		$8+\sqrt{8+8}$	$9+9/\sqrt{9}$

Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:

En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à $x = \sqrt{x*x}$ comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…

Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:

le cadran du 4. El Jj avait d’ailleurs il y a longtemps.
ceux du 1 et du 6, obtenus grâce à la sagacité de Danakh. Bravo² !
celui du 8, brillamment terminé par Groug grâce à un de plus. Bravo !

En autorisant quatre répétitions, on peut:

remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes $8 = x/\overline{.x} - x/x$ et $10 = x/\overline{.x} + x/x$, ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5

Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?

Comment dire 33 avec 3 cubes ?

Wed, 20 Jun 2012 00:00:00 +0000

Le gars qui m’a pourri ma dernière soirée du printemps s’appelle Mike Croucher. il a négligemment posé le problème suivant:

Il est possible d’écrire beaucoup d’entiers comme la somme des cubes de 3 entiers, par exemple: 99 = (-5)^{3 + 2}3+ 6^3 Un exemple plus compliqué est: 91 = (-67134)^{3 + (-65453)^{3+(83538)^{3 Votre tâche est de trouver les entiers x,y, et z tels que: 33 = x}3 + y}3 + z}3

Comme j’ai bien vu que la solution pour 91 impliquait de grands entiers, je me suis dit que 33 demanderait probablement des nombres encore plus grands, mais j’ai quand même vite pondu le programme Python suivant pour voir:

\[sourcecode lang="Python"\]

res={} #dictionary of results def store(n,x,y,z): if n>=0 and n<100 and n not in res: res

\[n\]

=(x,y,z) print n,res

\[n\]

cube=[] x=0 while True: x3=x*x*x cube.append(x3) for y in range(x+1): y3=cube

\[y\]

for z in range(x+1): z3=cube

\[z\]

store(x3+y3+z3,x,y,z) store(x3-y3+z3,x,-y,z) store(x3+y3-z3,x,y,-z) store(x3-y3-z3,x,-y,-z) store(-x3+y3+z3,-x,y,z) store(-x3-y3+z3,-x,-y,z) store(-x3+y3-z3,-x,y,-z) # store(-x3-y3-z3,-x,-y,-z) #you’re right Neamar, it’s useless x+=1 if x==50: #show “small” results for n in range(100): if n in res: print n,res

\[n\]

else: print n,’?’

\[/sourcecode\]

En moins d’une seconde il trouve les 69 des 100 premiers entiers qui sont des sommes de cubes d’entiers inférieurs à 100. Le plus “compliqué” est 78=-55³+53³+26³ .

Ensuite il mouline pendant des heures pour trouver 51=-796³+659³+602³ et 16=1626³-1609³-511³, et pendant ce temps j’ai exploré les liens émaillant les premiers commentaires .

Il s’avère que le problème soumis par Mike Croucher est extrêmement difficile, voire impossible. liste les solutions trouvées par mon programme, et d’autres qui ont nécessité des algorithmes beaucoup plus fûtés que le mien pour résoudre cette :

87 = 4271³ - 4126³ - 1972³ , découvert en 1964
96 = -15250³ + 13139³ + 10853³
91 = 83538³ - 67134³ - 65453³
80 = -112969³ + 103532³ + 69241³
39 = -159380³ + 134476³ + 117367³ découvert en 1991
75 = - 435203231³ + 435203083³ + 4381159³ découvert en 1993
84 = 41639611³ - 41531726³ - 8241191³ découvert en 1994
30 = 2220422932³ - 2218888517³ - 283059965³ ainsi que 52 = -61922712865³ + 60702901317³ + 60702901317³ par la même équipe, qui a mis au point l’algo le plus performant du moment
24 =15584139827³ - 15550555555³ - 2901096694³ a été découvert avec l’algo précédent en 2001 par D. J. Bernstein, dont la page est consacrée à ce problème et son historique

A part ça, les matheux démontrent (essayez…) que les nombres de la forme 9n+4 et 9n+5 ne peuvent pas être la somme de trois cubes, ce qui règle le cas de 4,5,13,14,22,23 etc.

