Maths | Dr. Goulu

Le Théorème de Noether a un siècle

Sat, 23 Jun 2018 00:00:00 +0000

Emmy Noether

Il y a pile un siècle, en 1918, la mathématicienne Emmy Noether publia un résultat si important pour la physique qu’Einstein le qualifia de “monument de la pensée mathématique”.

En deux mots, le théorème de Noether relie les lois de conservation à la symétrie des lois de la physique.

Les lois de conservation

Depuis quelques siècles, les scientifiques se sont aperçus que certaines propriétés d’un système physique restent constantes lors de ses transformations, donnant naissance à autant de .

La plus connue est certainement le :

… car rien ne se crée, ni dans les opérations de l’art, ni dans celles de la nature, et l’on peut poser en principe que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l’opération ; que la qualité et la quantité des principes est la même, et qu’il n’y a que des changements, des modifications.

mais il n’est pas exact. Il semblait très valable jusqu’à la découverte de la radioactivité et de la relativité, qui permettent à la masse de varier. Mais en y incorporant le fameux E=m.c² , c’est devenu le fameux principe de .

Le principe de conservation de la est encore plus ancien, déjà mentionné par Galilée au XVIIème siècle. On l’appelle plutôt “ actuellement : en l’absence de forces, les corps tendent à poursuivre leur trajectoire en ligne droite, à vitesse constante.

Le principe de est encore moins intuitif, mais tout aussi réel:

A ces trois lois de la mécanique classique s’ajoutent la et celle du en électromagnétisme, et en physique des particules, la et celles du et du décrivent les transformations “autorisées” des particules.

Ce paragraphe, mais aussi le jargon courant des physiciens, mélange allègrement les notions de “ ” et de “ ”. C’est un premier effet du théorème de Noether : historiquement un principe est une “loi apparente qu’aucune expérience n’a invalidée jusque-là bien qu’elle n’ait pas été démontrée.” Mais justement, Emmy Noether a démontré que ces principes découlent de la symétrie, et peuvent donc être considérés comme des lois.

La symétrie en physique

En mathématiques, la est une notion : elle inclut toutes les transformations qui préservent la “structure” d’un objet. En géométrie, les translations et rotations sont aussi des symétries, et comme l’avait pressenti en 1894, cette notion peut être étendue à la physique :

Je pense qu’il y aurait intérêt à introduire dans l’étude des phénomènes physiques les considérations sur la symétrie familières aux cristallographes.
\[…\]
Les physiciens utilisent souvent les conditions données par la symétrie, mais négligent généralement de définir la symétrie dans un phénomène.
\[…\]
Deux milieux de même dissymétrie ont entre eux un lien particulier, dont on peut tirer des conséquences physiques.

En effet, une symétrie correspond mathématiquement à un , qui est une généralisation d’une d’un ensemble dans lui-même. Quand cet ensemble est l’ , on retrouve les symétries géométriques, mais on peut aussi considérer comme ensemble le champ électrique ou l’ dans lequel les définissent des symétries.

Ainsi par exemple la “symétrie par translation dans le temps” est la façon scientifique de dire que si on ne lui fait rien subir pendant une seconde, une patate reste une patate.

Emmy et son théorème

Née en 1882, est la fille du mathématicien , très connu alors. Très douée, elle renonce à devenir enseignante de français ou d’anglais pour étudier les maths. Après une thèse en 1907, elle travaille bénévolement à l’Université d’Erlangen car les femmes ne peuvent y obtenir un poste. Repérée par LE (né à …), elle le rejoint à l’Université de Göttingen (où là non plus, elle n’est pas acceptée comme professeur(e)…) en 1915.

En fait Hilbert l’a invitée pour profiter de son expertise en pour l’aider à éclaircir certains aspects mathématiques de la d’Einstein, publiée également en 1915. Hilbert avait remarqué la relativité semblait violer le principe de la conservation de l’énergie, l’énergie gravitationnelle pouvant elle-même créer une force d’attraction*. Noether fournit une explication de ce paradoxe, et développa à cette occasion son fameux qu’elle en 1915, mais ne publia qu’en 1918 .

À la réception de son travail, Einstein écrivit à Hilbert :

J’ai reçu hier de Mademoiselle Noether un article fort intéressant sur les invariants. J’ai été impressionné par le degré de généralité apporté par cette analyse. La vieille garde à Göttingen devrait prendre des leçons de Mademoiselle Noether ; elle semble maîtriser le sujet !

Après ça, elle a finalement été nommée , mais toujours pas professeur(e) …

Alors que dit-il finalement, ce fameux théorème ? Il dit :

À toute transformation infinitésimale qui laisse le d’un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Autrement dit : si une transformation ne change pas les lois de la physique (qui peuvent s’écrire sous la forme d’un **), alors il existe une valeur mesurable qui reste constante quelle que soit cette transformation.

Le théorème de Noether démontre donc mathématiquement l’équivalence entre le fait que les lois de la physique restent constantes selon certaines transformations et l’existence de lois de conservation correspondantes !

Par exemple, puisque nous pouvons faire des expériences qui donnent le même résultat quelle que soit notre orientation dans l’espace (c’est le cas car l’espace est , alors il existe une grandeur qui se conserve lorsqu’un système est en rotation. Cette grandeur bien connue des patineuses est le

Voici toutes les lois de conservation et leurs symétries correspondantes:

Propriété du	Symétrie	Invariant
Espace homogène	Invariance par dans l’espace	Conservation de l’ ,
Espace isotrope	Invariance par rotation dans l’espace
Système indépendant du temps	Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps)
Pas d’identité propre des particules	Permutation de particules identiques	,
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées	Invariance par changement de phase	Conservation de la

L’héritage

Chassée par les nazis, Emmy Noether a poursuivi sa carrière aux Etats-Unis où elle décède en 1935 déjà, à 53 ans, des suites d’une opération. Elle n’a donc pas vu la notoriété de son résultat augmenter spectaculairement dès les années 1970. Comme souvent, il faut quelques temps aux travaux géniaux pour être reconnus :

Nombre de mentions d’Emmy Noether dans la littérature (Google NGrams)

C’est que le théorème de Noether est devenu un outil fondamental de la physique théorique, non seulement à cause de l’éclairage qu’il apporte aux lois de conservation, mais aussi comme une méthode de calcul effective. De plus, il facilite l’étude de nouvelles théories : si une telle théorie possède une symétrie, le théorème garantit l’existence d’un invariant, lequel doit être expérimentalement observable.

Pour “la vie de tous les jours” la leçon à retenir est qu’Emmy Noether a démontré que ! “L’énergie pure”, ça n’existe pas. L’ est juste un nombre qui reste constant lors de toutes les transformations possibles d’un système, et ce nombre existe parce que les lois de la physique ne varient pas dans le temps (= “invariance par translation dans le temps”).

Voilà donc une 4ème et excellente raison de et à tous les doux rêveurs de systèmes “surunitaires” qui produiraient (conditionnel) plus d’énergie qu’ils en consomment (présent):

Si ! Le est démontré depuis un siècle, et par une dame en plus !

Notes :

* j’ai repris plusieurs passages de n’ayant pas pu mieux dire…

** le théorème de Noether a été “facilement” étendu aux plus utilisés en mécanique quantique, physique statistique etc.

Références

Lavoisier, Traité élémentaire de chimie , 1789
Pierre Curie, « Sur la symétrie dans les phénomènes physiques : Symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique », Journal de Physique théorique et appliquée, 3e série, vol. 3,‎ septembre 1894, p. 393-417 DOI>
Noether, E.. “Invariante Variationsprobleme.” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1918 (1918): 235-257. .
Kosman-Schwarzbach, Y. (2004). Les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXe siècle (avec une traduction de l’article original : “ Invariante Variationsprobleme ”). _Book. Éd. de l’École polytechnique. Retrieved from
Noether, E., & Tavel, M. A. (2005). Invariant Variation Problems. DOI>
Kosmann-Schwarzbach, Y. (2011). The Noether Theorems. (J. Z. Buchwald, J. L. Berggren, C. Fraser, T. Sauer, & A. Shapiro, Eds.), _Book. Springer.DOI>
Philippe Etchecopar, “Emmy Noether, mathématicienne (1882-1935)”
Irène, “ ” sur Podcast Science

La fonction dont la réciproque est sa dérivée

Sun, 11 Mar 2018 00:00:00 +0000

Quora, c’est vraiment bien. Je ne regrette pas d’y être que sur ce blog ces temps-ci. Il y a beaucoup de questions de niveaux très variés, mais les plus intéressantes sont évidemment celles dont on ne trouve pas la réponse facilement sur le web ou Wikipédia. Et parfois, par la magie d’internet, une collaboration efficace et désintéressée débouche sur une réponse vraiment originale.

Par exemple:

, mathématicien a très bien résumé mon propre sentiment “Cette question est géniale ! J’ai aucune idée si c’est possible ou pas…”

Puis il a posé le problème en langage mathématique :

Soit $f$ une fonction dérivable définie sur un $U$ de $\mathbb R$ de $g$. Supposons que $g = f’$, on a $f’(f(x)) = x$ pour tout $x\in U$.

En développant il arrive à l’équation que doit satisfaire la fonction $f : x^3 = x^2+f'(f'(x))(f(x)-f'(x))$, mais “ne voit pas trop quelle fonction vérifie ça”.

Là dessus passe la nuit sur ce problème avec la collaboration d’une mystérieuse “drama

\[list\]

” et :

$$f(x) = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\frac{1}{\varphi}} x^\varphi$$

définie de $\mathbb R^+$ dans $\mathbb R^+$, où $\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ est le !

On a bien $g(x) = \varphi^{\frac{1}{\varphi^2}} x^{\frac{1}{\varphi}}$, et $f'(x) = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\frac{1}{\varphi}}\varphi x^{\varphi-1} = \varphi^{\frac{\varphi-1}{\varphi}} x^{\varphi-1}$

C’est là que le nombre d’or aide grâce à la célèbre relation : $\varphi -1 = \frac{1}{\varphi}$. En l’introduisant, on obtient $f'(x) = \varphi^{\frac{1}{\varphi^2}} x^{\frac{1}{\varphi}} = g(x)$

Un autre Quoriste, , est parvenu au même résultat quasi simultanément, :

Je me suis dit : sachant que la réciproque d’une fonction puissance est une autre puissance, et que sa dérivée est encore proportionnelle à une autre puissance, un truc genre $f(x) = a.x^n$ a des chances de marcher. Après il n’y a plus qu’à faire les calculs : la réciproque est $(x/a)^{1/n}$ et la dérivée est $n.a x^{n-1}$. D’où $1/n = n-1$, donc n est le nombre d’or $n= \varphi = (1+\sqrt{5})/2$ ou son conjugué algébrique $(1-\sqrt{5})/2$, et $n.a=a^{-1/n}$ soit $n = a^{-n}$ et $a = n^{-1/n}$.

En revanche, je ne vois pas d’autre genre de fonctions dont la dérivée et la réciproque appartiennent à la même classe générale.

Alors, y’a-t-il d’autres solutions ?

, chercheur au CNRS, estime que la question est trop pointue pour Quora (peut-être, mais ce n’est pas évident à première vue) et indique une conversation sur MathOverflow intitulée

On y trouve de José Hernandez Santiago qui:

fournit la référence du problème original : “ in Elementary Problems”, 1968, The American Mathematical Monthly vol: 75(7) page 779 DOI> . Il semblerait que soit une mine de jolis problèmes de maths depuis quelques décennies…
démontre qu’il n’y a pas d’autres solutions, mais la démonstration dépasse mon modeste niveau…

Ce n’est pas grâce à cette question que j’ai reçu le badge “meilleur auteur 2018” sur Quora puisque je n’y ai pas contribué, mais cette petite histoire m’a convaincu que Quora est un site “sain” et constructif. J’y retourne …

La mathématique du Chat

Fri, 20 Jan 2017 00:00:00 +0000

Mais comment ai-je pu rater ce livre ? Fan du j’aurais du tomber dessus 100 fois, depuis 2008. Mais ce n’est qu’aujourd’hui que je vois en librairie ce que j’ai d’abord cru être un nouvel album.

Mais ce n’est pas ça. “La mathématique du Chat” est un livre de vulgarisation sur les mathématiques*, illustré par des dessins de .

Ou plutôt l’inverse : Daniel Justens introduit une branche des mathématiques par chapitre (arithmétique, géométrie, théorie des ensembles, analyse, statistiques et logique) au travers de nombreux dessins de Geluck et autant de pensées profondes du type :

Logiquement je devrais dire le double de ce que je pense, vu que je ne pense pas la moitié de ce que je dis.

Bien que j’en conusse ** déjà la plupart, je n’avais pas réalisé l’abondance de références mathématiques dans l’oeuvre de Geluck, ni l’attention portée à l’exactitude des formules et de bons nombres d’énoncés. Ses dessins peuvent donc effectivement servir à illustrer un cours ou à motiver certains élèves, comme le propose Daniel Justens.

))%5E2%2F(1%2B(4-2sqrt(4))))(((100%2F4)-1)%2F2%5E3))%2F(3%5E2sqrt(10%5E2%2B(37))) Le Chat calcule vite et bien : ça donne bien 33, j’ai vérifié (cliquez pour la preuve)

Mais l’objectif affiché de l’auteur est plutôt de transmettre ce que sont les mathématiques, à quoi elles servent. Et pour ma part c’est le Chapitre 1 consacré à la que j’ai préféré. Justens propose une définition des mathématiques que je ne vais pas spoiler ici, mais c’est le passage suivant qui correspond le mieux à ma perception actuelle:

Les mathématiques (sont) une réserve conceptuelle de structures invariantes dans lesquelles nous pouvons puiser pour mieux concevoir et appréhender l’univers réel.

“La mathématique du Chat” peut faire découvrir les maths aux amateurs du Chat, ou faire découvrir le Chat aux amateurs de maths. Mais si vous faites partie des deux catégories, vous risquez d’être un peu déçu…

Référence:

Daniel Justens (2008). La mathématique du Chat: de Philippe Geluck. Delagrave + Casterman.

Notes :

* LA mathématique ou LES ? Selon la Wikipedia, le singulier est un peu présomptueux, archaïque ou vise à souligner l’unité de disciplines souvent perçues comme distinctes (algèbre, géométrie, …). J’ai donc choisi le pluriel…

** oui c’est bien le troisième imparfait du subjonctif de ce blog, mais je ne suis pas certain qu’il soit bien utilisé…

L'abstraction mathématique gravée dans le marbre

Fri, 02 Dec 2016 00:00:00 +0000

Urs Würgler, ancien recteur de l’Université de Berne et ou mathématicien est décédé il y a un an. Sur sa tombe, son épouse a fait graver la formule dont il était le plus fier* qu’il avait trouvée :

Mais comme elle ne savait pas ce que ça signifie, j’ai été appelé à la rescousse par maman interposée. Ce fut l’occasion d’une intéressante plongée, ou plutôt ascension dans l’abstraction mathématique.

Au début je me suis dit qu’un problème de avait transformé un symbole bizarre en tofu**, mais même sans ça cette formule ne ressemble pas du tout à une équation d’ingénieur.

En cherchant un peu dans les publications scientifiques d’Urs Würgler, j’ai découvert que sa formule est celle du Théorème 3.1 p. 121 de son (long) article qui cause de .

Vous ne savez pas ce que c’est ? Moi non plus. J’ai eu beau parcourir pas mal de pages Wikipédia et d’abstracts d’articles, je n’ai absolument pas réussi à saisir de quoi il s’agissait, sauf qu’apparemment les K(n) de la formule correspondent carrément à des “théories” mathématiques.

Alors je me suis dit que Lê, le jeune et fringant mathématicien de pourrait peut-être y voir plus clair, mais sa réponse m’a confirmé que ça vole très très haut dans les nuages de l’abstraction mathématique :

J’ai bien peur que ça me dépasse très, très, très largement. J’estime à des années le temps qu’il me faudrait pour comprendre quelques éléments de cette K-théorie de Morava…
Je crois comprendre que ça a quelque chose à voir avec que j’ai faite (or cette vidéo fait déjà 1 heure et est Hardcore…).

Je confirme : la vidéo est hardcore. Mais elle vaut le détour ne serait-ce que pour l’enthousiasme légendaire de Lê :-) Et aussi pour cette citation d’ qui y est mentionnée:

la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes

En effet, ce qui m’a surpris lors de cette immersion en maths inconnues, c’est d’y trouver ça et là des îlots connus au moins par leur nom (nombres premiers, , ), des récifs aux noms trompeusement rassurants ( , ) et des monstres comme les .

Toutes ces choses semblent donc connectées dans le monde abstrait des mathématiques, mais que vient donc faire la fameuse formule là-dedans ?

J’ai alors cherché des pistes sur , un site de questions/réponses souvent pointues. Je n’y ai trouvé qu’une seule référence à Urs Würgler dans la seule et unique réponse à une question intitulée “ ” qui se réfère à un autre de ses articles .

Une figure ayant un très lointain rapport avec la K-theorie de Morava

On trouve aussi sur MathOverflow une , mais elles n’ont qu’une réponse, voire moins ce qui confirme qu’il s’agit là d’un domaine très très pointu…

Mais j’y ai quand même trouvé une figure décorant une question (intéressante) où la K-théorie de Morava est mentionnée : . Aucune idée de ce qu’elle représente, mais comme elle est un peu colorée, elle va au moins servir à égayer un peu cet article.

Les maths sont elles encore vulgarisables ?

A ce stade, je me suis demandé si les maths échappaient désormais à la vulgarisation, si les chercheurs avaient atteint un tel niveau d’abstraction qu’il ne leur était plus possible d’expliquer leur travail en langage humain.

Comme j’avais gagné une sur MathOverflow grâce à sur , j’y ai posé une question que j’ai intitulée “ ”. Et à ma grande surprise j’ai reçu des réponses lisibles.

Ce qui m’a été le plus utile est un commentaire de , doctorant en au MIT:

Ici K(n) et B(n) sont des , et la formule dit qu’on peut calculer l’homologie B(n) de X en termes de la K(n)-homologie de X (…). En termes intuitifs, ça dit que la K(n)-homologie donne l’information nécessaire pour aller du niveau n-1 au niveau n dans la tour chromatique. Mais je ne crois pas être capable d’expliquer pourquoi c’est un résultat important sans décrire toute la “chromatic homotopy theory”.

Fort heureusement il y a une avec un lien vers dans laquelle on trouve ce tableau:

chromatic level	complex oriented cohomology theory	E-∞ ring / A-∞ ring	real oriented cohomology theory
0	ordinary cohomology	Eilenberg-MacLane spectrum	HZR-theory
	0th Morava K-theory	K(0)
1	complex K-theory	complex K-theory spectrum KU	KR-theory
	first Morava K-theory	K(1)
	first Morava E-theory	E(1)
2	elliptic cohomology	elliptic spectrum $Ell_E$
	second Morava K-theory	K(2)
	second Morava E-theory	E(2)
	algebraic K-theory of KU	K(KU)
3 …10	K3 cohomology	K3 spectrum
n	nth Morava K-theory	K(n)
	nth Morava E-theory	E(n)	BPR-theory
n+1	algebraic K-theory applied to chrom. level n	$K(E_n)$ (red-shift conjecture)
$\inf$	complex cobordism cohomology	MU	MR-theory

Un petit mail à plus tard, j’avais la confirmation que cette table est bien la “tour chromatique”, à l’envers car le niveau 0 est en haut, et le niveau infini en bas (aucun matheux ne peut s’arrêter au niveau n s’il peut apercevoir le niveau n+1 …)

Donc voilà, Hélène : ce que je crois avoir compris, c’est que la formule d’Urs dit comment passer d’une ligne de ce tableau à l’autre, ce qui permet en quelque sorte de “donner le même nom aux choses différentes” qui se trouvent dans les cases du tableau.

C’est donc du grand art mathématique. De l’art très abstrait, mais désormais gravé dans le marbre pour l’éternité.

Références

Urs Würgler “ ” 2006, in Lecture Notes in Mathematics Vol. 1474 (pp. 111–138). Springer Berlin Heidelberg. DOI :
Urs Würgler “Commutative ring-spectra of characteristic 2”, 1986. Commentarii Mathematici Helvetici, 61(1), 33–45 DOI:

Notes

* édité le 7.12.16 après un e-mail de Mme Würgler disant:

Une remarque cependant concernant " une formule dont il était le plus fier " avez - vous écrit , c’est comme je l’avais compris , mais Urs n’était jamais content , il en voulait encore plus , donc tout est resté bien relatif . Très discret et humble , il ne se serait jamais vanté ayant trop de respect pour " les plus grands " .

(…)

Il voulait avancer toujours plus loin et ça s’est arrêté quand il a dû choisir " recteur ou chercheur " et pas … recteur et chercheur ! Vous pourriez peut - être écrire : " la formule trouvée par … "

** en informatique, le “tofu” est ce carré blanc que les ordinateurs affichent à la place d’un caractère spécial qu’ils ne savent pas afficher

Solutions admissibles

Sun, 11 Sep 2016 00:00:00 +0000

Chaque fois que je tombe sur des théories physiques un peu exotiques comme la , le ou les , je repense à une anecdote survenue lors d’un examen de physique au .

Mathématiquement, il suffit d’attendre un moment …

Contrairement à , le très divertissant prof de maths, notre prof de physique était, en première approximation, un affreux cynique antipathique assénant des notes impitoyables à des élèves terrifiés. Le problème qu’il nous avait énoncé de sa voix nasillarde* ce jour là était de ce genre:

Un conducteur roule à 72 km/h lorsqu’il aperçoit un gros rocher sur la route devant lui. Après un temps de réaction, il écrase le frein quand sa voiture de 1000 kg n’est plus qu’à 10 m de l’obstacle. La force de freinage est de 10000 . Déterminez si sa voiture heurte le rocher, et si oui après combien de temps et à quelle vitesse.

Fââcile : , donc a=F/m, la voiture ralentit pile à a=10 m/s². La vitesse initiale de 72 km/h correspond à v0=20 m/s. La position de la voiture en fonction du temps s’écrit p(t)=v0.t-a.t²/2 qu’on résout pour p(t)=10 m , ce qui donne l’équation du second degré: -5t²+20t-10 = 0

Comme le discriminant b²-4ac vaut 400-4.5.10 = 200 est positif, il existe des solutions donc la bagnole tape bien dans le caillou après t=2±√2 secondes, Et pour la vitesse on a v(t)=v0-a.t ce qui donne la vitesse au moment où la voiture heurte l’obstacle : v=±10√2 m/s, soit ±51 km/h environ.

Tous ceux qui ont donné ce résultat ont eu zéro. Et une bordée du prof en prime, dont je me rappelle quasiment chaque mot 35 ans plus tard:

Alors comme ça bande de **, vous croyez aveuglément une équation qui donne des solutions débiles ? Vous croyez que la bagnole va traverser le rocher, s’arrêter après et reculer sous l’effet des freins pour se fracasser une deuxième fois en marche arrière ? On est pas au cours de maths ici ! En physique un problème a des solutions admissibles***, mais aussi des solutions inadmissibles. C’est la Nature qui dit si une solution de maths est admissible ou pas. Si vous pigez pas ça, vous êtes nuls : zéro !

Dur. Mais juste. Avec le recul, la leçon était très importante.

L’ (pas E=mc², l’autre, celle de la ) est un chef d’oeuvre. Albert a généralisé la de Newton en décrivant comment l’énergie et la matière déforment l’espace et le temps. Le problème est que l’équation d’Einstein admet de nombreuses solutions qu’on peut classer ainsi:

celles qui correspondent aux observations : le , l’ , la précession du périhélie de Mercure, les , le décalage des horloges atomiques situées à des altitudes différentes ou en mouvement l’une par rapport à l’autre, et encore tout récemment les .
celles qui ne sont carrément pas compatibles avec notre Univers. La plus fameuse “solution inadmissible” est due à Einstein lui-même : lorsqu’ s’est aperçu que l’équation d’Einstein décrivait un univers en expansion (ou en contraction), Albert a ajusté la de son équation pour forcer l’Univers à être statique. Lorsque montra que l’Univers était bel et bien en expansion, Einstein dit qu’il avait fait la plus grosse gaffe (“blunder” en anglais) de sa vie. D’autres solutions mathématiquement correctes de l’équation d’Einstein sont très surprenantes, comme l’ dans lequel le voyage temporel est non seulement possible, mais inévitable .
Les fameuses théories “exotiques” ( , etc.) dont on ne sait pas encore si elles sont “admissibles” ou non. Mais ces solutions mathématiques font apparaître des choses étranges comme de l’ et/ou de la dont on pas vu le début du commencement d’une apparence d’existence. Bon, il y a bien l’ mais il revient un peu à jouer un peu sur les notions de et de .