Bon… je n ai pas vraiment le droit d’utiliser ce dessin, mais il va tellement bien là que j espère que vous ne m en voudrez pas, cher Docteur G…

Reste 33 (et 42 et beaucoup d’autres), qui résistent effrontément aux informaticiens cherchant à les obtenir, ainsi qu’aux mathématiciens essayant de prouver que c’est peine perdue…

C’est énervant qu’un petit problème tout bête comme celui-ci puisse résister ainsi aux ordinateurs les plus puissants. Et motivant de penser qu’une solution est peut-être à la portée d’amateurs éclairés. Des idées ?

Références:

Gardiner, V. L., Lazarus, R. B., & Stein, P. R. “ . “, 1964, Mathematics of Computation, 18, 408-413
Heath-Brown, D. R., Lioen, W. M., & te Riele, H. J. J." ”, 1993, Mathematics of Computation, 61, 235-244
Andrew Bremner, “ ”, 1993
B. Conn and L. Vaserstein, “On sums of three integral cubes”, 1994, Contemp. Math. 166, 285-294.
Eric Pine, Kim Yarbrough, Wayne Tarrant and Michael Beck, Noam D. Elkies, “ ”, 2000, ANTS IV
Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kim Yarbrough Jensen “New integer representations as the sum of three cubes”, 2007, Math. Comp. 76, 1683-1690 ( )
Wacław Sierpiński (1988). Elementary theory of numbers. North-Holland. ( )

Le fossé de Sloane

Sun, 10 Apr 2011 00:00:00 +0000

Les chemins de la science sont souvent inattendus et tortueux, comme le montre de plus en plus une jolie histoire dans laquelle je suis impliqué.

Rappel des épisodes précédents. Pour Zinzin, mon prof de maths un peu fou, 1548 était le nombre entier le plus quelconque qu’on puisse trouver. En 2008 j’ai eu l’idée d’utiliser l’ de Neil Sloane pour le vérifier et chercher les “ ”, des nombres sans propriétés particulières. J’ai contacté pour lui demander s’il avait connaissance de travaux similaires. Il m’a répondu que non, et m’a suggéré de faire une représentation graphique de l’ “intérêt” de chaque nombre, mesuré par le nombre des suites l’incluant dans l’encyclopédie de Sloane, et j’ai obtenu ceci :

Intrigué par ce résultat, Jean-Paul Delahaye y a consacré sa rubrique dans de Pour la Science de mai 2009 , qui s’achève par un appel à expliquer le “fossé de Sloane”, cette bande blanche qui sépare les nombres en deux classes assez distinctes. Dans mon article “ ” écrit en parallèle, j’ai constaté que les nombres fortement composites, les puissances entières et les nombres premiers représentent une forte majorité des nombres “intéressants” situés au dessus du fossé de Sloane, mais sans pouvoir réellement expliquer le fossé.

Delahaye a poursuivi les recherches sur ce sujet avec Hector Zenil et Nicolas Gauvrit, mathématicien et psychologue à l’Université d’Artois et ils viennent de publier ensemble un article en francais et d’en soumettre une version anglaise expliquant le fossé de Sloane.

Les auteurs commencent par expliquer la forme générale du nuage en utilisant la . Ils montrent d’une part que les nombreuses propriétés “simples”, pouvant être exprimée en peu de mots comme “être pair”, “être un carré” ou “avoir beaucoup de facteurs” se combinent pour produire beaucoup de propriétés pour les petits nombres (comme 36), produisant la décroissance exponentielle bien visible sur le graphique.

D’autre part, les propriétés plus complexes comme “ ” impliquent d’avoir des propriétés plus simples, ce qui explique la dispersion verticale du nuage : les nombres qui ont des propriétés simples en ont probablement de plus complexes.

A l’aide de ces deux résultats, Gauvrit, Delahaye et Zenil parviennent à reproduire un “nuage du nombre de propriétés” simulé sans tenir compte des propriétés effectivement répertoriées dans la base de Sloane. La Figure 5 de leur article ressemble effectivement beaucoup à “mon” nuage, mais sans le fossé…

Le fossé de Sloane ne serait donc pas un effet mathématique, mais plutôt “social” : les mathématiciens s’intéresseraient plus à certaines propriétés qu’à d’autres de même complexité par des effets de mode, ou simplement en poursuivant des recherches antérieures, ce qui provoquerait un glissement de la distribution : Fig. 6 de : La Figure du haut représente la distribution locale de N attendue sans tenir compte du facteur social. La communauté mathématique s’intéresse massivement à certains nombres de complexité moyenne ou faible (dans la zone centrale ou droite de la distribution) et, par cet intérêt, crée un décalage vers la droite d’une partie de la distribution (schématisée par une flèche grise). La nouvelle distribution qui en découle, représentée en bas, présente un fossé.

Comment ? Qu’entend-je ? Il existerait donc une discrimination entre les nombres opérées par les mathématiciens, qui opéreraient une forme de ségrégation parmi les propriétés mathématiques, en favorisant certaines par rapport à d’autres ? Si cela s’avère, il faut corriger cette injustice et lutter pour la défense des nombres acratopèges !

Plus sérieusement, j’en reviens à mes interrogations initiales : les nombres qui n’ont que peu de propriétés sont ils réellement inintéressants ? Les nombres qui ne sont pas encore répertoriés dans la base de Sloane ne pourrait-ils pas donner lieu à de nouvelles découvertes numériques ?

A suivre…

Références

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93
" ", blog de Nicolas Gauvrit
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye et Hector Zenil, « », , 194 | Eté 2011
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil, “ ”, 2011, \[math.PR\]
Nicolas J.-P. Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, & Hector Zenil (2013). Sloane’s Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS? Journal of Humanistic Mathematics, 3 (1), 3-16 DOI: (ajouté le 19.10.2013)

2011, siteswap et jonglerie

Wed, 12 Jan 2011 00:00:00 +0000

En préparant comme à un article sur le nombre 2011 et avant qu’ , je suis tombé sur l’étrange propriété selon laquelle 2011 est un “mot de Lukasiewicz qui est aussi une séquence siteswap de jonglerie asynchrone valide”…

Comme je n’y ai rien compris, j’ai cherché, en commençant par la jonglerie via un vieil article de Pour la Science

\[1+2\]

. On y apprend que le grand en personne s’est intéressé au sujet de la notation des figures de jonglerie , un domaine étonnamment actif qui a abouti dans les années 1980 au “siteswap” ou “notation d’échange de position”. La jonglerie “asynchrone” est le type le plus courant, dans laquelle la main gauche et la main droite jettent chacune une balle alternativement. Une séquence est définie en notation “siteswap” par un nombre dont chaque digit correspond à un temps et indique après combien de temps la balle lancée sera relancée. Donc si ce chiffre est impair la balle sera relancée par l’autre main, s’il est pair par la même main.

“1” définit ainsi la séquence triviale dans laquelle une seule balle passe alternativement de la main gauche à la main droite.
“333” est la séquence à 3 balles que vous avez essayé au moins une fois dans votre vie. Mais comme tous les temps sont identiques, on peut noter la séquence simplement “3”. Si vous laissez tomber une balle, la séquence devient “330”, le 0 indiquant un temps mort
“44” consiste à jongler avec 2 balles avec la main droite, et deux autres avec la main gauche
“ . La voici simulée par :

Avez vous remarqué que la moyenne arithmétique des chiffres d’une séquence est un nombre entier égal au nombre de balles à utiliser ? Ceci explique pourquoi beaucoup d’entiers ne définissent pas une séquence valide.

“2011” est justement valide, mais comme la moyenne des chiffres est 1 et qu’il y a un 0, ce n’est pas une figure très acrobatique…

Le siteswap permet de décrire des jongleries existantes, mais surtout d’en découvrir de nouvelles comme vous pourrez vous en convaincre en utilisant le générateur du . Avec l’extension de la notation à plusieurs jongleurs, cet outil a permis d’innover de façon spectaculaire dans un art millénaire et bien loin des maths en apparence.

Les “mots de Lukasiewicz” c’est compliqué au point de dépasser l’objectif de ce blog. (Autrement dit, j’ai pas tout compris, mais vous pouvez essayer en consultant p. 77). En deux mots, ils permettent de décrire des arbres planaires, des structures très utilisées en analyse syntaxique ou lexicale, dans les compilateurs par exemple.