C’est pourquoi je reste très sceptique face à ces admirables et très respectables solutions mathématiques de physique théorique. Mon indécrottable exige de voir dans cet univers un petit quelque chose de concret qui supporte l’idée qu’une voiture puisse éviter un rocher en passant par un trou de ver, ou qu’une voiture de masse négative puisse accélérer en marche arrière si on appuie sur le frein…

Notes:

*j’avais écris “nazillarde”… Toujours est-il qu’il nous avait donné un jour un problème consistant à calculer la force avec laquelle le nez d’un alpiniste se fracassait contre le rocher après une chute d’un surplomb avec une corde d’une élasticité donnée. Lorsque le résultat (quelques ) avait été trouvé, il avait conclu “Ouais. Je suis solide hein ?” Il nous avait donné comme exercice…

** son insulte favorite, suffisamment pédante pour être tolérée dans un collège catholique de l’époque…

*** l’expression n’est pas courante en physique, mais très habituelle en , ou une “solution admissible” n’est pas optimale, mais satisfait les contraintes du problème. En physique, on pourrait appeler “solution admissible” une solution qui satisfait les contraintes de l’observation expérimentale (la voiture ne peut pas traverser le rocher), même si on y beaucoup de phénomènes (frottement de l’air, variation de la force de freinage). On peut ensuite “optimiser” la solution en y incorporant ces phénomènes au besoin.

**** Finalement, la gaffe n’est peut-être pas si monumentale que ça vu que l’ due à la mystérieuse pourrait correspondre à une valeur précise de la .

Références

M Buser, E Kajari and W P Schleich “Visualization of the Gödel universe’", 2013 New J. Phys. 15 013063) DOI ( )

Pyramides et sommes de puissances

Tue, 31 May 2016 00:00:00 +0000

En essayant de comprendre quelque chose aux je suis tombé sur un problème d’apparence tout simple qui m’a fait découvrir les et l’intéressant problème du calcul des .

Le problème tout simple concerne une pyramide de boulets comme celle ci-contre. Combien de boulets contient une pyramide de n étages ? Il est égal à $1+4+9+16+...+n^2 = \sum_{k=1}^{n}k^2$ , la somme des carrés des n premiers nombres entiers que nous allons noter $S_n^2$.

Sur internet on trouve facilement que $S_n^2= n(n+1)(2n+1) / 6$ mais ce n’est de retrouver cette formule sur une île déserte déconnectée.

Somme de puissances

D’autre part, en regardant $S_n^2$ de plus près, on voit un truc marrant:

La somme des n premiers nombres entiers (à la puissance 1)* $S_n^1 = \sum_{k=1}^{n} k = n(n+1) / 2$ est un facteur de $S_n^2$.
et la somme des n premiers nombres entiers à la puissance zéro $S_n^0 = \sum_{k=1}^{n} k^0 = n$ est un facteur de $S_n^1$.

Alors est-ce que la somme des carrés $S_n^2$ se retrouverait dans la somme des cubes $S_n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3$ ?

Surprise : non. En fait $S_n^3 = (n(n+1)/2)^2 = (S_n^1)^2$ : la somme des cubes est égale à la somme des nombres élevée au carré. On appelle parfois ceci “théorème de ”

Par contre dans $S_n^4$ on retrouve $S_n^2$ : $S_n^4 = (3n^2+3n-1).S_n^2$. Etrange non ?

Celui qui a mis un peu d’ordre dans cette étrangeté s’appelle . Au début du XVIIème siècle, ce professeur de a établi une méthode générale et calculé à la main les formules pour les sommes des puissances d’entiers jusqu’à la puissance 17, puis il est mort. Un siècle plus tard, a ramené la méthode générale de Faulhaber à une seule équation connue aujourd’hui sous le nom de :

$S_n^p = \sum_{k=1}{n}k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}$ où:

${p+1 \choose j}$ est un , bien connu
$B_j$ est le j-ème , moins connus mais que l’on retrouve dans des choses comme la ou la , un point chaud des maths.

Je n’en suis pas encore là. Pour l’instant je me suis limité à immortaliser la formule de Faulhaber et les Nombres de Bernoulli en quelques lignes de Python qui pourraient être utile un jour, pour un ** ou l’autre

\[gist id="5bbf24a3e2e25070904b79f49020448f" file="faulhaber.py"\]

Du haut de ces pyramides…

Revenons à notre problème initial de pyramide à base carrée. Carrée ? Pourquoi se limiter à un carré ? D’ailleurs les faces de notre pyramide sont triangulaires… et même qu’elles ont 1+2+3+ … n boulets, et revoici notre $S_n^1$ ! Pas pour rien qu’on appelle les nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (suite de l’OEIS) “ ”, ce qui est d’autant plus logique que 1, 4, 9, 16, 25, 36, … ( ) sont les “ ”.

Image Wikimedia Commons : Rendered by Blotwell using POV-Ray

En empilant des boulets sur une base triangulaire, on obtient les 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, … ( ) donnés par la formule

$P_n^3=\frac{n(n+1)(n+2)}6={n+2 \choose 3}$

En 1850, un dénommé Sir Frederick que tout nombre entier peut être écrit comme la somme de 5 nombres tétraédriques au maximum. De fait, on ne connait aujourd’hui que 241 petits nombres qui nécessitent 5 termes ( ), mais personne n’a jusqu’ici démontré qu’il en n’en existe pas d’autre. Ou que si. C’est pourquoi la Conjecture de Pollock est toujours une …

On peut évidemment considérer des bases définies par d’autres , sur lesquels construire des donnés par cette formule toute simple, mise ici au cas où elle se révélerait utile à quelque chose un jour :

$P_n^r=\frac{n(n+1)}2\frac{(r-2)n-(r-5)}3$

Notes

et $S_n^1 = n(n+1) / 2$ est facile à retrouver si on l’écrit $S_n^1=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...$
** auquel je n’ai pas compris grand chose non plus…

Références

Charles-É. Jean “ ” Dictionnaire de mathématiques récréatives “ ”

"Contre-exemples" au théorème de Fermat-Wiles

Fri, 25 Mar 2016 00:00:00 +0000

vient de remporter le pour sa démonstration du qui dit qu’il n’existe pas de solution de l’équation an+bn=cn pour a,b,c,n entiers et n>2. Pourtant :

il a en réalité “seulement” démontré un cas particulier du (aussi appelé conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) dont le théorème de Fermat résulte directement
quelques semaines après la publication des quelques 100 pages de la démonstration d’Andrew Wiles en 1995 , Homer Simpson se promène nonchalamment et en 3D devant un contre-exemple : 1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Cette égalité est due à , matheux et co-scénariste de cette . Si on la vérifie sur une calculatrice standard, on trouve que le terme de gauche vaut 2.541210259e+39 et que celui de droite vaut… 2.541210259e+39 ! C’est un contre-exemple du Grand théorème de Fermat, et la démonstration d’Andrew Wiles ne vaut pas tripette!

Mais en fait non:

Avec plus de décimales ou Python, on voit que le terme de gauche vaut 2541210258614589176288669958142428526657 et celui de droite 2541210259314801410819278649643651567616. Ca fait une gigantesque différence de 700212234530608691501223040959, mais comme elle représente moins d’un milliardième des nombres précédents (2.75 10-10 pour être précis), une bête calculatrice du siècle passé qui ne calculait qu’avec 9 chiffres significatifs ou en nombres flottants sur 32 bits pouvait considérer ce chiffre comme comparativement négligeable.
quatre grands problèmes scientifiques résolus sur un seul tableau !

En y regardant de plus près, on voit tout de suite que l’égalité est fausse car comme 1782 est pair, 1782¹² l’est aussi et comme 1841¹² est impair pour les mêmes raisons, la somme 782¹² + 1841¹² est impaire. Or 1922¹² est pair…

Informé de cette dernière objection, David X. Cohen a fait apparaître dans un autre épisode le tableau noir suivant, sur lequel se trouve un autre faux contre-exemple : 3987¹² + 4365¹² = 4472¹². Belle conscience professionnelle, n’est-ce pas ?*

Cette fois l’égalité proposée respecte la parité, et est “moins fausse” que la précédente puisque la différence ne représente que 1.89 10-11 des termes.

Je me suis alors posé trois questions:

y’a-t-il beaucoup de tels contre-exemples ?
y’a-t-il une raison particulière au fait que les deux exemples de David X. Cohen utilisent la puissance 12 ?
peut-on en trouver qui sont encore moins faux que 1.89 10-11 ?

J’ai donc écrit un ** qui génère les triplets (a,b,c) tels que an+bn=cn est juste à 10-9 près, en balayant les nombres a et b entre 100 et 100'000 et incrémentant n à partir de 3. Ce programme s’est révélé productif au point de pouvoir répondre facilement à la question No 1 : oui, il y a des centaines de faux contre-exemples de la qualité de ceux des Simpson pour chaque p et 100 < a,b < 100'000.

Le plus petit faux contre-exemple trouvé donnant une différence inférieure à 10-9 est 1295³ + 216³ = 1297³ . La différence entre les deux termes 2181825071 et 2181825073 n’est que de 2 !

Celui ayant la précision relative la plus élevée est 487674 + 245764 = 495354 L’erreur relative n’est que de 5.1 10-16 soit juste deux fois plus que la précision des nombres flottants sur 64 bits de la plupart des calculatrices actuelles.

A la puissance 5, le record de précision est 843855 + 834525 = 964035 (à 5.67 10-15 près), ensuite la précision des contre-exemples les moins faux diminue lentement quand la puissance augmente. A la puissance 12 il y a 1931112 + 1882112 = 2021812 (1.95 10-12) qui est meilleur que celui de David X. Cohen, qui s’est probablement limité aux nombres de 4 chiffres. Mais je n’ai rien remarqué de particulier pour n=12

Voilà Andrew, comme 99.99% de la population je n’ai rien compris à ta prodigieuse démonstration qui a nécessité 20 ans de vérifications avant que tu reçoive enfin ce prix bien mérité. Je me joins à David et Homer pour te dire juste Bravo !

Notes:

* la dernière ligne du tableau concerne évidemment la topologie (et non, un donut n’est pas isomorphe à une sphère), mais quelqu’un sait-il à quoi correspondent les lignes 1 et 3 ? Je doute que Cohen ait sorti ces équations de nulle part…

** pourquoi Python ? entre autres parce qu’il gère l’ de façon transparente : rien de spécial à faire pour manipuler des nombres énormes.

Références

Andrew Wiles. “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”, 1995, Annals of Mathematics 142 (3): 443–551. . ( )
séquence “Homer³” dans “ ", épisode 6 saison 7, 1995
, Les Simpson épisode 2 saison 10, 1998
video “ ” de Numberphile sur ce sujet (en anglais)

Adieu 3.14.16 : le 28 juin, ce sera Tau Day

Mon, 14 Mar 2016 00:00:00 +0000

3 pi/2 de Nusstorte je vous prie - Je vous en mets 3/4 de tau, ça vous ira ?

Oui je sais, certains fêtent la aujourd’hui, puisque le 14 mars se note 3.14 aux USA. Et comme nous sommes en 2016, c’est même 3.1416 . Et en prime Gilles nous a fait déguster une délicieuse bien ronde.

Mais je ne suis pas parvenu à me réjouir pleinement car depuis quelques temps un doute me ronge : et si π était faux ?

C’est ce que suggère un article de 2001, “Pi est faux!” . Son auteur Bob Palais ne prétend évidemment pas que la valeur de pi soit fausse, mais plutôt que sa définition soit boiteuse et propose d’utiliser plutôt la constante

=2π . Son idée a toutes les apparences d’un canular, mais elle a pourtant été appuyée par une partie de la communauté de mathématiciens, surtout depuis que le bizarre symbole “newpi” a été remplacé par la lettre grecque τ (tau).

Le “Tau manifesto” de Michael Hartl donne pas mal de bonnes raisons à l’introduction de τ=2π.

dans la plupart des équations*, π apparaît accompagné d’un facteur 2. C’est le cas dans et beaucoup d’autres , y compris en physique de la troisième aux en passant par la
c’est normal puisque , d’où le choix du τ, lettre d’origine du T comme “tour” ou “turn”
historiquement , on a calculé et utilisé aussi bien τ que π :
- détermina que π était proche de 22/7 à l’aide de polygones réguliers inscrits et circonscrits
- en 1424 le mathématicien perse a déterminé 16 décimales de τ par une formule en base 60
- en 1697 le mathématicien écossais utilisa la lettre π pour définir le périmètre mais définit la constante du cercle comme étant le rapport π/r , où r est le rayon, pas le diamètre…
- mais en 1706 utilisa le symbole π comme rapport du périmètre au diamètre, et réutilisa cette notation dans son traité de 1737 qui fit autorité, jusqu’à aujourd’hui
car enfin, pourquoi considérer le diamètre d’un cercle alors que toutes les équations usuelles du , du du et de la utilisent le rayon ?

Les mathématiques étant une science vivante, peut-être bien que les tau-istes l’emporteront à la longue sur les pi-istes. En attendant, saluons la tentative de compromis de XKCD proposant la constante pau. Hélas sa valeur (4.71238898038468985769…) n’est pas très propice aux anniversaires à deux décimales. Je préfère donc fêter le le 28 juin avec une deuxième Nusstorte !

Notes:

* exercice : trouvez des contre-exemples de formules dans lesquelles pi n’est pas multiplié par un nombre pair

Références:

, “ ”, 2001, The Mathematical Intelligencer, Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8.
Michael Hartl “ ”, 26 juin 2010
Peter Harremoës “ ", 2012
" ” sur le site de Neamar
Petr Beckmann (1993). A history of pi. Barnes.

Einsum

Sun, 17 Jan 2016 00:00:00 +0000

Sacré Albert, tu m’as scié encore une fois !

L’autre jour, j’ai rencontré Einstein se promenant incognito dans un bout de code.

J’ai commencé par ne rien comprendre à une ligne de Python trouvée dans un algo de traitement d’image:

norms = np.einsum(‘ij,ij->i’, X, X)

Alors je suis allé voir la doc de la à laquelle je n’ai rien compris non plus, sauf que le bout du nez d’Albert commençait à apparaître via une mystérieuse “ ” qui serait “un raccourci de notation utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées”.

Par exemple, une simple de deux matrices A et B s’écrit

\[mathjax\]

$$A^i{}_j \times B^j{}_k = C^i{}_k$$

avec la notation d’Einstein, et C=np.einsum(‘ij,jk->ik’, A, B) avec la fonction Python correspondante.

On voit que la chaîne de caractères ‘ij,jk->ik’ correspond aux indices des lignes et colonnes des matrices qui figurent en indice et “exposant” dans la notation d’Einstein, dans le même ordre que dans la représentation de la multiplication matricielle ci-dessous:

Pour une simple multiplication matricielle on ne voit pas trop l’avantage sur la notation

$$A \times B = C$$

, mais ajoutons les 3 règles supplémentaires de la notation d’Einstein appliqués à la fonction einsum (traduit de )

Les indices qui se répètent entre (qui peuvent avoir N dimensions) signifient que les valeurs selon ces axes doivent être multipliées. Les produits font les valeurs du tableau de sortie. Dans le cas ci-dessus on a utilisé l’indice ‘j’ une fois pour A et une fois pour B, ce qui signifie qu’on multiplie chaque ligne de A avec chaque colonne de B
Une lettre omise dans le résultat signifie que les valeurs le long de cette axe doivent être sommées. Dans le produit matriciel ci-dessus, ‘j’ ne figure pas dans les indices du tableau de sortie. Cette omission somme le long de cette “troisième direction en réduisant de 1 la dimension du tableau final. Si la signature avait été ‘ij,jk->ijk’, on aurait obtenu une matrice 3x3x3 des produits, et si on n’avait écrit aucun indice mais gardé la flèche ‘ij,jk->’, on aurait obtenu la somme de tous les éléments de C
On peut obtenir les axes non sommés dans n’importe quel ordre. Si on omet la flèche, einsum arrange les indices qui n’apparaissent qu’une fois dans l’ordre alphabétique, donc on aurait pu écrire juste ‘ij,jk’ au lieu de ‘ij,jk->ik’ pour le produit de matrices “normal” ci-dessus. Mais on aurait pu écrire ‘ij,jk->ki’ si on avait souhaité obtenir la du résultat.

Avec ces astuces, beaucoup (toutes?) les opérations vectorielles, matricielles et sur des tableaux à N dimensions peuvent être effectuées par einsum

Signature de einsum	équivalent NumPy	Description
`(A)`	`A`	renvoie le vecteur A
`('i->', A)`	`sum(A)`	somme des valeurs du vecteur A
`('i,i->i', A, B)`	`A * B`	multiplication des vecteurs A et B élément par élément
`('i,i', A, B)`	`inner(A, B)`	de A et B
`('i,j', A, B)`	`outer(A, B)`	de A et B
`('ij', A)`	`A`	renvoie la matrice A
`('ji', A)`	`A.T`	transposée de A
`('ii->i', A)`	`diag(A)`	diagonale de A
`('ii', A)`	`trace(A)`	somme de la diagonale de A
`('ij->', A)`	`sum(A)`	somme des valeurs de A
`('ij->j', A)`	`sum(A, axis=0)`	somme des colonnes de A
`('ij->i', A)`	`sum(A, axis=1)`	somme des lignes de A
`('ij,ij->ij', A, B)`	`A * B`	multiplication des matrices A et B élément par élément
`('ij,ji->ij', A, B)`	`A * B.T`	multiplication des matrices A et B transposée élément par élément
`('ij,jk', A, B)`	`dot(A, B)`	de A et B
`('ij,jk->ij', A, B)`	`inner(A, B)`	produit intérieur de A et B
`('ij,jk->ijk', A, B)`	`A[:, None] * B`	chaque ligne de A multipliée par B
`('ij,kl->ijkl', A, B)`	`A[:, :, None, None] * B`	chaque valeur de A multipliée par B

Les mathématiciens apprécieront l’élégance de la notation, les physiciens pourront manipuler le et d’autres objets mathématiques avec plus de facilité, mais en quoi la fonction einsum est-elle utile aux informaticiens ?

D’abord, elle permet d’effectuer en une seule fois des opérations qui auraient nécessité de stocker des matrices intermédiaires sans ça. De plus le code de la fonction einsum peut être fortement puisqu’il effectue essentiellement des produits puis des sommes sur des vecteurs. Ce n’est en définitive que l’indexation des tableaux qui change en fonction de l’opération désirée, et le tout peut être optimisé dans certains cas en jouant avec la et la commutativité des opérations. Grâce à ceci, la plupart des opérations listées dans le tableau ci-dessus sont entre 1 et 4 fois plus rapides avec einsum qu’avec leur équivalent Numpy, jamais plus lentes. Et pour des opérations plus complexes comme le calcul de la , l’accélération peut être d’un facteur 10 ou plus .

Si vous n’avez pas tout suivi, retenez juste ceci:

Einstein n’était du tout. Il était un surdoué en maths qui a préféré faire de la physique, mais le fait que sa “convention de sommation” apparaisse dans les langages de programmation un siècle plus tard confirme le génie du bonhomme
Que Python est LE langage de programmation scientifique qui s’impose. Oubliez Matlab, qui n’offre même pas de fonction einsum …

Références

Åhlander, K. (2002). “Einstein summation for multidimensional arrays”, Computers and Mathematics with Applications, 44, 1007–1017. \[[pdf](http://www.nik.no/2000/Krister.Aahlander.pdf)\]
Alex Riley, “ ”
sur MathWorld
sur GitHub
(pas simple…)

Comment obtenir 100 avec 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dans l'ordre ?

Sun, 14 Dec 2014 00:00:00 +0000

Srinivasa Ramanujan est célèbre pour des formules très surprenantes du genre de celle exposée dans cet article

A la recherche d’un petit article vite fait, j’ai vu et je me suis dit : soit c’est encore un “ ” , soit il y a un piège . Alors je l’ai lu, et ça n’avait pas l’air trop difficile, vu le nombre de solutions proposées:

\[mathjax\]

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9$
$123 - 45 - 67 + 89$
$1^{2345} + 6 * (7 + 8) + 9$
$- 1 + 2^{3 + 4} - 5 + 67 - 89$
$1* (2 + 3) * 4 * 5 * (6 - 7) * (8 - 9)$
et des dizaines d’autres variantes

Evidemment, le même problème a été posé pour , , , et pourrait l’être pour ou n’importe quel autre entier, mais a fait très fort en proposant une solution générale, valable pour tout N :

$N= - \log_{1\cdot 2} \left( \log_{3+4-5} \sqrt{ \sqrt{ \cdots \sqrt{-6+7-8+9}}}\right)$ où l’expression comporte N racines imbriquées.

L’astuce, c’est que $\sqrt{ \sqrt{ \cdots \sqrt{2}}} = 2^{(1/2)^{N} = 2}{2^{-N}}$, donc il suffit d’en prendre deux fois le logarithme base 2 pour obtenir -N .

Bon ça ne va pas simplifier mon programme python qui résout ce genre de problèmes, mais c’est génial, non ?

Pour la Science de Décembre

Sun, 07 Dec 2014 00:00:00 +0000

D’habitude je déguste mon numéro de “Pour la Science” petit à petit pendant le mois. Mais là j’ai dévoré le en quelques heures de voyage en train : il est plein d’articles passionnants sur des sujets très variés.

Dans “ ”, Niayesh Afshordi, Robert Mann et Razieh Pourhasan de l’ proposent une idée assez stupéfiante : notre univers à 3 dimensions serait issu de l’effondrement d’une étoile à 4 dimensions en trou noir… Selon eux, mathématiquement du moins, l’horizon des événements d’un trou noir à 4 dimensions correspond notre univers à 3 dimensions, ce qui permet d’éliminer la “singularité” des trous noirs et du Big Bang en même temps, et de ne plus avoir besoin de postuler une . Je ne sais pas vraiment quoi penser de cette théorie qui me sembler qu’elle n’en résout, mais comme je suis en train de lire Lee Smolin (2014). La Renaissance du Temps: pour en finir avec la crise de la physique. Dunod. qui la pousse encore plus loin, j’en reparlerai plus tard.

L’article “ ” m’a littéralement scotché. Kim Ta Phuoc, Cédric Thaury (tous deux du ) et Sébastien Corde y expliquent comment faire un de quelques mètres de long, et à la différence de l’article précédent, l’expérience a été faite, et ça marche ! Le principe est l’ : un laser produisant des impulsions extrêmement puissantes mais tout aussi extrêmement brèves. En traversant un , l’impulsion crée des ondes de densité dans le champ électrique un peu comme un bateau crée des vagues de sillage, et sur ces vagues, les électrons du plasma se mettent à “surfer”, accélérant à plusieurs centaines de MeV en quelques millimètres seulement au lieu des kilomètres requis avec un accélérateur “classique”.

Le champ électrique qui se forme dans un gaz atomique derrière une impulsion laser ultrabrève est montré ici sous la forme de vagues bleues que descendent des paquets d’électrons en voie d’accélération. C’est le principe des accélérateurs laser-plasma. (illustration Pour La Science)

Par un mécanisme que je n’ai pas bien compris, tous les électrons accélèrent en fait en zigzaguant à la même fréquence, et à chaque virage émettent chacun un photon à haute énergie. On obtient ainsi des impulsions de voire d’une très bonne qualité, et dont la brièveté est un avantage dans beaucoup d’applications. Outre la radiothérapie, on devrait arriver bientôt à faire de la sur des molécules organiques délicates, voire “in vivo”. Et quand les physiciens se mettent imaginer comment filmer des molécules dont les liaisons chimiques seraient brisées une à une, je deviens juste impatient de voir ça !

“ ” est un peu la réponse du berger à la berger : “mon est plus puissant que ton laser-plasma”, expliquent Nora Berrah et Philip Bucksbaum. Ils décrivent comment un projet militaire de “guerre des étoiles” démarré sous Reagan a (tout de même…) résulté en quelque chose d’utile sous la forme du LCLS qui a été ajouté à l’accélérateur linéaire de Stanford pour devenir la plus intense source de rayons X artificiels. Une des applications les plus sidérantes de l’engin est la production d’ “atome creux”. C’est un phénomène incroyable : les sont transparentes aux rayons X, sauf la couche K, la plus interne. En exposant un atome à un flux de rayons X, les deux électrons de cette couche se font “souffler” hors de l’atome, qui devient “creux”. Deux électrons de la couche L juste supérieure vont tomber à la couche K, créant un vide de deux électrons rempli par 2 électrons de la couche M etc. Mais si le rayonnement X est suffisamment intense, la couche K se fait “souffler” au fur et à mesure, et l’atome perd tous ses électrons “par l’intérieur”. Ca s’appelle la “relaxation Auger”, ça ne dure que quelques secondes, et là encore les physiciens pensent arriver à “filmer” le phénomène à l’aide d’impulsions X ultra brèves.

“ , le jeu se poursuit” est un hommage au génial auteur de qui aurait eu 100 ans cette année. Sa rubrique était l’une des raisons pour lesquelles je piquais les “Pour la Science” de mon père jusqu’en 1981. il m’a fait découvrir le et le entre autres choses qui m’intéressent . L’article montre aussi comment cet autodidacte a saisi l’opportunité d’un article (sur les ) pour consacrer sa vie à sa passion en développant une correspondance épistolaire fertile en articles passionnants avec des gens aussi variés que Dali etc… Je suis très heureux d’ que cette ouverture se perpétue jusqu’à Jean-Paul Delahaye qui tient la rubrique actuellement.

Jean-Paul se demande ce mois-ci sil existe “ ” La d’Howard Gardner se heurte à la vision des informaticiens d’une seule intelligence, testable par le , voire quantifiable par des taux de compression des données comme l’a proposé . Dans cette optique, propose une mesure mathématique universelle d’intelligence : “la réussite moyenne d’une stratégie dans l’ensemble des environnements envisageables.” (voir ). Séduisant, mais pas facile à mesurer en pratique. En attendant une meilleure idée, Hutter propose un à partager entre les auteurs de programmes capables de comprimer le contenu de la Wikipédia le mieux possible. Il explique est que pour bien comprimer (=résumer) des données, il faut les comprendre. Je vais évidemment m’attaquer à ce challenge, je vous en recauserai en 201x …

Intelligence toujours dans “ ” où Anna Smet, Catherine Hobaiter et Richard Byrne font le point sur les capacités cognitives des pachydermes. Il s’avèrent qu’ils sont capables de distinguer les ethnies des humains d’après l’habillement, de reconnaître plus d’une centaine de congénères d’après les infrasons qu’ils produisent, et il semblerait bien que ce soit les seuls animaux qui aient certains égards pour les squelettes de leurs ancêtres. Un article émouvant et qui pousse évidemment à la réflexion sur nos intelligences naturelles et artificielles.

Pour terminer sur une note ludique, nos signent un article sur les “ ” type Beyblade qui enchantent nos bambins. (c’est encore la mode cette année ?) Les caractéristiques des toupies leurs confèrent des avantages et inconvénients à bien balancer par rapport aux toupies adverses lors d’un combat. Me suis demandé si des ne rendraient pas le jeu encore plus “intéressant”…

Bref, que des bonnes choses dans ce numéro. Foncez chez votre marchand de journaux !

Pour la Science de Juillet

Sun, 20 Jul 2014 00:00:00 +0000

L’été, il arrive que je lise Pour la Science un peu distraitement, lunettes de soleil sur le nez et bière à la main. Mais cette année c’est différent : le est passionnant du début à la fin.

L’intelligence des céphalopodes

Ludovic Dickel et Anne-Sophie Darmaillacq montrent que “l ” est remarquable. Le cerveau du poulpe ou de la seiche contient 500 millions de neurones, nettement plus que celui d’une souris, ce qui leur permet des comportements d’imitation, de tromperie, de curiosité pour des objets nouveaux, voire de jeu.

Le passage que j’ai trouvé le plus surprenant concerne le système de utilisé par ces animaux pour modifier leur apparence de manière spectaculaire. Leur capacité à adopter la couleur de leur environnement pour se camoufler est bien connue. Mais ils peuvent aussi devenir d’un blanc éclatant en un éclair, et même aussi polariser la lumière à volonté! Ni nous ni la plupart des animaux ne perçoivent la polarisation, mais les céphalopodes oui. En clair, les poulpes peuvent transmettre des messages optiques à d’autres poulpes sans compromettre leur camouflage !

La réionisation

Dans “ ”, j’ai appris ce qu’est la . Pourtant j’aurais du le savoir depuis “ ” : 380'000 ans après le Big Bang, la température de l’Univers avait suffisamment baissé pour que les électrons se aux noyaux d’hydrogène et d’hélium, formant des atomes “neutres”. Mais aujourd’hui, le indique que l’hydrogène disséminé dans l’espace intergalactique proche est ionisé.

Une source d’énergie a donc réionisé l’espace “assez vite”, grosso-modo pendant le premier milliard d’années de l’Univers. Selon Michael Lemonick, c’est l’oeuvre du rayonnement ultraviolet des premières étoiles, 100 fois plus massives que notre Soleil et composées exclusivement d’hydrogène. Mais ce pourrait aussi être l’activité des premiers trous noirs supermassifs, les . La prochaine génération de télescopes et de systèmes de détection des est attendue avec impatience pour mieux comprendre ce qui s’est passé à la fin de l’âge sombre de l’Univers.

L’effet Google

Ensuite, Daniel Wegner et Adrian Ward se demandent si notre mémoire, notre rapport aux autres et notre propre perception de nous-mêmes sont modifiées par “ ”, avec un point d’interrogation. Ils commencent par remarquer que la mémoire était répartie entre les humains pour être conservée de façon plus fiable et efficace. Ceci est profondément modifié depuis qu’internet permet de retrouver quasiment toute la mémoire de l’humanité plus rapidement qu’en posant une question à son voisin. Avec d’astucieuses expériences de psychologie, ils montrent que nos facultés de mémorisation sont amoindries lorsqu’on sait que les informations sont sauvegardées dans un ordinateur, et qu’on s’auto-évalue comme plus intelligent lorsqu’on a accès à internet pour répondre à un questionnaire de culture générale.

Ramanujan et les partitions

était un génie des maths autodidacte qui a étonné le monde au début du XXème siècle. C’est lui qui est à de , mais il est surtout connu pour de multiples formules du genre:

\[mathjax\]

$$1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.$$

données sans démonstration, du genre “mais voyons c’est évident”, et que les matheux ont mis quelques décennies à démontrer après le décès de Ramanujan en 1920, à 32 ans seulement.

Dans “ ”, Ariel Bleicher raconte comment les travaux de Ramanujan de 1919 sur les ont débouché sur des développements récents.

Le “nombre de partitions p(n)” est le nombre de manières d’obtenir n en additionnant des entiers plus petits que n. Par exemple pour n=4 on a 1+1+1+1, 1+1+2, 2+2, 1+3, et on compte 4 lui même, donc p(4)=5.

liste les premiers termes de cette suite (qui commence par p(0)=1, p(1)=1, p(2)=2 …) :

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525, …

Ramanujan avait remarqué que tous les 5 nombres, le nombre de partitions est un multiple de 5 (en gras). Et il a démontré que p(5k-1) est divisibles par 5 quel que soit k entier. Et puis il a remarqué et prouvé que p(7k-2) est divisible par 7 ∀ k (en italiques), et aussi que p(11k-5) est divisible par 11. Ce sont les .

Ramanujan est mort en n’étant pas sur qu’il existe d’autres “modules” que 5,7, et 11. Effectivement, elles sont apparemment rares : jusqu’en 1990, les matheux (et informaticiens) n’ont trouvé que 29, 133, et 236 en plus. Mais Ramanjuan avait fait part d’une une intuition concernant ce qu’il appelait de “fausses fonctions thêta” qui ressembleraient aux utilisées pour étudier ces congruences.

Ce n’est qu’en 2002 que Sander Zwegers a formalisé ces “ ” qui se révèlent des outils puissants, par exemple pour étudier l’entropie des trous noirs ! (ne me demandez pas le rapport, je n’ai rien rien pigé à l’abstract de …) . Plus récemment encore, a démontré l’intuition de Ramanujan, et également qu’il existe une infinité de congruences dans le nombre de partitions.

Y’a-t-il masse et masse ?

Dans “ ", Domenico Giulini décrit les dernières expériences réalisées pour vérifier le selon lequel la masse grave et la masse inerte sont égales.

la masse inerte, c’est le m de la formule F=m.a qui relie l’accélération d’un corps à la force exercée sur lui
la masse grave, c’est les m de la formule F=G.m1.m2/d² qui décrit la force de gravitation entre deux corps séparés par une distance d

En combinant les deux équations, on en arrive à l’idée que tous les corps tombent selon la même accélération, le fameux g=9.81

\[m/s²\]

sur Terre, chose vérifiée depuis que Galilée a lâché deux boules de masse différente du haut de la tour de Pise. Sauf que c’est une légende:

Ce n’est pas Galilée mais qui a fait l’expérience, très loin de Pise. Galilée a fait l’expérience en faisant rouler les boules sur un plan incliné
Ca ne suffit pas à convaincre les physiciens. Encore aujourd’hui on se demande si m est vraiment égal à m, même si les mesures ont montré qu’un éventuel écart est inférieur à 10-12

Il faut dire que si les masses inerte et grave d’un corps ne sont pas égales, ça serait grave (sic) : la loi de la gravitation serait fausse, y compris la relativité générale qui est son interprétation actuelle, et c’est peut-être pour ça qu’on arrive pas à la relier à la mécanique quantique. C’est pourquoi les expériences récentes tentent de mesurer la gravitation (qui est l’ la plus faible, et de loin) au niveau atomique, mais ce n’est pas simple.

Par exemple, l’équipe de est parvenue à mesurer la chute d’un seul atome en 1999, mais l’équipe de (co-lauréat du Nobel 1997 avec Chu) n’est apparemment pas d’accord sur l’interprétation de cette expérience qui mesure le de la fréquence de Compton de l’atome…

Energies renouvelables

Sinon j’ai été déçu par l’article “ ” de Vaclav Smil, car je n’y ai rien appris, ça correspond à 90% à mon point de vue, et d’ailleurs l’article est lui aussi un point de vue, fondé sur la réalité historique plutôt que sur les sirènes qui nous chantent un Grand Soir Vert… Les 10% de différence concernent d’ailleurs la solution entrevue par Smil : réduire la consommation d’énergie d’un tiers. Pourquoi pas … Mais si la population ne veut pas la réduire, mais continuer de l’augmenter comme elle l’a fait depuis plus de 10'000 ans ? Faudra-t-il un Grand Timonier pour envoyer au goulag (nettoyer des panneaux solaires…) ceux qui pensent qu’on devrait plutôt continuer la transition énergétique en cours avec du thorium plutôt que de l’uranium ?

Avec un numéro si bien rempli, je n’ai pas encore eu le temps de lire l’article de mon sur ni la rubrique “Logique & Calcul” de Jean-Paul Delahaye sur les jeux de cartes et les suites de de Brujin (rencontrées ), mais comme le numéro d’août est déjà chez les abonnés, je ne peux que me dépêcher de vous dire de foncer chez votre marchand acheter cet excellent numéro de juillet.

Le cadran des trois neufs

Tue, 03 Jun 2014 00:00:00 +0000

(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du … Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)

Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.

Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 (

\[mathjax\]

$1=9^{9-9}$ ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:

les 4 opérations de base
la racine carré et la racine x-ième
la (il y a d’ailleurs une erreur : $5= \sqrt{9}!-9/9$ et pas $\sqrt{9!}-9/9$ comme sur la photo)
le noté $\overline{.x}$ et valant x/9. Et oui, $\overline{.9} = 1$ (voir )
la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x

Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines “heures” facilement:

$1 = x^{x-x}$
$2 = (x+x)/x$
$x-1 = x-x/x$
$x = \sqrt \[x\]{x^x}$, parmi plusieurs autres possibilités
$x+1 = x+x/x$
$11 = xx/x$, où xx désigne la concaténation de deux x
$3x = x+x+x$
$9-x = x/\overline{.x} -x$
$x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}$
$x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}$ (trouvé par ced…)
$9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}$ (bravo ced !)
$2x = x+\sqrt{x*x}$ (encore ced !)
$3 = \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}$ (bien vu Danakh)

Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions “hors-recettes” que j’ai trouvées :

x/heure	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)
2	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)
3	(g)	(e)	(d)	(c)	(m)	(h)	(m)	(m)	$\sqrt{9}+9-9$
4	(i)	(l)	(e)	(d)	(c)	$\sqrt{66}\overline{.6}$	(j)	$8-\sqrt{8+8}$	$\sqrt{9}+9/9$
5	$\sqrt{1/\overline{.1}}! -1$	(i)	$3!-3/3$	(e)	(d)	(c)		(j)	$\sqrt{9}!-9/9$
6	$(1+1+1)!$	(g)	$3!+3-3$	$(4-4/4)!$	(e)	(d)	(c)	$8-\sqrt{\sqrt{8+8}}$	(j)
7	(h)	$3!+3/3$	$(4!+4)/4$		(e)	(d)	(c)	$9-\sqrt{9}+\overline{.9}$
8	(h)	$222$	$(3!/3)^3$	$4!-4*4$	(i)	$(6+6)*\overline{.6}$	(e)	(d)	(c)
9	(k)	(k)	(g)	(k)	(k)	(k)	(k)	(e)	(d)
10	$11-1$			$4+4+\sqrt{4}$	(l)	$6+6*\overline{.6}$	(i)	$8+\sqrt{\sqrt{8+8}}$	(e)
11	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)
12	$11+1$	$(2+2)!/2$	$3*3+3$	(g)	$5!/(5+5)$	(l)		$8+\sqrt{8+8}$	$9+9/\sqrt{9}$

Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:

En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à $x = \sqrt{x*x}$ comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…

Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:

le cadran du 4. El Jj avait d’ailleurs il y a longtemps.
ceux du 1 et du 6, obtenus grâce à la sagacité de Danakh. Bravo² !
celui du 8, brillamment terminé par Groug grâce à un de plus. Bravo !

En autorisant quatre répétitions, on peut:

remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes $8 = x/\overline{.x} - x/x$ et $10 = x/\overline{.x} + x/x$, ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5

Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?

17 équations qui ont changé le monde

Sun, 16 Mar 2014 00:00:00 +0000

Ce livre est l’une des raisons pour lesquelles je n’ai pas encore terminé la suite des “ ”. attaque le sujet dès la première page:

Il existe en mathématiques deux types d’équations, très semblables en apparence. Le premier représente des relations entre diverses quantités mathématiques; la tâche consiste dans ce cas à démontrer que l’équation est vraie. Le second fournit des informations sur une quantité inconnue, et la tâche du mathématicien consiste alors à résoudre l’équation, à rendre connu l’inconnu. (…)

En mathématiques pures, les équations sont généralement du premier type : elles révèlent des schémas et des régularités aussi belles que profondes, Elles tirent leur validité du fait que, considérant nos présupposés fondamentaux à propos de la structure logique des mathématiques, il ne peut en être autrement.

En mathématiques appliquées et en physique mathématique, on trouve habituellement des équations du second type. Elles codifient des informations à propos du monde réel; elles expriment des propriétés de l’univers qui en principe auraient pu être très différentes.

Les 17 équations retenues par Stewart sont autant de chapitres sur des ponts établis entre mathématiques et réalité au cours des siècles:

	titre du chapitre		auteur	date
1	Le carré de l’hippopotame (le théorème de Pythagore)	$a^2+b^2=c^2$	Pythagore	-530
2	Ecourter les procédures (les logarithmes)	$\log xy=\log x+\log y$	John Napier	1610
3	Fantômes de quantités disparues (le calcul infinitésimal)	$\frac{df}{dt}=\lim\limits_{h \to 0}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$	Newton	1668
4	Le système du monde (la loi de la gravitation de Newton)	$F=G\frac{m_1 m_2}{d^2}$	Newton	1687
5	Prodige du monde des idées (la racine carrée de -1)	$i^2=-1$	Euler	1750
6	Beaucoup de bruit pour des noeuds (la formule d’Euler pour les polyèdres)	$V-E+F=2$	Euler	1751
7	Les motifs du hasard (la distribution normale)	$\Phi(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}e^{\frac {( x - \mu)^2 } {2\sigma ^2 }$	C.F. Gauss	1810
8	Bonnes vibrations (l’équation d’onde)	$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$	J. d’Alembert	1746
9	Ondelettes et soubresauts (la transformée de Fourier)	$f(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-2\pi ix\omega }dx$	J. Fourier	1822
10	L’ascension de l’humanité (l’équation de Navier-Stokes)	$\rho \left(\frac{\partial v}{\partial t}+v.\nabla v \right) = -\nabla p + \nabla.T+f$	C. Navier, G. Stoker	1845
11	Des vagues dans l’éther (les équations de Maxwell)	$\nabla\cdot E = \rho / \varepsilon_0$ $\nabla\cdot B = 0$ $\nabla\times E = - \partial B/{\partial t}$ $\nabla\times B = \mu_0 \left( J + \varepsilon_0 \partial E / {\partial t}\right) $		1865
12	Loi et désordre (deuxième principe de la thermodynamique)	$dS\geq 0$		1874
13	Une chose est absolue (la relativité)	$E=mc^2$		1905
14	Bizarrerie quantique (l’équation de Schrödinger)	$i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \psi=H\psi$		1927
15	Codes communication et ordinateurs (la théorie de l’information)	$H=-\sum p(x)\log p(x)$		1949
16	Le déséquilibre de la nature (la théorie du chaos)	$x_{t+1}=kx_t(1-x_t)$		1975
17	La formule du roi Midas (l’équation Black-Scholes)	$\frac{\sigma ^2}{2}S^2\frac{\partial ^2V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\partial V}{\partial t}-rV$	F. Black, M. Scholes	1990

Chaque chapitre commence par une page de résumé présentant l’équation sous une forme que j’ai trouvé intéressante. Voici par exemple celle du chapitre 9 sur la transformée de Fourier (mais oui, vous savez, …)

Ensuite trois paragraphes résument “Ce que cela nous dit”, “Pourquoi c’est important” et “A quoi cela nous a conduits”. On le voit, l’ambition est de rendre accessible à tous la signification et l’importance de formules qui en rebutent beaucoup.

Mais disons le tout net : si vous n’avez pas une formation de base en maths ou une réelle curiosité pour ce monde, il est probable que la lecture de chaque chapitre se résume à celle des premières pages dans lesquelles Stewart fait l’historique de la découverte de chaque équation. Ce sont des pages passionnantes, où l’on voit que les mathématiciens de génie sont souvent incompris, bien que fréquemment ils ne fassent que formuler clairement les idées absconses de leurs contemporains.

Ensuite, le niveau de chaque article monte selon des pentes parfois assez raides qui peuvent décourager certains lecteurs. Stewart évite au maximum d’infliger d’autres formules mathématiques que celle servant de titre mais ses explications couvrent souvent plusieurs pages de texte compact pas forcément plus digeste.

En fait, chaque chapitre de ce livre peut être lu indépendamment et constitue un petit cours sur le domaine concerné par l’équation. En établissant des liens entre l’histoire, les maths et les applications technologiques actuelles, les formules prennent un sens plus concret et les chapitres de ce livres aideront certainement les étudiants et passionnés à mieux comprendre la signification et l’importance de ces équations célèbres.

Pour ma part, le chapitre qui m’a le plus plu car j’y ai le plus appris est le quatrième, dévolu à la gravitation newtonienne. J’y ai appris l’existence du utilisée par les sondes spatiales ainsi que par des comme . L’idée est que les peuvent être utilisés comme des aiguillages permettant de passer d’une orbite stable à une autre, très différente, en ne nécessitant que très peu d’énergie (cf sur les puits gravitationnels). Par exemple, entre 1910 et 1980, la comète Oterma a alterné deux fois des orbites situés à l’intérieur de celle de Jupiter avec des orbites extérieures

Trajectoire d’Oterma à droite, orbite périodique correspondante à gauche

Pourquoi 17 équations, et pas plus ou moins ? Après 410 pages on ne se pose plus trop la question : éventuellement moins, mais pas plus. Le chapitre 1 sur Pythagore est “trop facile” par rapport aux autres, peut-être pour appâter le chaland. Le 13 sur la relativité m’a fait un peu la même impression, mais bon, on ne peut nier que e=mc² ait changé le monde… Personnellement c’est le dernier chapitre sur qui m’a laissé un peu froid. Ok, les maths actuelles s’intéressent beaucoup à l’économie, mais il me semble que là, Stewart s’éloigne un peu des “deux types d’équations” de son introduction.

Peut-être que Stewart aurait pu ajouter l’équation du Page Rank de Google ou celle du comme il le suggère dans un mail ( , “bonus” en bas). Mais il les garde plus probablement pour un prochain livre sur les “17 équations qui changeront le monde”, si celui-ci marche bien…

“17 équations” est un bon bouquin, mais ne soigne pas l’allergie aux maths. Si vous connaissez déjà certaines des équations, ça vous fera une bonne révision et vous en découvrirez probablement de nouvelles facettes, comme les par exemple. Si vous êtes un passionné d’histoire des sciences vous y trouverez certainement votre bonheur également.

(merci à l’éditeur pour la “copie presse”)

Références:

Ian Stewart (2014). 17 équations qui ont changé le monde. Robert Laffont.
W. S. Koon, M. W. Lo, J. E. Marsden, S.D. Ross, “ ” 2001, in “Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies”, Springer DOI >
Max Nisen, “ ”, 2013, Business Insider

Le postier chinois de Königsberg

Fri, 22 Nov 2013 00:00:00 +0000

Les ponts de Königsberg

(Ce paragraphe d’introduction est une traduction de l’article “ ” paru sur Plus Maths)

Au 18ème siècle, la ville que nous connaissons sous le nom de Kaliningrad s’appelait Königsberg et se trouvait en Prusse. Comme beaucoup d’autres grandes villes, Königsberg se trouve sur une rivière, la Pregel. Elle comportait deux îles et il y avait sept ponts reliant les différentes terres. Un fameux casse-tête de l’époque était de trouver un chemin à travers la ville qui passait une seule fois par chaque pont. Plusieurs personnes disaient avoir trouver un tel chemin, mais lorsqu’on leur demandait de le reproduire, personne n’y arrivait. En 1735 le mathématicien suisse expliqua pourquoi : il démontra qu’un tel chemin n’existait pas.

La solution d’Euler est étonnamment simple, une fois que vous considérez le problème sous le bon angle. Le truc est d’éliminer toute information inutile. Le chemin parcouru sur terre n’a pas d’importance. La forme de ces terres n’a pas d’importance, ni le trajet de la rivière ou la forme des ponts. Donc vous pouvez simplement représenter chaque terre par un point et chaque pont par une ligne liant deux points. Vous n’avez pas du tout besoin de respecter la géographie : aussi longtemps que vous ne modifiez pas la connectivité des points, lequel est connecté auxquels, vous pouvez déformer votre dessin autant que vous voulez sans changer le problème.

Transformation du problème (source : Wikipédia)

Une fois que vous avez représenté le problème de cette façon, ses caractéristiques sont bien plus simples à voir. Après avoir un peu joué avec, vous constaterez ceci : en arrivant sur un point, et à moins que ce soit la dernière étape de votre chemin, vous devrez repartir par une ligne différente de celle d’arrivée puisque c’est la règle du jeu. Ca signifie que chaque point à l’exception du départ et de l’arrivée de votre chemin doit avoir un nombre pair de lignes le connectant aux autres : pour chaque lien entrant il doit y en avoir un pour en repartir.

Donc pour qu’un chemin qui passe une et une seule fois par chaque ligne existe, il ne doit pas y avoir plus de deux points avec un nombre impair de lignes connectées. En fait il ne peut y avoir que deux points impairs ou pas du tout. Dans le premier cas les deux points impairs sont forcément les points de départ et d’arrivée, alors que dans le second, le chemin est un circuit fermé. Or dans le problème de Königsberg, tous les points ont un nombre impair de connexions, donc un chemin ne passant qu’une seule fois par chaque pont est impossible.

Ce résultat d’Euler marque le début de la , l’étude de réseaux de points connectés par des liens. Euler a d’ailleurs aussi démontré que si la condition mentionnée plus haut est respectée, à savoir que le nombre de points avec un nombre impairs de liens est soit deux soit zéro, alors il existe toujours un chemin qui passe par chaque lien exactement une fois.

Voyageur de commerce et postier chinois

(à partir de là c’est du pur Dr. Goulu)

A part dans les casse-tête, on trouve très souvent en pratique des problèmes pouvant être résolus grâce à la théorie des graphes. Par exemple, avec le (TSP), j’avais eu l’occasion de le rencontrer dans l’optimisation des mouvements d’une machine à percer les circuits électroniques.