Et comme je ne parvenais pas à trouver le moindre lien entre les “mots de Lukasiewicz” et la jonglerie, j’ai posé la question à , qui a soumis la séquence . Voici sa réponse :

There’s no other relation except that they have a non-empty intersection, which A071160 gives. Quite simple. I just happened to play with both…

Bon, eh bien dans ces conditions cet article est terminé…

Reférences et liens

Peter J. Beek and Arthur Lewbel “ ", Scientific American, November, 1995, Volume 273, Number 5, pages 92-97.
Peter J. Beek etArthur Lewbel “La science de la jonglerie”, Pour la Science, Janvier 1996, No 219, pages 80-86.
“ ", Jugglers World, Winter 1993-94, pp. 34-35
Colin Wright and Andrew Lipson “ ”, Solipsys Ltd, 1996
l’ , une mine de et autres infos sur la jonglerie
Flajolet and Sedgewick “ ”, Cambridge University Press, 2009

La fraternité des nombres

Mon, 28 Sep 2009 00:00:00 +0000

Vu l’autre jour sur un blog¹ une “question bête”, donc intrigante : existe-t-il des nombres entre lesquels les mathématiciens ne connaissent aucune relation ?

La question est “bête” puisqu’on peut toujours trouver une relation entre deux nombres entiers. Mais elle m’a rappelé ma quête initiée avec les : tous les nombres ont de nombreuses propriétés répertoriées en particulier dans l’ de Sloane, mais certains en ont nettement que d’ .

En utilisant la même approche (la base de données de Sloane digérée par quelques lignes de Python), j’ai établi le lien de “fraternité” entre les entiers de 1 à 1024, en comptant pour chaque paire (a.b) possible le nombre de suites comportant ces deux nombres, que j’appelle la fraternité f(a,b).

Par exemple, 456 et 789 ont une fraternité f(456,789) = 32, car et partagent donc autant de propriétés répertoriées.

Les nombres les plus fraternels sont évidemment , qui sont présents dans 133529 séries répertoriées à ce jour. A l’inverse, **les deux plus petits entiers qui ne partagent aucune propriété sont **².

sont les plus petits nombres ayant une seule propriété commune, en l’occurence

J’ai représenté les fraternités f(a,b) pour a et b variant de 1 à 1024 dans l’image ci-dessous. Le point (1,1) est en bas à gauche. Les fraternités f(a,b)>100 sont représentées par des pixels rouges et les fraternités inférieures à 10 sont en bleu foncé. Les quelques pixels noirs dénotent les fraternités f(a,b)=0.

fraternité f(a,b) des nombres entre 1 et 1024. cliquer pour agrandir.

On remarque l’apparition de quelques motifs:

les lignes horizontales et verticales claires correspondent à des nombres particulièrement , les sombres aux
les lignes claires à 45° sont plus surprenantes. Elles semblent indiquer que des nombres consécutifs ont tendance à être plus proches d’autres nombres consécutifs séparés par des constantes. Je m’attendais à voir apparaître des lignes à 30° et 60° liant les nombres à leurs doubles, mais ce n’est pas le cas.
Sur la diagonale (coloriée en rouge par convention), on distingue des petites taches autour de groupes de nombres particulièrement intéressants comme les fortement composites (160, 320) et les puissance de 2 (256, 512), qui forment aussi des taches aux intersections hors diagonale.
Les motifs les plus étranges sont les groupes de 9 points clairs visibles le long des bords bleus, et en particulier au coin supérieur droit. Ils correspondent aux nombres 1010±10 et 110±10, ce qui peut s’expliquer par les nombreuses suites faisant intervenir des nombres binaires, mais on en trouve aussi à 210±10. Est-ce l’effet du ternaire, ou d’autre chose ?

Résultat provisoire de ma recherche aussi excitante qu’inutile : les nombres ne sont décidément pas tous égaux devant les mathématiques.

Notes:

je ne retrouve plus la source de la “question bête”. Elle a été posée il y a une semaine sur un blog… Si vous savez où, merci de me l’indiquer en commentaire…
Le moteur de recherche de l’Encyclopédie de Sloane peut soit trouver des termes consécutifs dans la série, soit des nombres présents dans tout l’article dédié à chaque suite. C’est pourquoi la recherche de fournit plusieurs résultats, mais si vous regardez bien, les nombres 48 et 857 ne sont jamais présents ensemble dans les séries.