Dans le TSP, le but est de trouver le circuit (fermé) dit “ ” passant par tous les points d’un graphe, et dont le coût soit minimum, en pratique celui dans lequel la distance totale à parcourir (ou mieux encore le temps nécessaire) est minimum. A Königsberg, un voyageur de commerce aurait l’embarras du choix d’un circuit lui permettant de visiter ses clients sur les 4 terres, mais s’il devait s’acquitter de péages différents selon les ponts, un petit calcul lui serait nécessaire. Pour des problèmes de taille réelle, trouver le minimum absolu est horriblement difficile voire impossible, mais il existe des méthodes itératives qui convergent assez rapidement vers des solutions raisonnablement proches de l’optimum.

Etapes de l’optimisation TSP du trajets d’une perceuse de circuits imprimés

Plus récemment j’ai rencontré le , ainsi nommé parce qu’il s’agit d’un problème que connaissent tous les postiers, mais qui a été étudié mathématiquement par un chinois, Mei-Ko Kwan en 1962. Il s’agit de trouver le plus court circuit qui permette à un postier de parcourir toutes les rues de sa zone au moins une fois. Il est clair que s’il existe un permettant de ne passer qu’une et une seule fois par chaque ligne, ce circuit serait en même temps la solution du postier chinois. Mais quand ce n’est pas le cas, il faut forcément parcourir plusieurs fois certaines rues.

Si le postier doit desservir des échoppes situées sur chacun des ponts de Königsberg, combien de traversées de ponts au total sont nécessaires à sa tournée? Arrive-t-on à réduire ce nombre en employant deux postiers? Et si on construisait un nouveau pont? (Pas deux, ce serait trop facile.)

En gros j’ai ce problème avec environ 200 rues dispersées dans plusieurs villages, plusieurs postiers, et pour couronner le tout il y a du vent : il est plus facile de parcourir les rues dans un sens que dans l’autre. Mais avec Python, et un peu de lecture , je devrais m’en sortir…

Références

E. Aoyama, T. Hirogaki, T. Katayama, and N. Hashimoto, “Optimizing drilling conditions in printed circuit board by considering hole quality” J. Mater. Process. Technol., vol. 155, pp. 1544–1550, 2004.
E. Benavent, A. Corberan, I. Plana, and J. M. Sanchis, “Min-Max k-vehicles windy rural postman problem” Networks, vol. 54, no. 4, pp. 216–226, Dec. 2009 \[[pdf](http://www.uv.es/sestio/TechRep/tr09-07.pdf)\]
Grötschel, M., & Yuan, Y.“Euler, Mei-Ko Kwan, Königsberg, and a Chinese Postman”, 2012 \[[pdf](http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/16_groetschel-martin-yuan-ya-xiang.pdf)\]
Grötschel, M. (Ed.) “Optimization Stories (Extra Volume)”, 2012, 21st International Symposium on Mathematical Programmng (p. 460). Berlin: Documenta Mathematica: Journal der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. ISBN 3936609586 / 978-3936609585 (Excellent recueil d’articles sur l’histoire de la théorie des graphes) \[[pdf](https://www.zib.de/groetschel/publications/OptimizationStories.pdf)\]

De quelle couleur est l'ours ?

Tue, 08 Oct 2013 00:00:00 +0000

Parfois, un membre du lance une “chaîne” de billets sur un thème donné. Là c’est Rock ’n’ Science qui a lancé la chaîne des , déjà complétée par plusieurs de mes estimés confrères. Ayant déjà par le passé et n’osant pas répéter les horreurs circulant sur notre forum interne, ma modeste contribution cette fois-ci se résume à ce petit problème plus mignon que drôle:

Un explorateur quitte son campement et marche 20 km plein sud, puis il tourne à angle droit et marche 20 km tout droit en direction de l’est. Puis il tourne à nouveau à angle droit et marche 20 km parfaitement vers le nord. Il arrive en plein sur son campement, où il découvre un ours en train de dévorer ses provisions. De quelle couleur est l’ours ?

Le gag, pour autant qu’il y en ait un, est qu’il existe une réponse logique : blanc.

Apparemment, le trajet de l’explorateur est impossible : comme il est revenu à son point de départ, il a parcouru un triangle équilatéral, mais qui possède deux angles droits ! Or les triangles équilatéraux normaux ont 3 angles de 60°, et un triangle rectangle ne peut comporter qu’un seul angle de 90° puisqu’il est bien connu que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

un triangle équilatéral 3x rectangle (illustration GeoTortue)

Sauf que ceci est valable sur le plan de la , alors que nous vivons sur une Terre approximativement sphérique où nous devrions plutôt utiliser la dans laquelle la somme des angles d’un triangle vaut toujours plus de 180°.

De plus, les sont bien pratiques dans nos régions, où les directions nord-sud et est-ouest sont bien définies. Mais il existe deux régions au monde où les choses se compliquent : les pôles.

Ce n’est qu’à partir d’un campement situé au pôle nord que notre explorateur peut réaliser le trajet décrit, donc le seul ours qui peut s’y trouver est , dit blanc.

(paragraphe corrigé le 3.1.14 suite au commentaire de Sophie) Comme on s’en convainc en observant le dessin ci-contre, l’explorateur revient à sa base selon une direction perpendiculaire à bien différente de sa direction de départ. Tant qu’il reste près du pôle, l’angle au sommet vaut environ, mais si son périple descendait jusqu’à l’équateur, il décrirait un triangle équilatéral dont les 3 angles sont droits !

Reste un détail à régler : y’a-t-il vraiment des ours polaires au pôle nord ? Apparemment oui : on en a de latitude nord, donc à environ 200 km de l’axe de la Terre.

Bon, il n’est pas vraiment drôle cet article, alors j’en rajoute une courte:

Une logicienne rentre de congé maternité. Un collègue lui demande “ton bébé, c’est un garçon ou une fille ?” Elle : “Vrai.”

Le "triangle" qu’aurait pu parcourir l’explorateur autour du pôle Sud

Ajout du 9.10.13 : le commentaire d’Ysmi me plonge dans un émerveillement teinté de regrets, voire de honte. J’aurais du être plus prudent en écrivant qu’il n’y a que la solution du pôle Nord. En fait j’en ai cherché une preuve mathématique que je n’ai pas trouvée, car elle n’existe pas : il existe une solution au pôle Sud, trouvée il y a bien longtemps par Martin Gardner, et illustrée ci-contre.

En effet, si l’explorateur a établi son campement à environ 23,183 km du pôle sud, en descendant 20 km au sud il arrivera à 3.183 km du pôle, puis en allant tout droit vers l’est il décrira un cercle parfait de 20 km de périmètre avant de rejoindre son campement en marchant plein nord sur le chemin par lequel il est arrivé !

Il y a même une infinité de latitudes autour du pôle Sud ou ceci se produit, car si le camp de l’explorateur se trouve à 20 + 10/n.π km où n est un entier positif, il effectuera exactement n tours du pôle sud en parcourant 20 km vers l’est avant de remonter au nord à son campement.

L’ours a donc une forte probabilité d’être en réalité un manchot déguisé, bien que je doute que ces animaux s’éloignent beaucoup de la côte du continent Antarctique

Divers d'été

Sun, 12 Aug 2012 00:00:00 +0000

Billet vite fait en forme de pot-pourri de découvertes estivales.

Les Seychelles

Ce pays est bien plus qu’une destination de vacances de rêve. L’archipel est un “micro-continent” granitique peuplé d’espèces endémiques surprenantes, préservées de toute présence humaine jusque vers 1750. Actuellement, ce micro-état de 90'000 habitants seulement traverse des crises importantes mais m’a semblé sur la bonne voie pour les résoudre : bon niveau de formation, ouverture, dialogue social et politique, conscience écologique.

"Dr. Goulu et la coco fesse" (sur flickr)

On trouve aux Seychelles des , “Aldabrachelys gigantea”, plus grosses que celles des Galapagos. Charles Darwin était d’ailleurs intervenu en faveur de leur protection, car elles étaient menacées à la fin du XIXème siècle. Les autorités avaient alors eu une excellente idée pour tenir les braconniers à l’écart de Curieuse, une île affectionnée par les tortues : y construire une léproserie!

Il y a le “Lodoicea maldivica” qui n’est ni de mer, ni des Maldives mais produit bien les plus grosses graines du monde, les magnifiques “coco fesses”. De la même que “ ”, il n’est de loin pas autant répandu puisqu’il n’en existe que quelques milliers d’arbres, pour la plupart à la sur l’ile de Praslin. prétendent d’ailleurs que la “coco de Praslin” a donné l’expression “ ”, mais c’est douteux. Pour ma part, je me demande toujours quel est l’ de produire si peu de graines si grosses qu’il leur faut 7 ans pour mûrir.

A part ça, les “fruit bats” des Seychelles sont de “[ ]( qui se nourrissent exclusivement de fruits. J’ai été étonné par leur vol en ligne droite, de jour, mais je ne les ai pas trouvées aussi goûteuses que vantées par les Seychellois…

Tau Zéro Poul Anderson; Editions Le Bélial' 2012WorldCat • Open Library • LibraryThing • Google Books • BookFinder

Ayant découvert ce livre grâce à , je l’ai dévoré en me demandant comment j’avais pu ignorer son existence pendant 42 ans. Il faut dire que “Tau Zéro” est bien mieux que ma nouvelle “ ” sur le même thème…

Ce roman de “hard science fiction” raconte un voyage interstellaire à vitesse relativiste d’une manière très précise et bien documentée, tout en maintenant un suspense par plusieurs rebondissements. Je l’ai trouvé excellent car j’y ai retrouvé l’optimisme de la conquête spatiale des années 1970 et la liberté des moeurs de cette époque bénie de ma jeunesse ;-) J’ai un peu moins aimé la fin, mais cette lecture reste un must pour les amateurs de s-f.

“C’est maintenant” et l’île de Pâques

Par contre je n’ai pas aimé du tout Jean-Marc Jancovici (2009). C'est maintenant: 3 ans pour sauver le monde. Seuil. Ou plutôt j’ai été très déçu par ce pamphlet politique commis par Alain Grandjean, économiste simpliste, et Jean-Marc Jancovici dont je pense pourtant toujours beaucoup de bien depuis que j’ai découvert son site .

Comme ma critique de ce bouquin prend de la place, je vais y consacrer un prochain article. Ici je ne m’attaquerai qu’à l’allégorie utilisée par les auteurs tout au long de leur argumentation : l’ de l’ . Selon l’hypothèse du développée entre autres par dans “ ”, cette île initialement paradisiaque aurait été déforestée par ses habitants sous l’influence des monarques obsédés par l’édification des fameux , au point de la rendre quasi inhabitable.

Or ceci apparaît de plus en plus comme une . En particulier, après avoir montré en 2006 que la colonisation de l’île de Pâques était bien plus tardive qu’on ne l’imaginait , Hunt et Lipo viennent de prouver que les moaïs pouvaient être déplacés sans nécessiter de bois, en marchant !

Le “Pour la Science” d’Août

Deux articles au moins justifient l’achat de ce numéro

D’abord un article très complet sur les neutrinos . Vous savez, ces particules qui ne vont pas plus vite que la lumière… Emis en grand nombre par les , ils sont également produits par les réactions nucléaires du Soleil et celles, naturelles ou artificielles sur Terre. De nouveaux détecteurs comme sont désormais assez sensibles pour mesurer ces derniers. On peut par exemple détecter lorsque le combustible nucléaire est rechargé dans un réacteur. Et si c’est fait souvent, c’est un signe de production militaire… Et on peut aussi mieux quantifier le fonctionnement du réacteur nucléaire sur lequel nous vivons : La radioactivité naturelle est due à 20% au , à 40% au et à 40% à l’ 238 dont la quantité estimée dans le manteau et la croûte terrestre est estimée à 8.1016 kg, soit 80'000 milliards de tonnes. ( Et on a peur d’en manquer ou de polluer en chaque année un milliardième de ce stock…)

Ensuite , Jean-Paul Delahaye nous explique comment combiner des pertes pour gagner . En effet, selon le très contre-intuitif il est possible d’élaborer une stratégie gagnante en combinant des jeux dans lesquels on est statistiquement perdants ! Mais attention, on ne peut hélas pas jouer à “qui perd gagne” avec une roulette et un black-jack : les deux jeux doivent être en interaction d’une manière bien précise. Donc ça intéresse plutôt nos amis traders. Un de plus pour la en vue ?

Sinon, mes collègues C@fetiers de expliquent pourquoi le ciel n’est pas bleu , et leurs articles dans Pour la Science sont vraiment bien. Vas-y Jean-Michel, donne-nous en plus en ligne !

Références :

Terry L. Hunt et Carl P. Lipo, “Late Colonization of Easter Island”, 2006, Science, Vol. 311 no. 5767 pp. 1603-1606 ,
William McDonough, John Learned et Stephen Dye, “ ", Pour la Science, N°418, août 2012, p 42-49
Jean-Paul Delahaye, “ ", Pour la Science, N°418, août 2012, p 82-87
Jean-Michel Courty et Eduard Kierlik “ ", Pour la Science, N°418, août 2012, p 90-91

Comment trouver des nombres premiers

Sun, 15 Apr 2012 00:00:00 +0000

"the centrality of prime numbers" par barabeke sur Flickr

Les ont beau être étudiés depuis au moins 2300 ans, ils n’ont jamais été aussi mystérieux ni utiles qu’aujourd’hui.

Mystérieux, car la démonstration de l’ , qui permettrait de définir la répartition des nombres premiers, attend toujours son .

Utiles, car nos cartes à puces, téléphones et ordinateurs consomment des quantités industrielles de “grands” nombres premiers, en particulier pour le cryptage . La sécurité de cette méthode “ ” repose sur le fait que la de grands nombres demande un temps prohibitivement long, alors qu’il est très rapide de trouver de grands nombres premiers.

Comment trouver de petits nombres premiers

Ceci parait surprenant de prime abord, puisqu’on apprend à l’école à déterminer si n est premier en tentant de le diviser par les nombres premiers déjà connus inférieurs à √n, ce qui n’est autre qu’une factorisation. On découvre à l’école aussi le , qui fournit depuis 2000 ans les nombres premiers les uns après les autres à tous les heureux possesseurs de feuilles quadrillées ou de mémoires informatiques:

Animation du Crible d’Erathosthène (Wikipédia)

Cette méthode n’a été légèrement améliorée qu’en 1999 avec le et reste excellente pour créer des listes de nombres premiers consécutifs. Ainsi le site les fournit tous jusqu’à 32 416 187 567 *

Mais alors, comment le célèbre a-t-il pu répondre en 1643 à un certain (dont nous reparlerons plus bas):

Vous me demandez si le nombre 100 895 598 169 est premier ou non, et une méthode pour découvrir, dans l’espace d’un jour, s’il est premier ou composé. À cette question, je réponds que ce nombre est composé et se fait du produit de ces deux : 898423 et 112303, qui sont premiers.

Et bien parce que 3 ans plus tôt il avait pondu et démontré lui-même son , qui constitue en même temps probabiliste. Grâce à cela, il a su “rapidement” que 100895598169 n’est pas premier. Par contre, comment il a effectué les opérations et factorisé le nombre avec un papier et un crayon en un seul jour, ça je n’en ai avais aucune idée **

Et je ne sais pas non plus comment Mersenne a généré 898423 et 112303 parce que bizarrement, ce ne sont pas des nombres de Mersenne, dont nous parlerons plus bas… En fait, ô surprise, 898423 = 112303 x 23-1, donc Mersenne a généré le grand premier à partir du petit, lequel a d’ailleurs la même forme : 112303 = 7019 x 24-1.

Comment trouver de très grands nombres premiers

Il existe donc des méthodes pour générer des nombres premiers. Aucune ne produit des nombres premiers “à tous les coups” ( ce serait le Graal que certains recherchent encore mais qui n’existe probablement pas ), mais ces méthodes fournissent des grands nombres qui ont une probabilité d’être premiers nettement plus élevée que des nombres de même taille choisis au hasard.

Au IXème siècle déjà, avait remarqué que pas mal de petits nombres premiers ont la forme “321” p = 3×2n-1 . Les sont listés dans . Le plus grand connu actuellement est 3×24235414−1 mais aussi 3×27033641+1 qui n’est pas strictement un Thabit à cause du +1 au lieu du -1 final.

Les ont une forme encore plus simple : p = 2n-1 où n est premier. Et Mersenne ne les a pas découverts : connaissait déjà les plus petits ( 3, 7, 31 et 127 ) en 300 avant J.C. Mersenne en a juste fait une en ajoutant 8191 découvert par Ibn Fallus au XIIIème siècle et 131071 et 524287 découverts par en 1588. Et puis il s’est planté magistralement : sa liste incluait les nombres 267-1 et 2257-1 qui ne sont pas premiers et omettait 231-1, 261-1, 289-1 et 2107-1 qui le sont. C’est dommage, car Mersenne n’a ainsi jamais détenu le record du plus grand nombre premier qui a un nombre de Mersenne. Depuis 2009, le record est 243112609-1 , qui compte 12 837 064 chiffres, trouvé grâce au programme . Le rôle de ce logiciel est surtout de faire passer le génial qui est déterministe (non probabiliste) mais ne marche qu’avec les Mersenne.

Bref, aucun nombre de Mersenne n’est de Mersenne et si je n’avais pas autant de lecteurs en République Française, je proposerais de les rebaptiser “ ” pour souligner leur beauté en binaire. En effet, 2n-1 s’écrit simplement avec une suite de n “1” en binaire. Par exemple 127= 27-1 s’écrit 1111111 en binaire.

Il existe plusieurs autres formules fournissant des candidats premiers :

Les de la forme 22n + 1. Fermat pensait qu’ils étaient tous premiers, mais c’est faux : seuls les 5 premiers le sont, les 28 suivants ne le sont pas, et les autres sont trop grands pour être testés.
Les sont de la forme k·2n+1 ( , record 659×2617815+1 )
: n·2n--1 ( , 3752948 × 23752948 − 1)
: n·2n+1 ( , 6679881 · 26679881 + 1)
les “Cullen généralisés” : n·bn+1,où n+2 > b ( record 427194 × 113427194 + 1)

on voit qu’elles sont toutes des généralisations ou cas particuliers des autres, et que les repunits y jouent un rôle important. Les (PSG) sont des nombres p tels que 2p+1 est aussi premier ( ). Ce “générateur” fournit des nombres moins grands que les autres, mais soulève plein de questions intéressantes : quelle est la longueur maximale d’une formée par des PSG, y’a-t-il une infinité de PSG etc. Et de plus, le établit un lien entre le “petit " théorème de Fermat susmentionné et qui a obsédé les matheux jusqu’en 1994. Et comme je n’ai pas compris grand chose à sa démonstration, je suis plein d’admiration pour cette dame autodidacte qui étonna les mâlethématiciens d’il y a 200 ans.

Si vous voulez vous aussi devenir célèbre, mais facilement, participez à , une application de la plateforme de calcul distribuée BOINC qui chasse les records de grands nombres premiers. Avec un peu de chance le prochain grand nombre premier sera découvert sur votre ordinateur tout en .

Comment trouver des nombres premiers d’une longueur donnée

Fin 2009, une équipe internationale a cracké un code , en factorisant le produit de deux nombres premiers de 120 chiffres à l’aide de l’ et de beaucoup d’ordinateurs. Cet exploit signifie qu’une clé RSA nécessite aujourd’hui des nombres premiers d’au moins 512 bits, soit 154 chiffres décimaux pour être indécryptable.

Nous avons vu plus haut comment obtenir tous les nombres premiers nettement plus courts, ou quelques nombres premiers nettement plus longs, mais pour RSA, nous avons besoin d’obtenir en quelques secondes des nombres premiers de 154 chiffres, avec un seul petit processeur enfermé dans le boitier d’un routeur par exemple, et sans que le nombre transite par un réseau où il pourrait être intercepté. De plus, le nombre ne doit pas être stocké dans une table dont un pirate pourrait essayer les combinaisons : il doit être généré aléatoirement.

Mais au fait, existe-t-il beaucoup de nombres premiers de 154 chiffres ? Oh que oui : la densité des nombres premiers autour de n est de 1/ln(n), or donne environ 0.3% : environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc il y en a des giga milliards de floppées. Donc tout ce que notre petit routeur a à faire de temps en temps c’est:

générer un nombre aléatoire de 154 chiffres en tirant au hasard 511 bits à pile ou face, et en ajoutant un 512ème bit = 1 pour faire un nombre impair. facile et ultra rapide.
vérifier si le nombre est premier à l’aide d’un plus moderne que celui de Fermat comme celui de .
si le test dit que le nombre n’est pas premier, ajouter 2 au nombre aléatoire pour obtenir le nombre impair suivant et recommencer l’opération 2. Il faudra répéter ceci en moyenne 300 fois avant que Miller et Rabin disent “probablement premier”

Pour vous faire une idée de la vitesse de ceci, allez au milieu de et cliquez le bouton “auto generate prime number p and q” : vous obtiendrez 2 nombres premier de 512 bits pour le prix d’un seul click.

cliquez sur l’image et scrollez vers le milieu de la page

Oui mais, me direz vous, les tests probabilistes ne garantissent pas absolument que les nombres soient premiers. Il y a un risque qu’on encode le message avec une clé foireuse, et donc qu’il soit “facile” à décoder. Effectivement, mais on admet généralement que la probabilité qu’un nombre de cette taille soit est de l’ordre d’une sur 1030. Et si votre message est si précieux que vous n’êtes pas prêt à courir ce risque, réfléchissez à : le risque qu’un rayon cosmique change un bit du nombre pendant un test de primalité déterministe est un million de fois plus élevé ! J’aime bien cette idée qu’un algorithme probabiliste soit plus fiable qu’une machine considérée comme déterministe, pas vous ?

Notes :

* 32'416'187'567 est tellement proche de 8*2^32 que j’ai une petite idée de la mémoire utilisée par le crible…

** ajout du 18 mai 2014 : Blogdemaths a éclairé ma lanterne à ce sujet dans un article intitulé “ ”

Pour en savoir plus

sur le Site du Zéro
Jean-Paul Delahaye (2000). Merveilleux nombres premiers. Pour la Science.
: une librairie Python avec les fonctions qu’il faut

"jeu de l'année" 2012 et autres : c'est fini.

Wed, 18 Jan 2012 00:00:00 +0000

(mis à jour plusieurs foirs après correction de bugs et améliorations, cf commentaires…)

Je m’apprêtais à passer une soirée tranquille quand je suis tombé sur un tweet de disant: “Qui va me battre au “jeu de l’année” ? ”.

Python bouffant du matheux

Un seul click m’a torpillé non pas une, mais trois soirées et un certain nombre d’heures de réflexion la journée. Mais ma vengeance est terrible : ni ElJj ni aucun autre mathématicien ne passera plus jamais des heures à former les entiers de 1 à 100 en n’utilisant que les chiffres de l’année (2,0,1,2) une et une seule fois chacun, les opérations de base +,-,*,/,^ et quelques autres. Fi-ni. Et c’est rapé aussi pour toutes les années futures ou passées, parce que j’ai fait un programme qui résout ce problème une fois pour toute. Amis , je vous fais ci-dessous économiser des milliers d’heures que vous allez pouvoir utiliser pour résoudre de (Pensez à moi si vous en résolvez un, merci…)

Pour être honnête, la première soirée a été grillée à péniblement trouver 50 formules, ce qui m’a à la fois décidé à faire autrement et inspiré beaucoup de respect pour ElJj et les autres fous qui sont parvenus à obtenir des scores de 4000 et quelques points à la main. Bravo !