La minéralisation des nombres

Sat, 18 Apr 2009 00:00:00 +0000

Dr. Goulu est (un peu) dans ce numéro de "Pour la Science" ! La Gloire ! (enfin…)

Après mon article sur les , j’avais contacté pour lui demander si quelqu’un avait déjà étudié ce sujet. Il m’avait répondu qu’à sa connaissance ce n’était pas le cas, et trouvait étrange de rechercher les nombres ayant peu de propriétés plutôt que ceux en ayant beaucoup. Mais mon idée d’utiliser la de l’ pour mesurer l’intérêt des nombres l’a séduit et les résultats de la petite collaboration qui s’en est suivie figurent dans l’article “Mille collections de nombres” de Jean-Paul Delahaye qui vient paraitre dans “Pour la Science”

\[1\]

A l’aide de quelques lignes de Python, j’ai créé une donnant le nombre de propriétés connues des nombres de 2 à 65536*, que j’appelle “minéralisation” par analogie avec les eaux minérales riches en ions supposés apporter bienfaits et saveur comparativement à une eau “plate”, voire “acratopège”, sans propriété particulière.

En réalisant un simple graphique de la minéralisation, j’ai remarqué un phénomène très intriguant : le graphique présente deux bandes distinctes, nettement visibles à tous les ordres de grandeur :

Autrement dit, les nombres entiers se divisent assez clairement en 2 groupes : les nombres “intéressants” et les nombres “inintéressants”. Il y a étonnament peu de nombres moyennement intéressants. L’article de Delahaye se termine par un appel à expliquer ce phénomène.

J’ai un peu profité de ma longueur d’avance en demandant à Python de colorier sur le nuage de points les nombres appartenant à quelques séries particulières :

les nombres premiers en rouge,
les nombres de la forme an en vert,
les nombres ayant plus de diviseurs que n’importe quel nombre inférieur en jaune :

Bingo ! On voit que ces nombres recouvrent la quasi totalité des nombres particulièrement minéralisés, ou intéressants.

Il me semble que la bande claire entre les nombres fortement minéralisés et les nombres “plats” pourrait résulter du fait que de nombreuses suites de l’encyclopédie de Sloane sont définies par combinaison de critères. Par exemple si on , on ne trouvera pas seulement les nombres premiers, mais aussi:

les nombres de Chen : les nombres premiers p tels que p + 2 est soit premier soit semipremier
les nombres premiers palindromiques : en inversant leur chiffres, ils sont toujours premiers
les nombres n tels que n et 6n+1 sont premiers
et encore 120 autres propriétés combinant la primalité avec d’autres propriétés.

De ce fait, les nombres premiers ont des chances d’être aussi présents dans ces nombreuses autres séries, alors que les nombres composés n’en ont aucune. Le même raisonnement vaut pour les nombres ayant beaucoup de diviseurs ( …) : ils vont naturellement se retrouver dans de nombreuses autres suites en tant que multiples. Pour les puissances parfaites ( , …) il me semble plus étonnant qu’elles “méritent” d’appartenir à de nombreuses propriétés dérivées, mais c’est comme ça.

Ces 3 propriétés me semblent être fondamentales, ou “minéralisantes” car à part 1,2 et 4, aucun nombre entier ne peut avoir deux de ces propriétés, ou les trois, mais les nombres qui possèdent une de ces trois propriétés sont systématiquement plus intéressants que ceux qui n’est possèdent pas. Reste à trouver une ou deux de ces propriétés de plus que partagent les nombres fortement minéralisés encore bleus dans le graphique ci-dessus.

Au vu de ce qui précède, il y a probablement quand même des choses très intéressantes à trouver parmi les nombres peu minéralisés. Existe-t-il des propriétés “déminéralisantes”, telles que les nombres qui en jouissent ne peuvent qu’avoir un nombre limité d’autres propriétés ?

Note* : 65536 est un nombre bien connu des informaticiens : 2^16 donne le nombre de codes binaires possibles sur 16 bits, et le format de fichier (.xls) d’Excel a été défini au bon vieux temps des processeurs 16 bits …

Référence:

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93 (

Très très très grands nombres

Tue, 04 Nov 2008 00:00:00 +0000

Quel est le plus grand nombre entier que vous pouvez exprimer ? neuf milliards de milliards de milliards de (répéter quelques fois) milliards ? C’est un bon début, mais chaque “milliards de” n’ajoute que 9 zéros au nombre mais vous coute 12 lettres. Cherchez plus grand et plus court, disons en 5 caractères maximum.

99^{99, où ^ signifie “à la puissance”, est déjà mieux : ça donne un nombre de 197 chiffres. Mais on peut faire beaucoup mieux : 9}9^9 donne un nombre monstrueux

\[_à condition de considérer que 9^9^9 signifie 9^(9^9) et non (9^9)^9_ \]

de 387'420'489 chiffres

( J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition. Mais la marge est trop étroite pour la contenir. DrG et )

A priori, de tels nombres n’ont aucune utilité : ils sont beaucoup mais pourraient être intéressants tout de même :

Le problème avec les entiers est que nous avons seulement examiné les plus petits. Il se pourrait que les choses les plus extraordinaires arrivent pour des entiers réellement grands, ceux que l’on ne peut appréhender ou qu’on n’a simplement pas commencé à concevoir de manière très précise

Ces mots sont de , le mathématicien détenant le record du plus grand nombre entier utilisé dans une démonstration mathématique, le . C’est la plus petite solution connue d’un problème apparemment simple, mais ce nombre est si extraordinairement grand qu’un ordinateur de la taille de l’Univers n’arriverait pas à le stocker en mémoire. Pourtant il figure (presque) en noir sur blanc dans la démonstration de Graham, qui utilise une notation mathématique adaptée.

Les “ ” consistent à généraliser la progression entre les opérateurs considérés comme des itérations :

l’addition a+b est équivalente à b incrémentations : a+b=a+1+1+…+1+1 avec b “+1”
la multiplication a.b est équivalente à b additions : a.b=a+a+ … +a avec b “a”
l’élévation à la puissance a^{b est équivalente à b multiplications : a}b=a.a. …a avec b “a”
ensuite, Knuth définit l’opérateur ↑↑ ainsi : a↑↑b est équivalent à b élévations successives à la puissance a : a↑↑b=a^aa…^{a, avec b-1 “^{a”. Avec cette notation, notre 9}9}9 se note 9↑↑2, un nombre minuscule à côté de 9↑↑9, lui même ridicule comparé à 9↑↑99 qui tient en 5 caractères aussi …
On peut continuer en définissant a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑…↑↑a avec b-1 “↑↑a”. Cet opérateur permet d’écrire les 5 caractères 9↑↑↑9, un nombre absolument titanesque. (qui arrivera à déterminer sa taille ?)
Et évidemment, on peut continuer ainsi à l’infini en ajoutant des flèches, ou plus simplement définir un opérateur généralisé ↑n ainsi:

Outre sa beauté, cette généralisation des opérateurs mathématiques courants semble redoutablement puissante pour écrire de très très grands nombres.

Pourtant, nos amis mathématiciens ont éprouvé le besoin de manipuler des nombres encore plus grands de façon encore plus compacte et ont inventé la :

la chaîne notée a→b→n est équivalente à a↑nb. Par exemple, notre 9⁹9 se note 9→9→2. Donc avec 5 caractères toujours, on peut écrire 9→9→9, un nombre colossalement plus grand.
pour n=1, on ne note pas le 3ème terme de la chaîne et on retrouve l’exponentiation usuelle : 9→9=9^9
mais on peut aussi allonger la chaîne. Les chaines de longueur 4 ou plus permettent de manipuler des nombres encore plus grands à l’aide règles bien définies.

Concluons en revenant au . Il est défini comme le 64ème élément de la suite

4, 3↑↑↑↑3,3↑(3↑↑↑↑3)3, 3↑s33,…, 3↑s(n-1)3, … dans laquelle chaque élément donne le nombre de flèches dans l’élément suivant. Le 64ème élément a des milliards de milliards … de milliards de flèches. On ne sait pas directement l’écrire en chaîne de Conway, mais on sait que G est compris entre 3→3→64→2 < G < 3→3→65→2

Plutôt compact pour des nombres qui n’ont pas beaucoup de chiffres à envier à l’infini …

sources :

sur le Blog à Maths
sur Wikipedia
sur Wikipedia

Chasse aux nombres acratopèges

Sun, 24 Aug 2008 00:00:00 +0000

En utilisant l’ pour un article précédent, j’ai découvert qu’elle pouvait m’aider pour une vieille idée : la recherche de nombres acratopèges.