Pour 2012, mes solutions sont donc :

\[1, '(((2\*0)-1)^2)', 0\] \[2, '(((2-0)-1)\*2)', 0\] \[3, '(((2-0)-1)+2)', 0\] \[4, '(((2-0)^1)^2)', 0\] \[5, '(((2-0)+1)+2)', 0\] \[6, '(((2-0)+1)\*2)', 0\] \[7, '((2^0)+((1+2)!))', 0\] \[8, '(2^(0+(1+2)))', 0\] \[9, '(((2-0)+1)^2)', 0\] \[10, '((((2+0!)!)-1)\*2)', 0\] \[11, '(((2+0!)!)+(1/.2))', 1\] \[12, '((((2-0)+1)!)\*2)', 0\] \[13, '(2+sqrt((0!+((1/.2)!))))', 1\] \[14, '((((2+0!)!)+1)\*2)', 0\] \[15, '(((2-0)+1)/.2)', 1\] \[16, '(((2+0!)+1)^2)', 0\] \[17, '(((((2+0!)!)-1)!!)+2)', 5\] \[18, '(((2+0!)!)\*(1+2))', 0\] \[19, '((2^0)+(((1+2)!)!!!))', 5\] \[20, '(((2^0)/.1)\*2)', 1\] \[21, '(((((2+0!)!)!!!)+1)+2)', 5\] \[22, '((((2+0!)+1)!)-2)', 0\] \[23, '((.2^(-(0!+1)))-2)', 1\] \[24.0, '((((2-0)^1)^2)!)', 0\] \[25, '((((2+0!)!)-1)^2)', 0\] \[26, '((((2+0!)+1)!)+2)', 0\] \[27, '((2+0!)^(1+2))', 0\] \[28, '(((2+0!)/.1)-2)', 1\] \[29, '(((2+0!)/\[.1\])+2)’, 30] \[30, '((((2-0)+1)!)/.2)', 1\] \[31, '(((2+0!)/.1)+(Gamma(2)))', 31\] \[32, '(2^(-(0!-((1+2)!))))', 0\] \[33, '((((2+0!)!)!!)-((1/.2)!!))', 11\] \[34, '(sqrt((2^(0!/.1)))+2)', 1\] \[35, '((((2+0!)!)+1)/.2)', 1\] \[36, '((((2-0)+1)!)^2)', 0\] \[37, '(0!+(((1+2)!)^2))', 50\] \[38, '(((((2+0!)!)!!!)+1)\*2)', 5\] \[39, '(((.2^(-0!))!)-(\[.1\]^(-2)))’, 31] \[40, '(((2-0)/.1)\*2)', 1\] \[41, '(0!+(2/(.1/2)))', 51\] \[42, '((((2+0!)!)!!)-((1+2)!))', 5\] \[43, '((((2+0!)!)!!)-(1/.2))', 6\] \[44, '(-((.2-(0!/\[.1\]))/.2))’, 32] \[45, '(((((2+0!)!)!!)-1)-2)', 5\] \[46, '(((((2-0)+1)!)!!)-2)', 5\] \[47, '(((((2+0!)!)!!)+1)-2)', 5\] \[48, '((((2+0!)+1)!)\*2)', 0\] \[49, '((((2+0!)!)+1)^2)', 0\] \[50, '((.2^(-(0!+1)))\*2)', 1\]

\[51, '((.2+(0!/.1))/.2)', 3\] \[52, '(2+(0!/(.1\*.2)))', 2\] \[53, '((((2+0!)!)!!)+(1/.2))', 6\] \[54, '((((2+0!)!)!!!)\*(1+2))', 5\] \[55, '(sqrt((((.2^(-0!))!)+1))/.2)', 2\] \[56, '(((((2+0!)!)+1)!!!)\*2)', 5\] \[57, '((((2+0!)!)!!)+sqrt((\[.1\]^{(-2))))’, 35] \[58, '((((2+0!)!)/.1)-2)', 1\] \[59, '((((2+0!)!)/.1)-(Gamma(2)))', 31\] \[60, '(((((2+0!)!)-1)!)/2)', 0\] \[61, '((((2+0!)!)/.1)+(Gamma(2)))', 31\] \[62, '((((2+0!)!)/.1)+2)', 1\] \[63, '((((2+0!)!)!!)+((1/.2)!!))', 11\] \[64, '(2^((0+(1+2))!))', 0\] \[65, '(0!+(2^((1+2)!)))', 50\] \[66, '((((2+0!)!)!!)+(((1+2)!)!!!))', 10\] \[67, '((((.2^(-0!))!!)-\[.1\])/\[.2\])’, 66] \[68, '(20+(((1+2)!)!!))', 15\] \[69, '((((0!+2)!)!!)+21)', 65\] \[70, '(((((2+0!)!)!)\*.1)-2)', 1\] \[71, 'sqrt((((((2+0!)!)+1)!)+(Gamma(2))))', 30\] \[72, 'sqrt((((((2+0!)!)!)\*.1)^2))', 1\] \[73, '(((((2+0!)!)!)\*.1)+(Gamma(2)))', 31\] \[74, '(((((2+0!)!)!)\*.1)+2)', 1\] \[75, '(((((2+0!)!)-1)!!)/.2)', 6\] \[76, '(-((.2^(-0!))-(\[.1\]}(-2))))’, 31] \[77, '((((2^2)!!)!!!)-sqrt((0!/\[.1\])))’, 90] \[78, '((((-2)+(0!/.1))!!!)-2)', 6\] \[79, '(-(2-(0!/(\[.1\]^{2))))’, 30] \[80, '(-((.2-0!)/(.1^2)))', 2\] \[81, '((((.2^(-0!))!!!)-1)^2)', 6\] \[82, '(2+(((0!/.1)-2)!!!))', 6\] \[83, '(2+(0!/(\[.1\]^{2)))’, 30] \[84, '((((.2^(-0!))!!!)!!!)\*(.1+.2))', 13\] \[85, '(((((2+0!)!)!!!)-1)/.2)', 6\] \[86, '((.2^(-0!))+(\[.1\]}(-2)))’, 31] \[87, '(((2+0!)!)+(\[.1\]}(-2)))’, 30] \[88, '(-((((2+0!)!)!)\*(.1-\[.2\])))’, 31] \[89, '(-((.2-((sqrt((0!/\[.1\]))!)!!!))/.2))’, 37] \[90, '(((((2-0)+1)!)!!!)/.2)', 6\] \[91, '(((.2^(-0!))!!!)+(\[.1\]^(-2)))’, 36] \[92, '(2\*(((sqrt((0!/\[.1\]))!)!!)-2))’, 35] \[93, '93', 500\] \[94, '(-(((2+0!)!)-(.1^(-2))))', 1\] \[95, '(-((.2^(-0!))-(.1^(-2))))', 2\] \[96, '(-((.2-0!)\*((1/.2)!)))', 2\] \[97, '(-(2+(0!-(.1^(-2)))))', 1\] \[98, '(-(2-(0!/(.1^2))))', 1\] \[99, '(-((2^0)-(.1^(-2))))', 1\] \[100, '(((2^0)/.1)^2)', 1\]

C’est un peu “brut de décoffrage” et mérite quelques explications. Chaque triplet comporte le nombre à obtenir, la “meilleure” formule qui le donne, et le coût de cette formule en points calculés selon les règles décrites dans l’article d’El Jj. Les formules qui utilisent les chiffres 2,0,1,2 dans l’ordre et les opérations arithmétiques de base et la factorielle (saviez-vous que 0!=1 ?) ont le coût minimum de 0. L’utilisation du point décimal bien utile avec une division ne coute qu’un point. Les formules qui utilisent des opérateurs plus compliqués comme les (notées !! et !!!) et la sont pénalisées de 5 points.

La formule pour 77 est la plus coûteuse (90 points) car elle utilise les chiffres dans le désordre (50 points), le développements décimal périodique

\[.1\]

= 0.11111111… = 1/9 qui vaut 30 points chacun, plus deux multifactorielles. A noter que l’on a eu besoin d’inverser l’ordre des chiffres que dans 4 cas seulement.

Et enfin, les nombre pour lesquels on ne trouve pas de solution sont pénalisés de 500 points, ce qui n’est le cas pour 93, pour lesquel je suis quasi certain qu’il n’existe pas de solution avec les opérations autorisées. Mais seulement “quasi”, pour des raisons que j’explique plus loin.

Le total des pénalités que j’obtiens est de 1637 points

Enfin, les formules ne sont pas très jolies d’une part à cause d’une “surparenthésation” qui simplifie l’écriture du programme (pas besoin de gérer la ), et d’autre part car le choix de la “meilleure” formule lorsqu’on en trouve plusieurs de score égal se fait par la longueur de la chaîne, sans tenir compte de l’ordre d’insertion ou de la priorité des opérateurs. Donc (((2*0)-1)^2) peut paraître plus compliqué que (((2*0)-1)+2) pour obtenir 1, mais pour une machine, c’est le même prix.

Comme il se fait tard je coupe/colle le programme ci-dessous, je le commenterai plus tard (comme d’hab…)

\[code lang="python" collapse="true"\]

# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Mon Jan 16 17:19:27 2012

@author: Philippe Guglielmetti solves """

import sys

from math import sqrt,pow from scipy import factorial,factorial2,factorialk from itertools import permutations

class f: “““a formula””” def __init__(self, m,p=0,v=None,parenthesis=False): #print m,’=’, self.isdigit=isinstance(m, (int, long)) self.math=str(m) #convert to string in case it’s a digit self.points=p if v is None: v=eval(self.math) self.isint=isinstance(v, (int,long)) if isinstance(v, float): #try to convert to int self.isint=abs(v-round(v))<1e-9 if self.isint: v=int(round(v)) if isinstance(v, long): #we don’t want bignums, for performance if abs(v)<sys.float_info.max: v=float(v) self.isint=True self.value=v

if parenthesis: self.math=’(’+self.math+’)’ #print self.value

def __cmp__(self,other): if self.value<other.value:return -1 if self.value>other.value:return +1 if self.points<other.points:return -1 if self.points>other.points:return +1 if len(self.math)<len(other.math):return -1 if len(self.math)>len(other.math):return +1 return 0

def __repr__(self): return str(

\[self.value,self.math,self.points\]

);

class results(dict): “““dictionary of formulas indexed by their result. we keep only the simplest entry for each result”””

def __init__(self): dict.__init__(self)

def add(self, f): if f.value in self.keys() and f>self

\[f.value\]

: pass else: self

\[f.value\]

def merge(self,d): for i in d.itervalues(): self.add(i)

def score(self): return sum(map(lambda x: x.points,self.itervalues()))

def notfound(self,p=500): return

\[i for (i,v) in self.iteritems() if v.points>=p\]

def refine(self,recurse=2): “““add combinations of monadic operators””” r=results() for a in self.itervalues(): if recurse0 and a.value<>0: r.add(f(’-’+a.math,a.points,-a.value,True)) if a.isint: if a.value0: r.add(f(a.math+’!’,a.points,1)) # 0! == 1 is very useful… if a.value>1: s=f(‘sqrt(’+a.math+")",a.points,sqrt(a.value)) if s.isint: r.add(s) if a.value>1 and a.value<19: r.add(f(a.math+’!’,a.points,factorial(int(a.value),True),True)) r.add(f(‘Gamma(’+a.math+’)’,a.points+30,factorial(int(a.value)-1,True),True)) if a.value>3 and a.value<29: r.add(f(a.math+’!!’,a.points+5,factorial2(int(a.value),True),True)) if a.value>4 and a.value<39: r.add(f(a.math+’!!!’,a.points+5,factorialk(int(a.value),3,True),True)) self.merge(r) if recurse>0: self.refine(recurse-1)

class monadic(results): “““combinations of monadic operators around a formula”””

def __init__(self, a): results.__init__(self) self.add(a) if a.value!=0: if a.isdigit: self.add(f(’.’+a.math,a.points+1)) if a.value<10: self.add(f(’

\[.'+a.math+'\]

’,a.points+30,a.value/9.)) self.refine();

class diadic(results): “““combinations of diadic operators of 2 operands”””

def __init__(self, a,b): results.__init__(self) for i in a.itervalues(): for j in b.itervalues(): if i.isdigit and j.isdigit: if i.value!=0: self.add(f(int(i.math+j.math),10)) self.add(f(i.math+’.’+j.math,11)) self.add(f(i.math+’+’+j.math,i.points+j.points,i.value+j.value,True)) self.add(f(i.math+’-’+j.math,i.points+j.points,i.value-j.value,True)) self.add(f(i.math+’*’+j.math,i.points+j.points,i.value*j.value,True)) if j.value!=0: self.add(f(i.math+’/’+j.math,i.points+j.points,float(i.value)/float(j.value),True)) try: #so many things can go wrong with next line… self.add(f(i.math+’^’+j.math,i.points+j.points,pow(i.value,j.value),True)) except: pass if i.isint: try: #so many things can go wrong with next line… self.add(f(‘root(’+i.math+’,’+j.math+’)’,i.points+j.points+5,pow(j.value,1./i.value),True)) except: pass if i.isint and j.isint and i.value>=0 and j.value>0 and i.value/j.value<10: try: #so many things can go wrong with next line… self.add(f(i.math+’!’+j.math,i.points+j.points+5,factorialk(i.value,j.value),True)) except: pass

self.refine();

print ‘building list of monadics’ m=map(monadic,map(f,range(0,10))) #list of all monadics of digits

#use @Memoized here to improve performance def d(a,b): return diadic(a,b)

def year(n,display=True,verbose=True): solution=results() for i in range(1,101): solution.add(f(i,500))

def addresults(a,p): if verbose : print ‘formulas’,len(a), improved=0 found=0 for (i,v) in a.items(): if isinstance(i, (int, long)) and i>0 and i<101: v.points+=p if v<solution

\[i\]

: if solution

\[i\]

.points==500: found+=1 else: improved+=1 solution

\[i\]

=v if verbose: print(‘found :’+str(found)+’ improved :’+str(improved)+’ score:’+str(solution.score()))

def combine (a,p): m0=m

\[a\[0\]

]; m1=m

\[a\[1\]

]; m2=m

\[a\[2\]

]; m3=m

\[a\[3\]

] if solution.notfound():addresults(d(d(d(m0,m1),m2),m3),p) if solution.notfound():addresults(d(d(m0,d(m1,m2)),m3),p) if solution.notfound():addresults(d(m0,d(m1,d(m2,m3))),p) if solution.notfound():addresults(d(m0,d(d(m1,m2),m3)),p) if solution.notfound():addresults(d(d(m0,m1),d(m2,m3)),p)

\[int(i) for i in str(n)\]

combine(y,0) y.sort() for i in permutations(y): combine(i,50)

if display: for i in solution.itervalues():print i print n,solution.score(),solution.notfound()

year(2012)

\[/code\]

Comment comptent les Extraterrestres

Sun, 25 Sep 2011 00:00:00 +0000

Nos (vaines) tentatives de communication avec les extraterrestres reposent sur l’idée que les mathématiques forment un langage universel. Par exemple cette page du message “Cosmic Call” émis en 1999 nous semble assez clairement concerner Pi et Pythagore, mais est-ce le cas pour un Klingon ?

page 5 du "Cosmic Call". Cliquer dessus pour les 22 autres

Et d’abord, quels sont les pré-requis mathématiques nécessaires pour reconstituer cette “image” à partir du message émis point par point ?

La notion la plus élémentaire des maths est certainement celle de nombre entier. On peut difficilement imaginer un être intelligent qui ne soit pas confronté à des objets qu’il puisse compter sur ses tigods : 1, 2 3 etc. Et s’il est assez futé pour construire un radiotélescope capable de capter des femtowatts provenant de l’espace et assez naïf pour croire qu’une civilisation sera assez stupide pour lui envoyer des messages, il sait certainement additionner, soustraire et multiplier des nombres entiers, et en diviser certains. Et aux , il leur voue une curiosité sans bornes pendant des siècles.

C’est ainsi qu’en recevant un message composé d’une séquence de 1681 signaux, il devrait rapidement avoir l’idée de les arranger en tableau de 41 negils par 41 neloncos, ou le contraire, ou .

Jusqu’ici nous n’avons pas eu besoin de la notion de . Si les Shadoks, qui comptent en base 4 comme chacun sait, reçoivent signaux, il en feront un carré de ZOZOBU par ZOZOBU , : les nombres premiers le sont dans toutes les bases. De plus, toutes les bases sont des bases 10, ainsi que le démontre ce merveilleux cartoon traduit de l’anglais rien que pour vous :

(si vous ne comprenez pas la blague, cliquez dessus)

Il y a donc 10 sortes de civilisations : celles qui connaissent le et les autres. Même si certaines personnes considèrent que le vieux de 3000 ans décrit une numération binaire, il faut bien reconnaître que de nombreuses civilisations terriennes ont traversé les millénaires sans la connaitre, alors qu’elles étaient confrontées à différents lors de leurs contacts. Mais bon, on peut raisonnablement imaginer qu’en recevant les 1681 signaux, notre E.T. s’apercevra qu’il y en a de deux types et pourra les représenter sous une forme clairement lebsilvi à ses leriosels.

Là il devrait pouvoir identifier les figures géométriques, mais pour comprendre les symboles il lui faudra non seulement les pages précédentes du message , mais aussi une notion culturellement évidente pour nous, mais qui ne l’a pas toujours été : la .

Sous toutes ces hypothèses, Alien pourra enfin comprendre le message : “ces Nocs sont tellement fiers d’avoir enfin découvert Pi qu’ils invitent toute la Galaxie à une bouffe, et d’après la , ils ont l’air appétissants !”

Poli. il rédige une réponse empreinte de et de :

Références

sur Luxurion (ex Astrosurf)
de Dutil et Dumas ( )
, 2010, semaine de stage des collégiens à Jussieu
Discussion “ ” sur Reddit

Selon Newton, l'univers serait discret

Sat, 13 Aug 2011 00:00:00 +0000

"An experimental sonic black hole" par "E8 Album HQR Initiative" sur flickr.com

C’est du moins ce qu’illustre Jarmo Mäkelä dans son essai “Is Reality Digital or Analog?” qui a remporté le premier dont il y a quelques mois.

Le texte commence comme une petite nouvelle de S.-F. : le narrateur rêve de rencontrer Sir Isaac Newton après lui avoir envoyé quelques livres et articles sur la physique contemporaine, et il trouve le lendemain une invitation à rencontrer le célèbre physicien le 18 novembre 1700 à Londres, à 3 PM. Ne souhaitant pas “ennuyer le lecteur avec une description détaillée de la manière dont il s’est rendu au rendez-vous”, Mäkelä passe à un compte-rendu de sa rencontre avec Newton, auquel il demande sans ambages : “Alors, la réalité est-elle digitale ou analogique?”. Newton répond sans hésitation “Digital, of course.” - “Comment le savez-vous?” - “Parce que je l’ai calculé.”

Suivent deux pages de vulgarisation très bien faites sur la relativité et la mécanique quantique pour arriver au résultat sur lequel Newton base son calcul : l’ prédite par Stephen Hawking. Les trois pages suivantes sont consacrées à la physique des trous noirs. Elles sont nettement plus techniques et décorées de quelques formules susceptibles d’effrayer les non matheux, mais l’argumentation peut être suivie grâce au texte du dialogue entre les deux physiciens.

En résumé, un trou noir a une masse finie, une finie et la surface de son est elle aussi finie. Pourtant le calcul de la d’un trou noir conduit à des fonctions divergentes qui n’ont pas de réalité physique, à moins de considérer que la surface de l’horizon des événements est constituée d’une somme (finie) de surfaces minuscules. Et puisque l’horizon des événements appartient à l’espace-temps “normal”, alors toute surface dans l’espace-temps “normal” doit être discrète.

une brique d’espace-temps ?

A la fin de son essai, Mäkelä va encore plus loin : à l’ où les notions de distance, de temps et de causalité n’ont plus de sens, son Newton propose de substituer un sorte de “surface de Planck”. Il explique que dans l’espace temps, l’analogue du tétraèdre (4 sommets, 6 arètes, 4 triangles) est un “4- ” appelé aussi ". Cet objet a 5 sommets, et 10 arêtes qui forment aussi 10 triangles, ce qui permet exprimer la longueur des arêtes en fonction de la surface des triangles aussi bien que la surface des triangles en fonction de la longueur des arêtes. Dans un espace-temps découpé en “pentatopes”, les notions de distance et de surface sont interchangeables !

Après cette rencontre extraordinaire, Newton remet à son visiteur temporel un papier intitulé “La théorie complète de la ” à publier au XXIème siècle, mais au moment d’en découvrir l’équation fondamentale, le narrateur se réveille dans son lit…

Je le dis tout net, l’essai de Jarmo Mäkelä est un chef-d’oeuvre. Je n’ai pas la compétence d’en juger la valeur purement scientifique (voir les nombreux à son article si ça vous intéresse), mais du point de vue de la littérature scientifique, c’est une magnifique combinaison de fiction, de vulgarisation et de pédagogie sur un sujet aussi pointu que fondamental. Vous lisez l’anglais ? Alors lisez !

Note: titre changé le 8.8.18 de “… digital” en “… discret” car effectivement plus clair en français

Références:

Jarmo Mäkelä, “ ”, FQXi 2011
George Musser “ ” sur le blog Scientific American
" " sur Zone-Reflex

Le fossé de Sloane

Sun, 10 Apr 2011 00:00:00 +0000

Les chemins de la science sont souvent inattendus et tortueux, comme le montre de plus en plus une jolie histoire dans laquelle je suis impliqué.

Rappel des épisodes précédents. Pour Zinzin, mon prof de maths un peu fou, 1548 était le nombre entier le plus quelconque qu’on puisse trouver. En 2008 j’ai eu l’idée d’utiliser l’ de Neil Sloane pour le vérifier et chercher les “ ”, des nombres sans propriétés particulières. J’ai contacté pour lui demander s’il avait connaissance de travaux similaires. Il m’a répondu que non, et m’a suggéré de faire une représentation graphique de l’ “intérêt” de chaque nombre, mesuré par le nombre des suites l’incluant dans l’encyclopédie de Sloane, et j’ai obtenu ceci :

Intrigué par ce résultat, Jean-Paul Delahaye y a consacré sa rubrique dans de Pour la Science de mai 2009 , qui s’achève par un appel à expliquer le “fossé de Sloane”, cette bande blanche qui sépare les nombres en deux classes assez distinctes. Dans mon article “ ” écrit en parallèle, j’ai constaté que les nombres fortement composites, les puissances entières et les nombres premiers représentent une forte majorité des nombres “intéressants” situés au dessus du fossé de Sloane, mais sans pouvoir réellement expliquer le fossé.

Delahaye a poursuivi les recherches sur ce sujet avec Hector Zenil et Nicolas Gauvrit, mathématicien et psychologue à l’Université d’Artois et ils viennent de publier ensemble un article en francais et d’en soumettre une version anglaise expliquant le fossé de Sloane.

Les auteurs commencent par expliquer la forme générale du nuage en utilisant la . Ils montrent d’une part que les nombreuses propriétés “simples”, pouvant être exprimée en peu de mots comme “être pair”, “être un carré” ou “avoir beaucoup de facteurs” se combinent pour produire beaucoup de propriétés pour les petits nombres (comme 36), produisant la décroissance exponentielle bien visible sur le graphique.

D’autre part, les propriétés plus complexes comme “ ” impliquent d’avoir des propriétés plus simples, ce qui explique la dispersion verticale du nuage : les nombres qui ont des propriétés simples en ont probablement de plus complexes.

A l’aide de ces deux résultats, Gauvrit, Delahaye et Zenil parviennent à reproduire un “nuage du nombre de propriétés” simulé sans tenir compte des propriétés effectivement répertoriées dans la base de Sloane. La Figure 5 de leur article ressemble effectivement beaucoup à “mon” nuage, mais sans le fossé…

Le fossé de Sloane ne serait donc pas un effet mathématique, mais plutôt “social” : les mathématiciens s’intéresseraient plus à certaines propriétés qu’à d’autres de même complexité par des effets de mode, ou simplement en poursuivant des recherches antérieures, ce qui provoquerait un glissement de la distribution : Fig. 6 de : La Figure du haut représente la distribution locale de N attendue sans tenir compte du facteur social. La communauté mathématique s’intéresse massivement à certains nombres de complexité moyenne ou faible (dans la zone centrale ou droite de la distribution) et, par cet intérêt, crée un décalage vers la droite d’une partie de la distribution (schématisée par une flèche grise). La nouvelle distribution qui en découle, représentée en bas, présente un fossé.

Comment ? Qu’entend-je ? Il existerait donc une discrimination entre les nombres opérées par les mathématiciens, qui opéreraient une forme de ségrégation parmi les propriétés mathématiques, en favorisant certaines par rapport à d’autres ? Si cela s’avère, il faut corriger cette injustice et lutter pour la défense des nombres acratopèges !

Plus sérieusement, j’en reviens à mes interrogations initiales : les nombres qui n’ont que peu de propriétés sont ils réellement inintéressants ? Les nombres qui ne sont pas encore répertoriés dans la base de Sloane ne pourrait-ils pas donner lieu à de nouvelles découvertes numériques ?

A suivre…

Références

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93
" ", blog de Nicolas Gauvrit
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye et Hector Zenil, « », , 194 | Eté 2011
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil, “ ”, 2011, \[math.PR\]
Nicolas J.-P. Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, & Hector Zenil (2013). Sloane’s Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS? Journal of Humanistic Mathematics, 3 (1), 3-16 DOI: (ajouté le 19.10.2013)

La réalité est-elle digitale ou analogique ?

Wed, 30 Mar 2011 00:00:00 +0000

"Deconstitutionalisation 29" par maistora sur Flickr

C’est le sujet du , motivé par cette réflexion*:

“Alors que la physique classique - ainsi que le calcul différentiel qui lui sert de fondations - est basé sur les nombre réels et leur ensemble continu de valeurs, la mécanique quantique indique que certaines quantités physiques ne peuvent prendre que des valeurs discrètes et dénombrables. En conséquence, plusieurs approches actuelles des questions fondamentales de la physique et de la cosmologie soutiennent de nouvelles visions de la nature discrètes ou “digitales”. Ce concours d’essais pose cette question : la Nature est-elle fondamentalement continue, ou discrète, et comment ces deux conceptions contradictoires mais très utiles pourraient être réconciliées ?”

Les essais doivent aborder une ou plusieurs des aspects suivants:

Comment un espace-temps ou un autre continuum doté de symétries continues peut-il émerger d’une description “digitale” ?

Quelle est la nature de l’epace ? Comment un univers discret pourrait-il être en expansion sans que sa discrétisation ne devienne évidente ? Ou : devient-elle évidente ?

Quelles sont les implications de minima de longueur, de temps ou d’énergie, et comment pourrions nous les observer aujourd’hui ? Ou : ceci est-il une mauvaise manière de voir la discrétisation fondamentale ?

Un univers infini de quelque manière est-il incompatible avec une description digitale ?

Comment une description digitale est-elle consistante avec l’“écoulement” du temps ? Comment fonctionne la causalité ?

le Monde peut-il est modélisé par ( ou être… ) un calcul digital ? Ou nous amène cette image ?

Les modèles discrets simples comme les automates cellulaires sont-ils des approches efficaces en physique ?

Y’a-t-il une profonde raison fondamentale pour laquelle la réalité doit être purement analogique, ou pourquoi doit-elle être digitale ?

Plus de 100 scientifiques du monde entier ont concouru en soumettant autant d’ . Impossible de les résumer ici, d’autant que je n’en ai parcouru qu’une poignée. Quelques mots sur trois d’entre eux, sélectionnés selon des critères purement subjectifs.

Julian Barbour est le sur “ ”. Voici l’abstract de son essai “ ”

Avec son aphorisme “it from bit”, a prétendu que toute chose physique, n’importe quel “it”, trouve sa véritable existence uniquement dans de l’information susceptible d’être captée par un détecteur via des réponses oui/non à des “bits” de choix quantiques. Dans cet esprit, beaucoup de théoriciens donnent aujourd’hui une priorité ontologique à l’information. Pour tester cette idée, J’identifie trois sortes distinctes d’information et trouve que les choses priment sur l’information. En examinant ce que Wheeler voulait dire par “it” et “bit” m’a conduit à inverser son aphorisme: “bit” dérive de “it”. Je soutiens que ceci affaiblit, mais ne détruit pas nécessairement l’argument selon lequel la nature est fondamentalement digitale et la continuité ne serait qu’une illusion. Il y aurait aussi des implications sur l’interprétation de la mécanique quantique et la nature du temps, la causalité et le monde.

Selon , “ ”. C’est grâce à lui que j’ai (re-)découvert ce concours d’essais car il est l’un des coauteurs de , j’y reviendrai très très bientôt. De plus il travaille pour Wolfram Research, et à part le génial Mathematica et le non moins génial , est l’un des supporters d’un univers digital du type “automate cellulaire” abordé dans son livre (contesté) “ ”. Retour à Zenil : voilà l’abstract de son essai:

Je propose la notion selon laquelle l’univers est digital, non comme revendication sur ce dont il est fait, mais plutôt sur la manière dont il se révèle. L’argumentation se base sur les concepts de rupture de symétrie et de probabilité algorithmique qui seront utilisés comme outils pour comparer la manière dont les structures sont distribuées dans notre monde avec leur distribution dans un univers digital simulé. Ces concepts fourniront un cadre pour une discussion sur la nature informationnelle de la réalité. Je soutiens que si l’univers était analogique, le monde serait principalement aléatoire, le rendant largement incompréhensible. Le modèle digital a cependant une beauté inhérente dans la l’imposition d’une limite supérieure de la puissance de calcul et la convergence vers un niveau maximum de sophistication. Même s’il est déterministe, “digital” n’implique pas que le monde soit trivial ou prédictible, mais plutôt qu’il est construit sur la base d’opérations très simples à petite échelle mais qui paraissent complexes ou même aléatoires à grande échelle, mais seulement en apparence.

Dans “ ” de Stefan Weckbach, c’est clairement le titre qui a attiré l’ingénieur que je suis. Pour moi, , et Stefan Weckbach propose une manière assez simple et séduisante de vérifier si l’Univers est calculé dans un ordinateur : essayer de construire un ordinateur encore plus puissant! En se basant sur de (celui de “ ") , il estime qu’une simulation de l’univers entier depuis le Big Bang nécessite environ 10123 opérations binaires. Or si on arrivait à construire un utilisant environ 500 particules intriquées, il serait capable de réaliser en un temps humainement raisonnable nettement plus que ces 10123 opérations binaires, par exemple pour factoriser un . Si on arrive à faire ça, ça prouve que notre univers n’est pas calculé. Si on n’y arrive pas alors que notre ordinateur quantique fonctionne bien avec moins de 500 particules intriquées, ça voudra dire que notre univers est calculé par une machine pas assez puissante.

Holà ! les vont se réveiller : ça pourrait aussi faire planter le système…

Note* : traductions effectuées par Dr. Goulu dans la mesure de ses modestes connaissances. N’hésitez pas à corriger ou préciser via commentaires svp.

Logicomix, la révolution de la logique en BD

Thu, 06 Jan 2011 00:00:00 +0000

Sous le sapin j’ai eu le plaisir de trouver “ ”, un livre assez particulier. Ce “roman graphique” de relève un défi très ambitieux : vulgariser en BD la révolution de la Logique survenue au début du XXème siècle à travers la biographie de l’un de ses principaux artisans, .

Les 300 pages soigneusement illustrées parviennent à ce but en permettant plusieurs niveaux de lecture : les plus jeunes y trouveront un lot de savants rendus fous par leurs travaux ( , , ); les non matheux s’initieront peut-être les joies de l’auto-référence dans les passages où les auteurs se représentent dans leurs propres séances de discussion sur “Logicomix”; les amateurs de casse-tête s’arracheront les cheveux sur le fameux , version simplifiée du qui ébranla la . Enfin, les curieux de science comme vous et moi comprendront mieux l’enchaînement d’idées et de difficultés qui ont conduit ce domaine des mathématiques touchant à la philosophie à une remise en question du même ordre que celle qui a touché la physique à la même époque. “Logicomix” s’achève avec , l’Heisenberg de la Logique dont le n’a pas encore frappé les foules, mais ça viendra. Peut-être sous la forme d’une suite de Logicomix ?

Ce que j’ai le plus apprécié dans “Logicomix” est le traitement de l’échec en sciences. Non, la recherche ne progresse pas de succès en succès via publications réputées et prix Nobel. Ceux qui butent sur les obstacles, les analysent, cherchent à les contourner pendant des années, effectuent un travail de fourmi pour prouver que 1+1=2 :

Démonstration formelle que 1+1=2
\[2\]

ceux-là posent les bases indispensables pour permettre de futures avancées. Avec quelques jours de recul, c’est même ce que je retiendrai de ce livre : une excellente illustration de la démarche scientifique à mettre entre toutes les mains.

Ref et liens

Apostolos K. Doxiadēs, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos (2010). Logicomix. Vuibert.
Alfred North Whitehead, Bertrand Russell (1910). Principia mathematica. University Press. p. 379 *54.43 :

une autre

Optimisation de la Joconde

Mon, 14 Jun 2010 00:00:00 +0000

Voici enfin l’occasion de consacrer un article marrant au célèbre mais barbant “ ”. J’ai réalisé une applet en processing qui dessine Mona Lisa avec une seule ligne brisée zig-zaguant entre 100'000 points sans jamais s’entrecouper. De plus la ligne n’a ni début ni fin, elle forme un cycle. Autrement dit, on peut dessiner la Joconde comme un cercle déformé, sans lever le crayon… Voici ce que ça donne ( c’est publié aussi :

\[processing\]

TSPart.pde

\[/processing\]

Le dessin a initialement été produit par , un prof de maths allemand qui étudie l’ “Opt Art”, l’utilisation de techniques d’optimisation dans l’art. La est assez simple:

on prend une image en “niveaux de gris”
on dispose un grand nombre N de points sur l’image, resserrés dans les zones sombres, plus espacés dans les zones claires. a eu l’idée d’utiliser l’algorithme “ ” qui fait ça de manière remarquable.
Ensuite, il suffit de résoudre le problème du voyageur de commerce à N villes pour obtenir le circuit le plus court entre les N points, donc sans intersection.

Quand vous lisez “il suffit de..” , il faut vous méfier. C’est souvent sous cette formule lapidaire qu’on cache l’os. En réalité, le problème du voyageur de commerce (“Travelling Salesman Problem” en anglais, TSP dans la suite) est un problème “NP-complet”, un de ceux qui nécessite un nombre “non polynomial” d’opérations pour sa résolution, “non polynomial” étant un euphémisme. En l’occurence, il faut en principe mesurer la longueur des N! (N …) possibles passant par les N points pour déterminer lequel est le plus court. Au delà de N=20, on oublie.

Mais le TSP a un intérêt certain pour beaucoup d’applications pratiques dans lesquelles N est bien plus grand, ce qui justifie la recherche d’algorithmes efficaces mêmes s’ils ne fournissent pas la solution absolument optimale. Le site est une mine d’exemples et d’infos sur les progrès de la résolution du TSP. On y trouve également , un solveur de TSP open source très performant basé sur la . Il détient le record du plus gros TSP résolu, pour N=85'500 calculé en 135 années de CPU, mais résout des problèmes raisonnables en un temps qui l’est aussi. J’ai eu l’occasion de m’en servir pour optimiser le parcours d’une perceuse de circuits imprimés où N valait autour de 1000: quelques minutes de calcul permettent d’économiser des secondes de travail par circuit. Il existe d’ailleurs un pour résoudre vos (pas trop gros) problèmes de TSP.

Pour revenir à la Joconde, elle fait l’objet d’un petit car il n’est pas sur que le chemin affiché dans l’image soit le plus court possible entre les 100'000 points définis par R. Bosch. Ce chemin, calculé par Yuichi Nagata avec Concorde a une longueur de 5'757'191 unités, alors qu’on a pu déterminer que le chemin ne peut pas être plus court que 5'757'044 unités. Il est donc possible qu’il existe un chemin encore plus court de 0.0026% ! Tout ce qu’il vous faut pour le trouver, c’est le fichier , et touiller un peu le code de Concorde ou de son concurrent . Ah, et un superordinateur peut être utile aussi. Si vous trouvez le chemin le plus court, vous gagnerez la somme mirobolante de $100 !

edit du 20/9/13 : l’applet utilise maintenant Processing.js, mais le chargement des données est très lent…

Références:

Robert Bosch, “ ", Math Horizons, February 2006, pages 6–9.
Adrian Secord, “ ”, 2002, Proceedings of 2nd , Annecy, p 37-43

Nombres Univers

Fri, 04 Jun 2010 00:00:00 +0000

Pi est un (il est même “ ”) : comme il ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction, ses décimales ne “cyclent” jamais commes celles de 22/7 = 3.142857 142857 142857 … par exemple, et il y en a une infinité, donc a priori une infinité de séquences de décimales toutes différentes.

Pas étonnant donc qu’on puisse facilement , mais est-on sur de trouver n’importe quelle séquence (finie) de chiffres dans les décimales de Pi, par exemple un million de chiffres 5 consécutifs, ou l’oeuvre complète de Shakespeare traduite en chiffres ? Pour ça, il faudrait que pi soit un “ ”. Et n’en déplaise à , on n’en sait rien pour l’instant*, et il en va de même pour e, $\sqrt{2}$, ln(2) et tous les nombres irrationnels usuels, et ce non seulement en base 10 mais dans n’importe quelle base .

Par contre il existe une infinité de nombres univers, on sait les fabriquer, et c’est même très facile. Exemple: la . On la forme en concaténant simplement les entiers croissants dans les décimales :

C10=0,123456789101112131415161718192021…

Les nombres ainsi construits sont même plus qu’univers, ce sont des parce que toute séquence de décimales finie se répète indéfiniment avec une probabilité uniforme. Dans C10, la séquence 1234 du début va se trouver plus loin …1233 1234 1235… et encore plus loin …11233 11234 11235… et ainsi de suite jusqu’à l’infini. La séquence 1234 se retrouve statistiquement dans 1/10000 ème des groupes de 4 décimales.

Un nombre univers compact ?

Les nombres normaux font un beau gâchis de décimales, car ils contiennent l’oeuvre complète de Shakespeare une infinité de fois. Peut-on imaginer un nombre univers plus économique ?

Essayons de compacter la en:

ne répétant pas les décimales déjà présentes. Par exemple après 0,1234567891011 , on ne va pas écrire 12 parce que le 1 est déjà présent, mais seulement 2 : 0,12345678910112 …
ne répétant pas les nombres déjà présents dans les décimales précédentes : dans l’exemple ci-dessus, le 12 est déjà présent dans les toutes premières décimales, donc on peut passer directement au 13 :

on obtient ainsi 0,123456789 10113141516171819 20212242526272829 3032335 …

On voit qu’on ne gagne que quelques pourcents de décimales. Mais on peut aller plus loin : les 9 premières décimales de C10 ne servent à rien puisqu’elles sont forcément présentes dans les décimales de 10..à..99, lesquelles ne servent à rien puisqu’elles figurent 10x dans les décimales de 100..à..999 et ainsi de suite.

Les séquences de De Bruijn

Une tresse de De Bruijn

Mais d’abord, est-ce bien malin de fabriquer un nombre univers compact en concaténant des entiers consécutifs ? Peut-on fabriquer une séquence contenant chaque nombre de n décimales et qui soit nettement plus compacte que l’énumération ? m’a gentiment indiqué qu’une (SDB) fait exactement ça, et même très bien puisque chaque nombre de n chiffres en base b n’est présent qu’une seule fois dans la séquence B(b,n). La pointe sur un site étonnant : le “ ” qui comporte entre autres outils un permettant de générer très rapidement par exemple :

B(10,3) = 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 1 0 2 2 0 2 3 0 2 4 0 2 5 0 2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0 3 1 0 3 2 0 3 3 0 3 4 0 3 5 0 3 6 0 3 7 0 3 8 0 3 9 0 4 1 0 4 2 0 4 3 0 4 4 0 4 5 0 4 6 0 4 7 0 4 8 0 4 9 0 5 1 0 5 2 0 5 3 0 5 4 0 5 5 0 5 6 0 5 7 0 5 8 0 5 9 0 6 1 0 6 2 0 6 3 0 6 4 0 6 5 0 6 6 0 6 7 0 6 8 0 6 9 0 7 1 0 7 2 0 7 3 0 7 4 0 7 5 0 7 6 0 7 7 0 7 8 0 7 9 0 8 1 0 8 2 0 8 3 0 8 4 0 8 5 0 8 6 0 8 7 0 8 8 0 8 9 0 9 1 0 9 2 0 9 3 0 9 4 0 9 5 0 9 6 0 9 7 0 9 8 0 9 9 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 8 1 1 9 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 8 1 4 9 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 7 1 6 8 1 6 9 1 7 2 1 7 3 1 7 4 1 7 5 1 7 6 1 7 7 1 7 8 1 7 9 1 8 2 1 8 3 1 8 4 1 8 5 1 8 6 1 8 7 1 8 8 1 8 9 1 9 2 1 9 3 1 9 4 1 9 5 1 9 6 1 9 7 1 9 8 1 9 9 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2 9 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 2 3 9 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 7 2 4 8 2 4 9 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 7 2 5 8 2 5 9 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 7 2 6 8 2 6 9 2 7 3 2 7 4 2 7 5 2 7 6 2 7 7 2 7 8 2 7 9 2 8 3 2 8 4 2 8 5 2 8 6 2 8 7 2 8 8 2 8 9 2 9 3 2 9 4 2 9 5 2 9 6 2 9 7 2 9 8 2 9 9 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 3 8 3 3 9 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4 7 3 4 8 3 4 9 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 7 3 5 8 3 5 9 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 7 3 6 8 3 6 9 3 7 4 3 7 5 3 7 6 3 7 7 3 7 8 3 7 9 3 8 4 3 8 5 3 8 6 3 8 7 3 8 8 3 8 9 3 9 4 3 9 5 3 9 6 3 9 7 3 9 8 3 9 9 4 4 4 5 4 4 6 4 4 7 4 4 8 4 4 9 4 5 5 4 5 6 4 5 7 4 5 8 4 5 9 4 6 5 4 6 6 4 6 7 4 6 8 4 6 9 4 7 5 4 7 6 4 7 7 4 7 8 4 7 9 4 8 5 4 8 6 4 8 7 4 8 8 4 8 9 4 9 5 4 9 6 4 9 7 4 9 8 4 9 9 5 5 5 6 5 5 7 5 5 8 5 5 9 5 6 6 5 6 7 5 6 8 5 6 9 5 7 6 5 7 7 5 7 8 5 7 9 5 8 6 5 8 7 5 8 8 5 8 9 5 9 6 5 9 7 5 9 8 5 9 9 6 6 6 7 6 6 8 6 6 9 6 7 7 6 7 8 6 7 9 6 8 7 6 8 8 6 8 9 6 9 7 6 9 8 6 9 9 7 7 7 8 7 7 9 7 8 8 7 8 9 7 9 8 7 9 9 8 8 8 9 8 9 9 9

qui ne comporte que 1000 chiffres au lieu des 3000 qui seraient nécessaires pour une énumération. Si vous êtes observateur, vous remarquerez que 900 n’est pas présent dans la séquence. C’est parce qu’elle est cyclique, il faut l’imaginer “bouclée” et alors les 00 du début de la séquence dont on pouvait penser qu’ils étaient inutiles se placent après le 9 final pour former le 900.

Cette nature cyclique permet donc de commencer la séquence B(b,n) n’importe où en prenant n chiffres, puis de passer au suivant en se décalant d’un chiffre soit vers la gauche soit vers la droite et ainsi de suite. Après avoir effectué ainsi bn décalages, on se retrouve au point de départ en ayant la certitude d’être passé une et une seule fois par chaque nombre compris entre 0 et bn-1. Beau, non ?

Et utile. Par exemple pour ouvrir une porte protégée par un digicode de 3 chiffres sans touche “entrée”, qui s’ouvrirait dès qu’on tape les trois chiffres secrets consécutivement. Si vous avez oublié le code, la SDB B(10,3) donne la séquence qui ouvrira la porte à coup sur en pressant le minimum de touches…

On peut aussi remarquer qu’une SDB comme

B(2,8) = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

, qui définit en 256 bits les 256 octets possibles en binaire (compression d’un facteur 8 par rapport à l’énumération!), se rapproche assez du code de Gray(-Gros) connu par 1 des : on passe d’un nombre à l’autre par un décalage à gauche ou à droite et l’entrée d’un seul bit d’information du côté opposé.

Retour au nombre univers compact

Dans la SDB B(10,n), tous les nombres à n chiffres ne sont représentés qu’une seule fois.

La tentation est grande de proposer comme nombre univers le plus compact qui soit un nombre dont les décimales seraient données par B(10,∞), ce qui garantirait que chaque nombre de longueur infinie n’y figure qu’une seule fois…

J’aurais même été tenté d’en écrire les premières décimales :

U=0,3 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 …

Ben oui, comme les SDB sont cycliques, je pourrais m’arroger le droit de commencer la séquence là où commence l’infinité de décimales de Pi, par pur esprit de provocation…

Mais on n’a pas le droit de faire tout ça; manipuler les infinis mathématiques nécessite des précautions dont je suis incapable. Je vais donc me contenter d’un nombre “presque” univers, tout comme l’Univers astronomique est peut-être infini, mais dont seul un volume fini nous est accessible : B(10,1'000'000). Dans ce , il y a une seule fois le nombre formé d’un million de chiffres 5, et l’oeuvre complète de Shakespeare s’y trouve aussi, ainsi que tous les autres livres édités et pas encore écrits, ainsi que toutes les autres informations accumulées par l’humanité puisqu’elles sont en . De plus, comme chaque bloc d’un million de décimales de pi, de e et des autres transcendants y figure aussi, j’ai cette fois rigoureusement le droit de commencer la séquence par le premier million de décimales de pi. J’y tiens ;-)

Note* : en fait c’est fortement suspecté et Bailey et Crandall ont proposé en 2001 une démonstration de la normalité en base 2 de pi, e et d’autres “constantes fondamentales” basée sur une conjecture qu’il reste à prouver.

Références

David H. Bailey and Richard E. Crandall “ ”, Experiment. Math. Volume 10, Issue 2 (2001), 175-190.
" " sur Jeux et Mathématiques (avec un générateur en ligne acceptant les lettres)

Jeu-concours électrique

Mon, 17 May 2010 00:00:00 +0000

Amateurs de casse-têtes, de maths et d’algorithmes, oyez, oyez !

La et la avec l’appui de Réseau de Transport d’Electricité organisent un concours doté de 2000 Euros de prix et ouvert jusqu’au 30 juin 2010.

Il s’agit de concevoir le réseau de lignes électriques nécessaires pour alimenter les villes d’un pays à partir de centrales :

le pays du concours, carré malgré les apparences

Pour ne rien arranger, les centrales sont de puissances différentes et fournissent de la THT, et les villes consomment également des puissances différentes (listées dans la ), mais doivent être alimentées en HT via des transformateurs à placer à volonté, mais à au moins 1km des villes et pas dans les zones protégées marquées en pointillés.

Pour relier tout ceci, on peut construire des lignes THT de 1GW à 1M€/km (c’est même “obligatoire de mettre une ligne THT lorsque c’est possible”, mais cette contrainte me parait peu claire). On doit utiliser des lignes HT de 1 GW à 300K€/km pour alimenter les villes, et dans les zones protégées, on n’a droit qu’à des lignes HT enterrées de 0.3 GW à 1 M€/km.

De plus le tout doit être résistant à une panne : si une centrale, une ligne ou un transfo flanche, les villes doivent toujours être alimentées.

Le vainqueur sera celui qui proposera le réseau satisfaisant à toutes ces contraintes et coutant le moins cher avant le 30 juin, mais mon petit doigt me dit qu’il ne faut pas attaquer le problème le 29…

Et avant de vous lancer dans de p’tits dessins ou de gros calculs, notez encore que tout ce qui précède peut être potentiellement faux et/ou incomplet (je décline toute responsabilité etc etc). Seul le fait foi.

Pour la petite histoire, j’ai trouvé ce concours sur “ ”, un blog intéressant découvert au moment de la rédaction de

le retour de l'âge du capitaine

Sun, 25 Apr 2010 00:00:00 +0000

Trouvé encore un de ces merveilleux problèmes qui semble impossible et qui est pourtant délicieusement simple :

Le Xème jour du Yème mois de l’année 1900 + Z, un bateau ayant U hélices, V cheminées et W hommes d’équipage est lancé.

Sachant que le produit UVWXYZ plus la racine cubique de l’âge du capitaine, qui est grand-père, est égal à 4002331, trouver l’âge du capitaine ainsi que toutes les caractéristiques du bateau.

Si, si … il y a une solution, et une seule ! Pour décourager les recherches sur internet et les solutions copiées/collées, je veux non seulement la solution, mais savoir comment vous avez fait le seul calcul nécessaire.

Filles, maths et notes

Sat, 24 Apr 2010 00:00:00 +0000

Entendu à une interview de (disponible ). Elle y raconte son enfance d’enfant à très haut potentiel aux USA, qui l’a poussée à créer le pour les petits génies suisses romands, et parle un tout petit peu de .

Mais le passage que j’ai trouvé les plus intéressant concerne les raisons pour lesquelles les filles ne crochent pas autant au maths que les garçons. Elle raconte une discussion avec son fils aîné (à 20:50) qui remarquait que les filles se désinscrivait de l’option “maths renforcés” au bout d’une année de gymnase (= 1ère année de préparation au bac, vers 16 ans. L’option “maths renforcés” correspond aux exigences de l’ancienne orientation “scientifique”, avec quelques heures de cours supplémentaires).

Selon ses observations, les filles sont plus sensibles à la baisse de leurs notes qu’entraine un niveau plus élevé. Alors qu’un garçon ne se fait pas de souci tant qu’il obtient la moyenne, et restera dans l’option tant qu’il pourra, une fille le prend comme un échec et se dit qu’en choisissant une autre option, elle aura une meilleure moyenne, et abandonne les maths pour l’art ou une autre discipline “facile”.