Le mot “ ” signifie “sans propriété particulière” et on ne le trouve plus que sur l’étiquette de quelques bouteilles d’eau faiblement minéralisée.

Les nombres entiers sont soit pairs, soit impairs. Certains sont premiers, d’autres des carrés ou des cubes d’autres nombres. Au fil des siècles, les mathématiciens ont ainsi défini des centaines de propriétés particulières dont jouissent certains nombres et ont rangés les nombres en suites définissant ces propriétés:

2,3,5,7,11,13,17, 19, 23 … : les nombres premiers
1,2,4,8,16,32,64,128 … : les puissances de deux
et des centaines d’autres

Les petits nombres ont énormément de propriétés. En cherchant “1” dans l’encyclopédie, on trouve 141'541 resultats, pour “2” : 117'375, pour “3” : 92'953, et pour “1963”, mon année de naissance : 401 …

Je me suis demandé quels sont les nombres qui apparaissent le moins dans ces suites, et puisqu’ils n’ont aucune propriété particulière, méritent d’être qualifiés d’acratopèges.

1548 : le nombre de Zinzin

Zinzin était un prof de maths célèbre du Collège de St-Maurice. Au début des années 80, ses cours étaient de véritables shows et je repense à lui chaque fois que je “fais Barbe Bleue”* avec une équation et chaque fois que je croise son nombre fétiche : 1548.

Tous les problèmes posées par Zinzin avaient la même solution : 1548 ou une de ses variations comme 1.548, 720 (= 15x48 ) ou encore 31.6348490636206336. Etonné par ce dernier résultat, j’avais dit à Zinzin que je m’étais probablement trompé quelque part et il m’avait suggéré d’en prendre la racine 8-ième : oui c’est bien 1.54^8 …

Zinzin comptait ainsi : “0,1,e,pi,1548, beaucoup”. Selon lui, 0,1,e et pi suffisent à construire les mathématiques avec “Beaucoup” , qui est une notion moins perturbante que l’infini. Et 1548, était un nombre quelconque, sans propriété particulière.

Une génération d’étudiants a cherché pourquoi Zinzin chérissait 1548 plus que tout autre nombre, mais il ne semblait justement pas y avoir de raison. 1548 est-il un nombre acratopège ?

l’Encyclopédie des suites nous apprend que comme :

: Nombres n qui, élevés aux puissances de 1 à 4, sont multiples de la somme de leurs digits :
- 1548 = 86 x (1+5+4+8 )
- 1548^2 = 2396304 = 88752 x (2+3+9+6+3+0+4)
- 1548^3= 3709478592 = 68694048 x (3+7+0+9+4+7+8+5+9+2)
- 1548^4=5742272860416 = 106338386304 x (5+7+4+2+2+7+2+8+6+0+4+1+6)
- (ça ne joue plus avec 1548^5…)
: Plus petit nombre de pierres au qui utilise le (2*n-1)-ème trou
et autres folies de mathématiciens

Mais il est vrai qu’avec 115 résultats, 1548 a peu de propriétés, nettement moins que ses voisins 1547 (151) et que 1549 (304) par exemple. C’est un nombre que je qualifierais de “faiblement minéralisé” plutôt que d’acratopège.

1729 : Le nombre de Hardy-Ramanujan (et Goulu)

Sur les traces de Zinzin, je m’étais mis en tête de trouver mon propre nombre fétiche et ai choisi 1729, en raison d’une histoire légèrement brodée par le fameux Zinzin. Le mathématicien Hardy avait pris le taxi numéro 1729 pour rendre visite à et en chemin il avait trouvé ce nombre acratopège : il lui semblait qu’il n’avait aucune particularité. Mais en arrivant, Ramanujan dit immédiatement “Non ,c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes.” En effet, 1729 = 123 + 13 = 103 + 93

Depuis, un tel nombre est appelé “ ” et 1729 est le plus petit taxicab-2. Faisant confiance à l’instinct de Hardy, j’espérais donc que ce soit la seule propriété remarquable de 1729, mais hélas, il y a qui est donc un nombre bien moins acratopège que celui de Zinzin.

Seule consolation, il n’y a que dont , celle des nombres dodécagonaux donnés par la formule An=n.(5n-4)

(à part que A2=12, je ne vois pas le rapport avec les dodécagones, si quelqu’un peut m’éclairer…)

La chasse est ouverte !

Quel est le plus petit nombre entier qui n’apparaît dans aucune suite de l’Encyclopédie ? et ceux qui n’y apparaissent qu’une fois ?

On peut répondre à ces questions facilement car le contenu de la base de données est et qu’un petit programme vite fait en Python peut y compter le nombre d’occurrences des nombres dans les suites en quelques secondes minutes et produire une fichier lisible sous Excel…. et voilà !

8795, 9935, 11147, 11446, 11612, 11630, … sont les premiers nombres parfaitement acratopèges : ils ne figurent dans aucune des suites de la base ! On pourrait définir une suite “Acra0” avec ces nombres définis comme n’apparaissant que dans Acra0 …
8267, 9734 sont les premiers nombres de la suite Acra1. Ce sont les seuls nombres inférieurs à 10'000 qui n’ont qu’une seule propriété répertoriée :
- est un nombre tel que la juxtaposition de tous les précédents dans la suite est un nombre premier. Autrement dit le nombre (oubliez les virgules et les espaces, considérez ce qui suit comme un seul nombre entier) : 1, 3, 7, 11, 13, 29, 37, 113, 121, 149, 151, 201, 219, 251, 451, 453, 573, 669, 689, 697, 749, 913, 969, 1157, 1269, 1503, 1531, 1809, 2087, 2163, 2179, 2511, 2537, 2599, 2709, 2789, 2929, 3243, 3989, 4033, 4151, 5019, 5389, 5423, 5599, 6179, 6433, 8267 est premier …
- me plait particulièrement : 11 ème terme de sa suite, c’est le nombre de polyminos différents de 11 carrés dont le périmètre vaut 24, qui est le périmètre maximal de ces polyminos. C’est plus clair si on parle du classique : le 5ème terme de la suite dit qu’il en existe 11 dont le périmètre vaut 12. Effectivement, seul le “P” a un périmètre de 10. Wow !
, , , … ont deux propriétés seulement. Ils définissent la suite Acra2
est le plus petit nombre avec 3 propriétés
Acra5 commence par
Acra10 commence par
est le plus petit nombre avec moins de 100 propriétés (88 )

Voilà, vous connaissez désormais les nombres les moins utiles des mathématiques !

l’Inverseur de Plouffe

Mon, 16 Oct 2006 00:00:00 +0000

l’ est un moteur de recherche sur les nombres. Par exemple, en entrant “11.26942766958”, l’inverseur vous dira instantanément que c’est la racine carrée de 127.

Il y a de nombreux liens sur le calcul des constantes mathématiques célèbres (e, pi etc..) , les nombres premieurs ainsi que sur .

En cherchant 4,8,15,16,23,42 sur ce dernier, on constate que les “Lost Numbers” n’ont hélas pas de signification mathématique pour l’instant : il va falloir regarder la série jusqu’à la fin…

x/heure	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)
2	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)
3	(g)	(e)	(d)	(c)	(m)	(h)	(m)	(m)	\(\sqrt{9}+9-9\)
4	(i)	(l)	(e)	(d)	(c)	\(\sqrt{66}\overline{.6}\)	(j)	\(8-\sqrt{8+8}\)	\(\sqrt{9}+9/9\)
5	\(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\)	(i)	\(3!-3/3\)	(e)	(d)	(c)		(j)	\(\sqrt{9}!-9/9\)
6	\((1+1+1)!\)	(g)	\(3!+3-3\)	\((4-4/4)!\)	(e)	(d)	(c)	\(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\)	(j)
7	(h)	\(3!+3/3\)	\((4!+4)/4\)		(e)	(d)	(c)	\(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\)
8	(h)	\(222\)	\((3!/3)^3\)	\(4!-4*4\)	(i)	\((6+6)*\overline{.6}\)	(e)	(d)	(c)
9	(k)	(k)	(g)	(k)	(k)	(k)	(k)	(e)	(d)
10	\(11-1\)			\(4+4+\sqrt{4}\)	(l)	\(6+6*\overline{.6}\)	(i)	\(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\)	(e)
11	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)
12	\(11+1\)	\((2+2)!/2\)	\(3*3+3\)	(g)	\(5!/(5+5)\)	(l)		\(8+\sqrt{8+8}\)	\(9+9/\sqrt{9}\)