Entendre ceci a provoqué un déclic, car j’ai souvent remarqué une différence dans l’approche des études entre garçons et filles sans vraiment arriver à la qualifier. Je me surprends souvent à dire à mes filles que les notes n’ont pas d’importance, que c’est ce qu’on apprend qui compte et qu’en étudiant bien, les évaluations ne sont que des formalités administratives. Mais elles ne le prennent pas comme ça. Et j’ai vraiment vu beaucoup plus d’étudiantes que d’étudiants malades de stress avant les épreuves, prendre des calmants etc.

Je n’ai pas le temps de faire des recherches sur des recherches (sic…) qui vérifieraient cette différence garçon/fille expérimentalement. En connaissez-vous ? Avez-vous remarqué la même chose ?

Succès hollywoodiens et transformée de Fourier

Sat, 06 Mar 2010 00:00:00 +0000

Incroyable : une deuxième tentative d’article scientifique en une semaine dans le ! Ils ont du engager un stagiaire qui vise Science&Vie … Cette fois c’est “Le succès des films tient à une formule de maths.” Attachez vos ceintures :

… les films à succès suivent une formule mathématique. Il s’agit de la “transformée de Fourier”. Derrière ce nom barbare se cache la fluctuation 1/f …

Ouch! Ca fait mal à ceux qui ont étudié le barbare sous toutes ses coutures…

Décryptons. Parce qu’à la base il y a une info, une vraie, qui aurait pu être intéressante si elle n’avait pas été massacrée. , professeur de psychologie à Cornell a mesuré la durée des plans de 150 films tournés entre 1935 et 2005 . Première chose étonnante : ces films d’une durée moyenne de 126 minutes contiennent de 231 plans pour “Seven Year Itch” (1950) à 3099 pour “King Kong” (2005) , et en moyenne 1132 plans d’une durée toujours aussi moyenne de 6.68 secondes seulement !

L’étude analyse ensuite l’ de la durée des plans de chaque film, qui a permis de montrer que “les films hollywoodiens sont devenus progressivement découpés en paquets de plans de durée similaire. Par exemple, les scènes d’action sont typiquement formées de plans relativement courts, alors que les scènes de dialogue sont formées de plans plus longs alternant d’un acteur à l’autre. De ce point de vue, les éditeurs de films ont progressivement augmenté pendant 70 ans leur contrôle sur le mouvement visuel de leurs narrateurs, rendant les relations entre la durée des plans plus cohérente” (traduction personnelle d’un passage de l’article)

autocorrélation de la durée des plans des films en fonction de leur distance, fonction de régression 1/(lag + 1)β et son intervalle de confiance de 95%

Et le barbare là dedans ? La permet de décomposer un signal quelconque en une somme de signaux tout simples : des sinusoïdales de fréquences distinctes. Elle permet donc de discerner des périodicités dans des signaux compliqués et bruités. Et de les filtrer. Et de les transmettre. Et de les stocker. Et de les visualiser. Et… Je m’avance peut-être un peu, mais je dirais que Joseph Fourier est l’Archimède des ingénieurs : sans son coup de génie, tous les bidules électroniques fonctionneraient aussi bien que des bateaux en silex massif. Voilà pour le barbare.

Mais pour terminer cet article, il nous faut encore un ostrogoth et un hussard : le a dit à Cutting et son équipe qu’en appliquant la transformée de Fourier à l’autocorrélation de la durée des plans déterminée plus haut, il obtiendront la de chaque film. Ca donne en quelque sorte une mesure de la fréquence de la variation de la durée des scènes (c’est un peu difficile à exprimer avec des mots, en fait… des propositions ?)

Toujours est-il que Cutting montre dans son article que cette densité spectrale de puissance change avec le temps. Il l’approxime par une distribution en 1/fα Au débuts du cinéma, la durée des scènes était proche d’un “ ” (α=0) comme si la durée d’un plan n’avait absolument aucune relation avec le reste du film. Aujourd’hui, elle s’approche d’une distribution en 1/f (α=1) typique du “ ”.

spectre de puissance, intervalle de confiance 95% et valeur de alpha pour des films typiques de leur époque

Là où ça devient vraiment intéressant, c’est que les processus aléatoires qui ont une distribution en 1/f captent apparemment mieux notre attention . Cette distribution est typique des processus complexes, biologiques entre autres : ils sont aléatoires, mais leurs composantes “lentes” sont plus importantes que les “rapides” : ça nous intrigue beaucoup plus qu’un phénomène totalement imprévisible, ou totalement prévisible.

Dans l’article, Cutting doute que les réalisateurs hollywoodiens soient réellement conscients de ceci et que leurs monteurs découpent volontairement leurs plans selon une loi en 1/f. Et si c’était plutôt un processus évolutionniste ?

Bon, ok, à la décharge du journaliste stagiaire, il faut du temps bon marché de blogueur initié et plus de place que quelques lignes pour expliquer tout ça. Et s’il n’avait pas raconté n’importe quoi sur Fourier, je ne me serais jamais intéressé à l’article scientifique sous-jascent, que je trouve excellent. Donc finalement il a fait son boulot…

Références

Cutting JE, DeLong JE, & Nothelfer CE (2010). Attention and the evolution of Hollywood film. Psychological science, 21 (3), 432-9 PMID:
Christine Nothelfer, 2009, OnFiction
" ", New Scientist, 28 février 2010
Gilden, D.L. (2001). “Cognitive emission of 1/f noise”. Psychological Review, 108, 33–56.

2010

Fri, 01 Jan 2010 00:00:00 +0000

Une année de plus en moins… C’est l’heure d’adresser mes meilleurs vœux de succès et de bonheur à mes fidèles lecteurs-trices, et aussi à vous, nombreux visiteurs-teuses de passage. Que la réflexion critique basée sur les faits, et les rêves qu’apportent notre insondable Univers et notre merveilleuse Nature vous aident à affronter la dure réalité des chiffres en 2010…

audience mensuelle Dr. Goulu

88 articles plus tard, vous êtes encore un peu plus nombreux qu’ à lire ce blog. Merci ! Continuez à me forcer à continuer!

Parmi les articles de 2009, ceux qui ont été les plus lus (ou vus) m’ont surpris: (4985 lecteurs) (4883) et (2828). Des articles “faciles” comme on eu plus de 2000 visites alors que d’autres comme sur lesquels j’ai vraiment planché (déjà pour le titre…) et que je voyais déjà percer la barre des 5000 lectures ont eu beaucoup moins de succès (755). Ceci confirme deux choses:

Pour faire de l’audience, il faut vraiment faire (trop) simple et bien coller à l’actualité. Ok, je vous promets un article sur les Simpson très bientôt, avec le mot “sexe” à la première ligne. Car ça permet peut-être d’attirer l’attention des lecteurs sur des sujets plus sérieux comme la démographie, autre sujet qui sera abordé cette année.
La prévision est un art difficile et dangereux.

A ce sujet, en cherchant une illustration pour cet article, je suis tombé sur ça :

Peut-être vous souvenez-vous de assez moyen sorti en 1984, 2 ans après le roman d’Arthur C. Clarke pondu comme suite au génial de 1968. 40 ans après, on n’est même . Les projets de visiter Mars à pied sont repoussés, on est bien loin d’une mission habitée vers Jupiter (bon, aucun parallélépipède noir ne nous a dit d’y aller non plus), et pourtant il est bien possible que 2010 devienne quand même l’ “année du premier contact”. Non je ne crois toujours pas aux OVNI, mais au rythme ou vont les découvertes sur les , je ne serais pas surpris qu’on en trouve une avec de l’eau liquide et une atmosphère d’azote et d’oxygène très bientôt.

Aucun roman de science-fiction dont je me souvienne n’avait prévu qu’on puisse découvrir et analyser des planètes sans y envoyer des sondes ou des vaisseaux. On pensait “fusées”, on a trouvé avec des miroirs. D’ailleurs, il y a 40 ans, on avait peur d’un ennemi colossal dont les fusées pouvaient nous réduire en poussière radioactive et déclencher un hiver nucléaire, voire une glaciation. Maintenant on se déshabille de peur devant des bricoleurs d’explosifs du dimanche vendredi, et on craint que ne devienne permanent, ou de ne pas avoir de neige la semaine prochaine (et là je flippe vraiment).

Si j’ai un petit message pour cette année, c’est : “N’ayez pas peur : sur 40 ans, la grande majorité des prévisions se sont révélées fausses.” (© Dr. Goulu et Jean-Paul II)

Je croyais vous avoir pour 2010, mais il n’est .

A part ça seulement. C’est un que qui en avait 32933. Mais parmi elles, une me semble mériter un futur article : 2010 est une solution du . En éditant 3 timbres de valeurs entières positives a, b et c judicieusement choisies, on peut affranchir un envoi à n’importe quelle valeur entière entre 1 et 2010 € en utilisant au maximum 30 timbres. Si vous vous vous ennuyez sous la pluie, cherchez a, b et c…

Calculateur d'(in)égalité

Sun, 11 Oct 2009 00:00:00 +0000

Les inégalités de revenu sont un sujet d’actualité politique brûlant. En Suisse, les viennent de lancer une initiative populaire visant à limiter le salaire maximal dans les entreprises à 12 fois le salaire minimal.Dans une petite boite c’est presque toujours le cas, mais plus on travaille dans une grande entreprise, plus on aimerait gagner en une année ce que gagne notre CEO en un mois…

C’est le problème du rapport max/min : il ne tient pas compte de tous les revenus intermédiaires. Dans une entreprise de 100 personnes, 98% des salaires sont compris entre celui du patron et celui de la technicienne de surface. Comment mesurer les inégalités de revenu en tenant compte de tous les revenus d’une société ?

La mesure d’(in)égalité des revenus la plus utilisée au niveau international s’appelle “coefficient (ou indice) de Gini”. J’en ai déjà parlé dans . L’indice de Gini vaut 0 si les revenus d’une société sont divisées de façon parfaitement égale, et 1 (ou 100%) si un seul esclavagiste empoche la totalité du revenu. En pratique, l’indice de Gini de la plupart des pays membre de l’OCDE se situe entre 0.5 et 0.4, mais les impôts réduisent les inégalités pour obtenir un Gini du revenu disponible entre 0.25 et 0.35 .

Le coefficient de Gini pourrait facilement être utilisé au niveau des entreprises. J’ai d’ailleurs créé une permettant de le calculer en ligne pour des entreprises de moins de 100 personnes*. C’est tout simple : copiez/coller les montants des salaires de votre entreprise dans la première colonne, triez-la dans l’ordre croissant, et voilà !

Le petit graphique associé (dont il faut changer l’échelle horizontale à la main au besoin) trace en bleu la qui montre la progressivité des revenus. L’indice de Gini est défini par la fraction de la surface entre la courbe bleue et la droite rouge par la surface sous la droite rouge.

En jouant avec cet outil, vous constaterez que l’initiative “1:12” des jeunesses socialistes n’implique pas du tout une distribution équitable des revenus. Comme le montrent les cas extrêmes ci-dessous, le coefficient de Gini peut varier énormément même si le salaire le plus élevé vaut 12x le salaire minimal:

société de 10 personnes ou les 9 employés ont un salaire égal et le patron un revenu 12 fois supérieur. Indice de Gini = 0.52

société de 10 personnes ou 9 cadres ont un salaire égal, et un employé un salaire 12x moins élevé. Indice de Gini = 0.1

Pour des revenus réellement équitables, il faudrait que le coefficient de Gini des entreprises corresponde, ou soit même inférieur à celui du pays considéré. Ceci laisse encore une grande flexibilité à la politique salariale. Voici par exemple quelques distributions de revenus donnant un indice de Gini = 0.33, le même que celui de la Suisse entière (avant impôts):

10% du personnel touche un salaire 6x supérieur aux 90%
50% du personnel touche un salaire 4x supérieur aux autres 50%
des salaires : 10% touchent un salaire de base, 10% touchent 2x plus, 10% touchent 3x plus etc jusqu’aux 10% qui touchent 10x le salaire de base:

distribution uniforme des revenus : Gini = 0.33

On voit au passage que la courbe de Lorenz permettent d’ illustrer de manière fine la politique salariale des entreprises. En particulier, les différences de statut entre employés provoquent des “cassures” dans la courbe, alors que des revenus abusifs dans le haut de l’échelle sont détectables par la pente de la courbe à droite.

Il serait très intéressant de connaitre le coefficient de Gini des entreprises. je n’en ai trouvé aucun sur internet, pourtant je suis persuadé que les grandes entreprises (et les grands patrons) pourraient défendre leur politique de rémunération en publiant ce chiffre, qui est beaucoup plus parlant que le rapport max/min ou le montant total de la rémunération de la direction.

Si vous connaissez celui de votre entreprise ou si vous le calculez à l’aide de ma , je vous serais très reconnaissant de le communiquer à l’aide des commentaires ci-dessous. Pas besoin de nommer l’entreprise, le secteur d’activité et la région suffisent. Merci d’avance !

Note : cette est mise à disposition gratuitement uniquement pour utilisation privée, non commerciale. Je m’en réserve tous les droits pour les autres usages. Veuillez me contacter en déposant un commentaire ci-dessous si vous envisagez utiliser cette feuille professionnellement.

La fraternité des nombres

Mon, 28 Sep 2009 00:00:00 +0000

Vu l’autre jour sur un blog¹ une “question bête”, donc intrigante : existe-t-il des nombres entre lesquels les mathématiciens ne connaissent aucune relation ?

La question est “bête” puisqu’on peut toujours trouver une relation entre deux nombres entiers. Mais elle m’a rappelé ma quête initiée avec les : tous les nombres ont de nombreuses propriétés répertoriées en particulier dans l’ de Sloane, mais certains en ont nettement que d’ .

En utilisant la même approche (la base de données de Sloane digérée par quelques lignes de Python), j’ai établi le lien de “fraternité” entre les entiers de 1 à 1024, en comptant pour chaque paire (a.b) possible le nombre de suites comportant ces deux nombres, que j’appelle la fraternité f(a,b).

Par exemple, 456 et 789 ont une fraternité f(456,789) = 32, car et partagent donc autant de propriétés répertoriées.

Les nombres les plus fraternels sont évidemment , qui sont présents dans 133529 séries répertoriées à ce jour. A l’inverse, **les deux plus petits entiers qui ne partagent aucune propriété sont **².

sont les plus petits nombres ayant une seule propriété commune, en l’occurence

J’ai représenté les fraternités f(a,b) pour a et b variant de 1 à 1024 dans l’image ci-dessous. Le point (1,1) est en bas à gauche. Les fraternités f(a,b)>100 sont représentées par des pixels rouges et les fraternités inférieures à 10 sont en bleu foncé. Les quelques pixels noirs dénotent les fraternités f(a,b)=0.

fraternité f(a,b) des nombres entre 1 et 1024. cliquer pour agrandir.

On remarque l’apparition de quelques motifs:

les lignes horizontales et verticales claires correspondent à des nombres particulièrement , les sombres aux
les lignes claires à 45° sont plus surprenantes. Elles semblent indiquer que des nombres consécutifs ont tendance à être plus proches d’autres nombres consécutifs séparés par des constantes. Je m’attendais à voir apparaître des lignes à 30° et 60° liant les nombres à leurs doubles, mais ce n’est pas le cas.
Sur la diagonale (coloriée en rouge par convention), on distingue des petites taches autour de groupes de nombres particulièrement intéressants comme les fortement composites (160, 320) et les puissance de 2 (256, 512), qui forment aussi des taches aux intersections hors diagonale.
Les motifs les plus étranges sont les groupes de 9 points clairs visibles le long des bords bleus, et en particulier au coin supérieur droit. Ils correspondent aux nombres 1010±10 et 110±10, ce qui peut s’expliquer par les nombreuses suites faisant intervenir des nombres binaires, mais on en trouve aussi à 210±10. Est-ce l’effet du ternaire, ou d’autre chose ?

Résultat provisoire de ma recherche aussi excitante qu’inutile : les nombres ne sont décidément pas tous égaux devant les mathématiques.

Notes:

je ne retrouve plus la source de la “question bête”. Elle a été posée il y a une semaine sur un blog… Si vous savez où, merci de me l’indiquer en commentaire…
Le moteur de recherche de l’Encyclopédie de Sloane peut soit trouver des termes consécutifs dans la série, soit des nombres présents dans tout l’article dédié à chaque suite. C’est pourquoi la recherche de fournit plusieurs résultats, mais si vous regardez bien, les nombres 48 et 857 ne sont jamais présents ensemble dans les séries.

Combien de nombres palindromes < N ?

Sat, 26 Sep 2009 00:00:00 +0000

Les problèmes du devenant vraiment très ardus, j’ai été content de trouver un petit challenge intéressant : déterminer rapidement le nombre de nombres palindromes inférieurs à un maximum donné.

un nombre palindrome

Un se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche, comme 1234321 ou 567765. Outre leur aspect esthétique, ces nombres ont aussi des .

La première idée qui vient à l’esprit est de les compter (c’est du ):

\[sourcecode language="delphi"\]

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer; var i:Integer; s:string; begin Result:=0; for i := 1 to maxNumber do begin s:=IntToStr(i); if s=ReverseString(s) then Inc(Result); end; end;

\[/sourcecode\]

Ca marche, mais c’est très lent : pour maxNumber=1000000000, il faut un milliard de conversions en chaine de caractères, un milliard d’inversions de chaîne, et un milliard de comparaisons. Or le résultat n’est que de 109998. Comme l’ (mais c’est de moi) :

Si ta boucle ne fait rien 99% du temps, c’est que tu n’utilises pas le bon algorithme.

De plus, notre boucle génère tous les nombres palindromes sous forme de chaine, et on les jette.

Si tu jettes 99% des résultats, c’est que tu n’utilises pas le bon algorithme.

Une autre approche, que beaucoup utilisent avant même de programmer, voire de réfléchir, est de . C’est une excellente approche. On trouve immédiatement une , avec une formule qui offre sur un plateau le nombre a(n) de nombres palindromes inférieurs à 10n

La formule n’est valable que pour n entier, mais on peut tout de même la convertir en une petite fonction Delphi:

\[sourcecode language="delphi"\]

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer; const pow10:array

\[0..9\]

of integer=(1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000); var n:Integer; begin n:=Round(log10(maxNumber)); if Odd(n) then Result:=11*pow10

\[(n-1)div 2\]

-2 else Result:=2*pow10

\[n div 2\]

-2; end;

\[/sourcecode\]

Comme il s’avère que le ne teste les algorithmes proposés qu’avec une puissance de 10, vous avez ci dessus une solution victorieuse, mais typique de la programmation agile : elle ne fonctionne (bien) que pour les tests ;-)

Tentons maintenant de rendre notre programme correct quel que soit N, si possible sans le ralentir. On va même commencer par le rendre encore plus rapide en poussant le vice de la programmation agile (= paresse) encore plus loin:

\[sourcecode language="delphi"\]

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer; const A050250:array

\[0..9\]

of integer=(0,9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998); begin Result:=A050250

\[Round(log10(maxNumber))\]

; end;

\[/sourcecode\]

Le vecteur contient directement les résultats de la formule pour n=(0),1,2,..,9. Son nom provient de .

L’algorithme ci-dessous commence par utiliser cette série pour compter les palindromes inférieurs à la puissance de 10 juste inférieure à maxNumber, puis considère successivement les chiffres de maxNumber en partant du plus significatif et compte le nombre de palindromes possibles sur les digits intermédiaires.

Par exemple pour maxNumber=5832476 :

on compte 1998 palindromes inférieurs à 1000000, le plus grand étant 999999
on ajoute (5-1) fois le nombre de palindromes de 5 chiffres, soit 1000 (de 000|00 à 999|99), ce qui donne le nombre de palindromes jusqu’à 4999994
on ajoute 8 fois le nombre de palindromes de 3 chiffres, soit 100. On a donc compté les palindromes jusqu’à 5799975
on ajoute 2 fois les 10 nombres possibles au centre, ce qui compte jusqu’à 5829285
reste à ajouter les (2+1) nombres palindromes obtenus en changeant le chiffre central : 5830385, 5831385 et 5832385

\[sourcecode language="delphi"\]

function NumberOfPalindromes(const maxNumber : integer) : integer; const A050250:array

\[0..18\]

of integer =(0,9, 18, 108, 198, 1098, 1998, 10998, 19998, 109998, 199998, 1099998, 1999998, 10999998, 19999998, 109999998, 199999998, 1099999998, 1999999998); const pow10:array

\[0..9\]

of integer =(1,10,100,1000,10000,100000, 1000000,10000000,100000000,1000000000); var n,i,j,k:Integer; d:array

\[0..18\]

of integer; // digits begin i:=0; n:=maxNumber; while n>0 do begin // extract digits d

\[i\]

:=n mod 10; n:=n div 10; inc(i); end; n:=i-1; // n=Trunc(log10(maxNumber)) Result:=A050250

\[n\]

; i:=n; j:=0; k:=n div 2; dec(d

\[n\]

); // because we counted palindromes to 1000..00 while i-j>=2 do begin // loop from outer digits to inner Result:=result+d

\[i\]

*(pow10

\[k\]

); dec(i); inc(j); dec(k); end; inc(Result,d

\[i\]

); // handle 1 or 2 center digits if d

\[j\]

>=d

\[i\]

then inc(Result); end;

\[/sourcecode\]

Cet algorithme étant nettement plus rapide et compact que les solutions existantes du challenge, je viens de le soumettre au bien qu’il y ait encore une petit bulle… Pour certains maxNumber “rares”, le résultat est 1 de trop. Saurez-vous trouver pourquoi avant moi ?

La formule préférée du professeur

Sun, 28 Jun 2009 00:00:00 +0000

Ma maman aime lire des auteurs du monde entier. Elle m’a fait découvrir , et bien d’autres. Je viens de dévorer le dernier roman qu’elle m’a prêté : “La formule préférée du professeur” de .

Le très bon roman combine surréalisme, cours de maths, philosophie et exotisme japonais.

Surréalisme de l’intrigue : une aide familiale est mise au service d’un vieux professeur de mathématiques handicapé par une amnésie qui limite sa mémoire à 80 minutes. Après ce délai, il ne peut se souvenir que de ce qu’il note sur des petits billets comme “ma mémoire ne dure que 80 minutes” ou “j’appelle le fils de l’aide familiale Root, à cause de sa tête plate comme un symbole de racine carrée”.

Cours de maths car le lecteur est initié en douceur à quelques curiosités de la , comme les , les et évidemment aux . Il me semble que Yoko Ogawa pourrait susciter des vocations à la lecture de certains passages, notamment la description de l’ “étincelle” qui éclate dans le cerveau de l’aide ménagère lorsqu’elle découvre par elle même comment additionner rapidement les N premiers nombres entiers. Une sensation que n’oublient jamais ceux qui l’ont vécue… Mais on ne tombe jamais dans le roman scientifique barbant : Yoko Ogawa évite de détailler la formule préférée du professeur, la fameuse $e^{i pi} + 1 = 0$ ou la sur laquelle le professeur s’escrime, jour après jour, 80 minutes après 80 minutes…

Pour ce qui est de la philosophie et de l’exotisme japonais, c’est certainement ce qui rend ce roman très attachant et intéressant pour le lecteur occidental, donc je n’en dis pas plus et vous conseille vivement ce très bon livre, léger et idéal pour les vacances. Ah oui : on y parle aussi beaucoup de base-ball… Je n’ai pas trop compris pourquoi. Mais je ne suis qu’un .

小川洋子 (2005). La formule préférée du professeur. Actes Sud.

1,2,6,42,1806, Combien ?

Wed, 10 Jun 2009 00:00:00 +0000

Vous avez peut-être reçu un e-mail vous garantissant un QI > 120 si vous arrivez à trouver le terme suivant de la suite entière 1,2,6,42, 1806. Et vous avez peut-être été tout fier de remarquer que puisque 42/6=7, peut-être que 42*43=1806 … calculatrice … gagné!

Donc le prochain terme est 1806*1807=3263442 et hop! QI > 120, vous vous sentez intelligent et heureux d’un coup.

Pourtant 3270666. En effet, chaque entier de la suite est aussi égal au précédent multiplié par le nombre premier qui lui est juste supérieur, et comme le nombre premier suivant 1806 est 1811, 1806*1811=3270666. Quel QI je mérite pour ça ? Au moins 130, à vue de nez.

On peut aussi soutenir qu’il n’y a pas de terme suivant. En effet 1,2,6,42 et 1806 sont les seuls entiers n tels que m^(n+1) = m modulo n quel que soit m. Il n’y en a pas d’autre. Pour démontrer ça, je dirais qu’un QI de 140, ça aide…

Mais pas besoin d’un QI élevé pour ;-)

Unités et classements

Thu, 21 May 2009 00:00:00 +0000

Etranger, si tu ne sais pas additionner des pommes et des choux, passe ton chemin…

En maths “pures”, un nombre est “pur” aussi. Ce sont les marchands et les physiciens qui ont inventé les unités pour des besoins d’application : 3 pommes ne sont pas égales à 3 vaches, et 3 kilos pas égaux à 3 mètres

La somme 562+2150+1951=4663 figurant sur la panneau de ci-contre est donc parfaitement exacte mathématiquement, mais semble n’avoir aucun sens car on y additionne des

\[âme\]

s, des

\[pied\]

s et des

\[année\]

“Semble” car en fait le panneau peut simplement avoir été trop petit pour y ajouter quelques “facteurs de conversion” bien pensés comme:

Population 562 \[âme\] (x 1 \[point/âme\])
Altitude 2150 \[pied\] (x 1 \[point/pied\])
Fondé en 1951 \[année\] (x 1 \[point/année\])
Total = 4663 \[point\]s

Tiré par les cheveux ? Pourtant ceci se fait couramment, entre autres chaque fois que l’on établit un classement de pays en fonction de critères multiples.

L’indice de développement humain

Un exemple simple est l’ , qui fait la moyenne de 3 ou 4 données (espérance de vie, taux d’alphabétisation et de scolarisation, PIB/habitant). Mais contrairement à New Cuyama, les valeurs des quelques facteurs de conversion utilisés dans la formule de l’IDH ne valent pas 1, mais des valeurs précises comme 2.60206

\[log $\]

. Il faut dire qu’en plus des facteurs, l’IDH introduit des “non-linéarités” : ce n’est en réalité pas le PIB/habitant qui est considéré, mais son logarithme, donc le nombre de zéros du revenu plutôt que le revenu lui-même…

En fin de compte, l’IDH est un nombre compris entre 0 et 1, avec la Norvège (0.969) à un extrême et la Sierra Leone (0.329) à l’autre. En modifiant un peu la valeur d’un facteur, il est peu probable que le classement soit bouleversé.

La compétitivité selon l’IMD

Examinons maintenant le tout récent de 57 pays . Pour l’établir, l’IMD combine grâce à autant de facteurs de conversion. Je n’ai pas trouvé leur valeurs, probablement jalousement gardées par les spécialistes de l’IMD qui les ont finement ajustés pour traduire en chiffres ce qu’ils appellent la “compétitivité”.

J’ai cependant quelques soupçons sur la manière dont ce classement" est établi, par le fait que les USA sont perpétuellement classés No 1 de la compétitivité avec 100 points selon l’IMD. (Pourtant ils se cantonnent autour de la 15ème place de l’IDH, donc à quoi bon être compétitif ?)

D’une part certains choisis sont des valeurs absolues (1.1.01 Gross domestic product (GDP), 4.1.01 Land area, 4.1.23 Total final energy consumption et d’autres ) qui favorisent directement les grands pays ( à moins que le facteur associé ne soit négatif …)

Beaucoup de ces critères absolus figurent aussi sous forme relative, par habitant, ce qui est une manière masquée de tenir compte de la population. Si un critère absolu vaut X est multiplié par le facteur A et que le critère relatif X/H où H est la population du pays est multiplié par le facteur B, alors on a

A.X + B.X/H = (A.H + B).X/H

autrement dit, on obtient un facteur de X/H qui n’est plus constant mais varie linéairement avec la population et on dispose de deux paramètres A et B au lieu d’un seul. Si A est plus grand que 0, les grands pays sont favorisés.

D’autres critères sont directement associés à la culture anglo-saxonne comme le 4.5.10 English proficiency : pourquoi pas “chinese proficiency” ?

Mais ce qui est le plus suspect voire fondamentalement faux est le fait que l’IMD utilise beaucoup plus de critères (329) qu’il n’ y a de pays à classer (57).

Comment sculpter votre classement vous-même

En effet, s’il y a plus de critères utilisés que de pays à classer, il est possible de choisir les facteurs de manière à obtenir n’importe quel classement ! Voici comment :

collectez N données numériques sur M pays dans un tableau de N colonnes et M lignes, avec N>M. Vous obtenez une “matrice m x n” que nous appellerons A
notre but est de déterminer les valeurs des M facteurs de conversion qui vont générer le classement souhaité à partir des données A. Mathématiquement c’est un vecteur colonne que nous appellerons X, car c’est l’inconnue
Maintenant, remplissons une colonne de plus contenant à chaque ligne la valeur souhaitée du classement du pays correspondant dans la matrice A . Si vous voulez modifier le classement de l’IMD pour que la France soit No 1 de la compétitivité mondiale, donnez lui la valeur 100, puis 98.146 pour Hong-Kong et ainsi de suite jusqu’ à 39.060 pour le Venezuéla, en n’oubliant pas de mettre 68.071 aux USA pour les mettre à la 25 ème place. Appelons ce “vecteur colonne” B
On se retrouve avec un de M équations à N inconnues que l’on écrit sous forme matricielle A.X=B, et comme il y a plus d’inconnues que d’équations et qu’il n’y a pas trop de zéros dans les données de la matrice A ni de lignes identiques car les pays sont tous différents, il est toujours possible de le résoudre*, donc de trouver les facteurs X qui fabriquent le classement voulu !

Note* : la résolution est un peu plus compliquée si les facteurs ne doivent pas être négatifs, mais je pense qu’avec 5x plus de critères que de pays on doit pouvoir s’en sortir quand même.

La minéralisation des nombres

Sat, 18 Apr 2009 00:00:00 +0000

Dr. Goulu est (un peu) dans ce numéro de "Pour la Science" ! La Gloire ! (enfin…)

Après mon article sur les , j’avais contacté pour lui demander si quelqu’un avait déjà étudié ce sujet. Il m’avait répondu qu’à sa connaissance ce n’était pas le cas, et trouvait étrange de rechercher les nombres ayant peu de propriétés plutôt que ceux en ayant beaucoup. Mais mon idée d’utiliser la de l’ pour mesurer l’intérêt des nombres l’a séduit et les résultats de la petite collaboration qui s’en est suivie figurent dans l’article “Mille collections de nombres” de Jean-Paul Delahaye qui vient paraitre dans “Pour la Science”

\[1\]

A l’aide de quelques lignes de Python, j’ai créé une donnant le nombre de propriétés connues des nombres de 2 à 65536*, que j’appelle “minéralisation” par analogie avec les eaux minérales riches en ions supposés apporter bienfaits et saveur comparativement à une eau “plate”, voire “acratopège”, sans propriété particulière.

En réalisant un simple graphique de la minéralisation, j’ai remarqué un phénomène très intriguant : le graphique présente deux bandes distinctes, nettement visibles à tous les ordres de grandeur :

Autrement dit, les nombres entiers se divisent assez clairement en 2 groupes : les nombres “intéressants” et les nombres “inintéressants”. Il y a étonnament peu de nombres moyennement intéressants. L’article de Delahaye se termine par un appel à expliquer ce phénomène.

J’ai un peu profité de ma longueur d’avance en demandant à Python de colorier sur le nuage de points les nombres appartenant à quelques séries particulières :

les nombres premiers en rouge,
les nombres de la forme an en vert,
les nombres ayant plus de diviseurs que n’importe quel nombre inférieur en jaune :

Bingo ! On voit que ces nombres recouvrent la quasi totalité des nombres particulièrement minéralisés, ou intéressants.

Il me semble que la bande claire entre les nombres fortement minéralisés et les nombres “plats” pourrait résulter du fait que de nombreuses suites de l’encyclopédie de Sloane sont définies par combinaison de critères. Par exemple si on , on ne trouvera pas seulement les nombres premiers, mais aussi:

les nombres de Chen : les nombres premiers p tels que p + 2 est soit premier soit semipremier
les nombres premiers palindromiques : en inversant leur chiffres, ils sont toujours premiers
les nombres n tels que n et 6n+1 sont premiers
et encore 120 autres propriétés combinant la primalité avec d’autres propriétés.

De ce fait, les nombres premiers ont des chances d’être aussi présents dans ces nombreuses autres séries, alors que les nombres composés n’en ont aucune. Le même raisonnement vaut pour les nombres ayant beaucoup de diviseurs ( …) : ils vont naturellement se retrouver dans de nombreuses autres suites en tant que multiples. Pour les puissances parfaites ( , …) il me semble plus étonnant qu’elles “méritent” d’appartenir à de nombreuses propriétés dérivées, mais c’est comme ça.

Ces 3 propriétés me semblent être fondamentales, ou “minéralisantes” car à part 1,2 et 4, aucun nombre entier ne peut avoir deux de ces propriétés, ou les trois, mais les nombres qui possèdent une de ces trois propriétés sont systématiquement plus intéressants que ceux qui n’est possèdent pas. Reste à trouver une ou deux de ces propriétés de plus que partagent les nombres fortement minéralisés encore bleus dans le graphique ci-dessus.

Au vu de ce qui précède, il y a probablement quand même des choses très intéressantes à trouver parmi les nombres peu minéralisés. Existe-t-il des propriétés “déminéralisantes”, telles que les nombres qui en jouissent ne peuvent qu’avoir un nombre limité d’autres propriétés ?

Note* : 65536 est un nombre bien connu des informaticiens : 2^16 donne le nombre de codes binaires possibles sur 16 bits, et le format de fichier (.xls) d’Excel a été défini au bon vieux temps des processeurs 16 bits …

Référence:

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93 (

Oh! a Pi-Day !

Sat, 14 Mar 2009 00:00:00 +0000

Chez nos amis anglo-saxons, ce 14ème jour du mois de mars se note 3.14 et a donc été bombardé “jour de pi” avec même un ! La fête a débuté à 1h59 et 26 secondes et quelques pouillèmes pour des raisons évidentes.

Vous pouvez encore commémorer ce grand jour en

utilisant
vous replongeant dans l’
vous laissant intriguer par quelques
exécutant : int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main() {for(;b=c-=14;h=printf(”%04d”,e+d/f)) for(e=d%=f;g=–b*2;d/=g)d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%–g;}
apprenant les décimales par coeur …
visualisant

Programmer pour le fun

Mon, 23 Feb 2009 00:00:00 +0000

Amis des casse-tête mathématiques ardus et de la programmation d’algorithmes optimisés, bonjour!

Je viens de découvrir , et j’ai honte de ne pas l’avoir trouvé avant. Ce site propose 233 problèmes (et environ un de plus chaque semaine environ) pouvant parfois être résolus avec un papier et un crayon propulsé par un cerveau en ébullition, mais pour la plupart requièrent quelques lignes de code bien pensées et un stupide esclave électronique pour les exécuter.

Une fois inscrit sur le site, vous pouvez soumettre vos solutions aux problèmes dans l’ordre qui vous plait et chaque bonne réponse vous apporte instantanément:

la possibilité d’accéder à un forum où les solutions sont comparées et discutées. C’est en général là qu’on commence à avoir mal au front, quand on découvre des algorithmes 1000x plus rapides que ceux qu’on s’est escrimé à mettre au point, ou pire, la petite formule qui tue…
un bon point. Après 25 bonnes réponses vous entrez dans le tableau des et pouvez espérer rejoindre un jour la qui ont résolu tous les problèmes jusqu’ici.

Il faut dire que les premiers problèmes sont relativement simples, par exemple les 17 que j’ai déjà résolus sont :

additionner tous les entiers intérieurs à 1000 qui sont multiples de 3 ou 5
trouver la somme de tous les nombres pairs de la inférieurs à 4'000'000
trouver le plus grand facteur premier de 600'851'475'143
trouver le plus grand palindrome formé par le produit de 2 nombres de 3 chiffres
quel est le plus petit nombre divisible par tous les entiers de 1 à 20 ? (facile. celui là je l’ai fait à la main)
quelle est la différence entre le carré de la somme des 100 premiers entiers et la somme du carré de ces même nombres ?
trouver le 10001ème nombre premier
trouver le plus grand produit de 5 chiffres consécutifs dans un nombre à 1000 chiffres
trouver le seul dont la somme a+b+c=1000
calculer la somme des nombres premiers inférieurs à 2'000'000
quel est le premier ayant plus de 500 diviseurs ?
quels sont les 10 premiers chiffres de la somme de 100 nombre de 50 chiffres donnés?
trouver le nombre inférieur à 1'000'000 générant la plus longue
en partant d’un coin d’une grille de 20x20, combien y’a-t-il de chemins au coin opposé ? ( …)
quelle est la somme des chiffres de 21000?
quel est le premier terme supérieur à 101000 de la suite de Fibonacci ? (et si je vous disais qu’on peut le trouver sans calculer les termes précédents ?)
trouver la somme des chiffres de 100! (factorielle…)

Certains de ces problèmes exigent de pouvoir manipuler de grands nombres, ce qui est une force du langage , que j’aime de plus en plus. On peut par exemple obtenir la somme des chiffres de la factorielle de 100 en une seule ligne* combinant la et la fonction

reduce(lambda x, y: x + y, [int(i) for i in str(reduce(lambda x, y: x * y, range(1, 100)))])

Bon, jusqu’ici j’ai fait le facile : même avec une approche un peu brutale, on s’en sort. Mais rapidement la complexité fait son apparition au carré : au niveau mathématique et au niveau algorithmique, condamnant le programmeur peu subtil à patienter des minutes, des heures ou des siècles devant un sablier virtuel …

Je vois encore quelques problèmes liés à des sujets déjà abordés sur Dr.Goulu comme:

trouver le polynôme _n_² + an + b, où|a| < 1000 et|b| < 1000 qui produit le plus de
quel nombre premier inférieur à 1'000'000 est la ?
combien existe-t-il de inférieurs à 10'000 ?

Il y a encore environ entre 20 et 50 problèmes que j’espère pouvoir résoudre à raison d’un par soirée.

Après, ce sera l’enfer mais j’espère vous y retrouver, ami lecteur … (insérer un rire ici)

Note* dans le forum on découvre une solution en 13 caractères seulement, en évidemment: +/".“0”:!100x

Soluces de Noël

Sun, 22 Feb 2009 00:00:00 +0000

Voici enfin quelques solutions aux

le jeu des nénuphars

Pour gagner à , j’ai commencé par “tricher” en examinant le petit programme JavaScript qui s’occupe de tout. On y trouve ceci :

//positions gagnantes
var gagnant = new Array(777,667,557,447,337,227,456,236,135);

En codantla position de chaque grenouille par un chiffre de 0 à 7, la position de départ est notée 024 et la position gagnante finale 777. (On remarque au passage que les positions obtenues en permutant les lignes de nénuphars sont stratégiquement équivalentes, donc on peut représenter toutes ces permutations par un seul code dont les 3 chiffres sont triés dans l’ordre croassant )

Pour y arriver, si on a une grenouille sur 7, il faut s’assurer que les deux autres restent au même niveau : les positions 227,337,447,557 et 667 sont gagnantes parce que l’adversaire n’arrive jamais à faire 777 en un coup alors qu’on peut dans tous les cas se remettre en position gagnante.

Le début de la partie est plus compliqué, et c’est là que tout se joue. Pour comprendre pourquoi 135, 236 et 456 sont des positions gagnantes, j’ai fait ce graphe.

(cliquer pour agrandir)

On y voit:

que comme les positions xx7 , les positions 135, 236 ou 456 sont bien gagnantes car tout mouvement depuis ces positions permet ensuite à un adversaire jouant bien de revenir à une position gagnante.
il y a encore 3 autres positions gagnantes : 025, 034 et 124, et celles-ci sont accessibles à partir de la position de départ 024. Ca signifie qu’en suivant le graphe**, celui qui commence le jeu est sur de gagner !**

Merci et Bravo à , qui m’a soumis par mail son analyse de ce problème sans “tricher” en lorgnant le code. Cet article est le résultat de la combinaison de nos idées.

Les boulets de canon

les aux problèmes des quarts de finales de la FFJM sont disponibles. J’ai surtout ramé au problème No 16 pour lequel je n’ai pas trouvé de méthode, et au dernier, celui des boulets de canon, qui est très beau.

Une pile de boulets formée sur une base rectangulaire se termine par une couche ne contenant qu’une ligne de m boulets. La couche juste inférieure contient 2 lignes de m+1 boulets, la suivante 3 lignes de m+2 boulets et ainsi de suite. La i-ème couche contient donc i.(m+i-1) boulets et le nombre de boulets d’une pile contenant c couches est de

$n= sum_{i=1}^{c} i.(m+i-1) = m.sum_{i=1}^{c} i + m.sum_{i=1}^{c} i^2 -c$

En utilisant la formule de la somme des premiers entiers et celle de la , on obtient n=c.(c+1).(3m+2c-2)/6, résultat que l’on retrouve déjà dans un “ ” de 1813!

Dans le problème posé, la largeur de la pile de base étant égale à m, on a c=m et donc n=m.(m+1).(5m-2)/6 . Reste à trouver la valeur de m donnant un n qui soit un carré parfait. C’est vite fait à la main : m=6 donne 14^2=196 boulets. Mais il existe une autre solution: m=49 donne 99'225 boulets, le carré de 49. Sans Python, j’ai raté celle là …

2009

Sat, 03 Jan 2009 00:00:00 +0000

photo de Môsieur J. sur flickr

En ces temps incertains, je voulais vous apporter quelques certitudes concernant 2009.

D’abord, 2009 sera l’Année Mondiale de l’Astronomie, . On a commencé très fort en observant la le 1er janvier avec la lunette de Yannick, 9 ans, mais je vous promets de continuer avec beaucoup d’articles sur le thème “on est peu de chose dans le vaste Univers”.

Ensuite 2009 sera . Ca fait 200 ans que l’antéchrist des cré(a)ti(on)nistes est né, et 150 ans que son “Origine des Espèces” ( ) explique ce genre de choses magnifiques autrement que par un délire du Créateur:

Guèpe "Fairy Fly" par Spike Walker, vainqueur 2008 du Concours "Olympus BioScapes Digital Imaging"

Sur ce thème “on est peu de chose, mais bien foutu quand même”, je vous recommande la lecture des blogs de mes éminents collègues biologistes du .

Côté Physique, j’ai une certitude et un espoir. La (quasi-)certitude, c’est de finir quelques articles sur la réversibilité du temps, la symétrie CPT, la supersymétrie et ce genre de trucs. Et l’espoir, c’est que parviendra à faire redémarrer sa machine en 2009 et à nous dessiner un boson de Higgs ou un morceau de matière noire.

En Maths, les nouvelles sont mauvaises. Peu de chances qu’un mathématicien obtienne le Prix Nobel d’Economie, comme c’était devenu une habitude ces dernières années… En plus, “2009” est loin d’être : ce nombre a au moins propriétés, dont peu sont intéressantes :

2009 et 9002 sont tous deux divisibles par 7. C’est peut être un détail pour vous, mais ça veut dire beaucoup pour ceux qui s’escriment sur les sélections pour les ;-)
le 2009 ème nombre premier, 14741 est palindromique.
C’est un : 2^2009 contient dans ses décimales qu (2**2009=58784291598041831640721059900297317581942666346941194264455308125479232583289360069460965699405121019824433389516158094000492490796188432969007685435732643092034554442399887360352654923898902974171610618912504957328187117386950842341026317332718773233103358237779148190179650358079135564562516081648810332848214481400042754868418296221651998157278605568219649390953792425227268163704976021381769156258409778685642966081035151287502869585844829824788935390157871063324138385197912084049961962094914858370754777898867719950514578646749211908564621201347904089822990746021295498658798312326238643788303040512 , merci Python)
En plus c’est un nombre méchant ( ). J’ai pas tout compris, mais il y a aussi du 666 là dessous.

Bref si j’étais numérologue, je dirais que 2009 est très mal barré. Mais même les matheux les plus purs sombrent dans la déprime : dans le dernier “Pour la Science”, Jean-Paul Delahays confirme avec “ ” que le poursuit ses ravages dans la logique, ébranlant les maths un peu comme Heisenberg a ébranlé la physique avec le principe d’incertitude.

A vous tous mes chers lecteurs je vous souhaite une excellente année 2009 pleine de bonheur, de santé et d’optimisme. Que la Flêche du Temps pointe dans cette direction ô combien désirable. Et si l’incertitude vous ronge, dites vous bien que grâce à Darwin, Gödel, Heisenberg et leurs nombreux disciples, nous échappons à l’ennui mortel d’un monde prévisible. Si Elisabeth Teissier avait raison, ça serait l’enfer.

Le Problème à N corps

Sun, 16 Nov 2008 00:00:00 +0000

Le “problème à N corps” consiste à déterminer le mouvement de N masses sous l’effet des forces d’attraction gravitationnelles entre elles.

Pour N=2, Newton savait déjà que les décrivent des ellipses autour de leur centre de gravité commun.

Pour N=3, : une toute petite différence dans les positions et vitesses initiales des corps pouvait causer de très importantes différences dans la trajectoire des corps. Cependant, malgré ce que beaucoup croient, il existe une solution analytique au problème des trois corps découverte en 1909 par . Elle n’est cependant pas utilisable en pratique pour des calculs.

Pour plus de 3 corps, il n’existe pas de solution analytique. Ceci signifie entre autres qu’il n’est pas possible de démontrer la stabilité d’un système avec quelques corps, comme le Système Solaire par exemple. Des mathématiciens comme ou s’y sont cassés les dents : rien ne prouve que les planètes suivront toujours leurs orbites actuelles dans quelques centaines de millions d’années. Encore moins qu’un astéroïde viennent percuter notre belle planète beaucoup plus tôt.

Simulation du Système Solaire sur Univers Sandbox, N~20

Il est aujourd’hui facile de simuler quelques millions d’années d’évolution du Système Solaire sur un PC, par exemple avec , le chouette programme dont j’ai . Comme on connait avec une très grande précision la position, la vitesse et la masse des planètes et de leurs principaux satellites, on estime que l’on peut calculer leur position dans 5 millions d’années à 150m près. Pour arriver à cette précision, mais aussi tout simplement pour réaliser une simulation réaliste, il faut tout particulièrement veiller à la utilisée, pour garantir la conservation de l’énergie totale du système. Selon , la méthode de donne les meilleurs résultats.

D’autre part, pour chacun des N corps, il faut calculer les N-1 forces exercées par les autres corps. Au total, il faudra calculer

\[N.(N-1)\]

/2 forces (le /2 vient du fait qu’il suffit de ne calculer qu’une fois la force entre deux corps). On dit que la complexité est O(N²) : il faut effectuer un nombre d’opérations proportionnel au carré de N. Pour quelques dizaines de corps, ça ne pose aucun problème, mais si l’on veut simuler des galaxies ou même la collision de galaxies avec N=1'000'000, on se retrouve avec mille milliards de forces à évaluer, ce qui nécessite beaucoup de temps de calcul.

Simulation de la future collision de la Voie Lactée et d’Andromède, N=100'000'000

On pourrait se dire qu’une petite étoile à un bout de la galaxie n’attire pratiquement pas une autre petite étoile très distante, mais négliger cette force n’est pas une bonne idée. D’une part, l’énergie totale du système ne serait plus conservée, et d’autre part il faudrait trouver un critère permettant de savoir quelles forces sont négligeables, sans les calculer.

ont proposé en 1986 un algorithme dont la complexité est O(N.log N). Pour N=1'000'000, il n’y a environ que 20'000'000 de forces à évaluer, ce qui rend le calcul possible. L’algorithme consiste à diviser l’espace en une structure arborescente appelée et à y répartir les corps. On ne calcule les forces qu’entre les corps situé dans la même zone de l’octree, puis l’algorithme calcule les interactions entre les zones. Reste une difficulté : en se déplaçant, les corps changent de zone, et l’algorithme nécessite d’adapter l’octree de l’adapter à la distribution des corps.

interaction de 2 amas de 50 galaxies. N=160'000

Dès 1987, a développé un algorithme baptisé “ ” (FMM), dont la complexité est O(N) seulement, et qui ne nécessite pas d’adaptation de la division de l’espace utilisée. Il est assez facile d’ , mais en 3D l’interaction entre zones est beaucoup plus complexe.

La FMM est considérée par certains comme l’un des algorithmes les plus importants du XXième siècle, car il peut être appliqué à des problèmes beaucoup plus généraux que les N corps, comme certains problèmes de ou de . Inutile de dire que je vais regarder ça de plus près …

Références:

, le logiciel développé par Barnes et Hut, site avec énormément de liens sur le domaine
Dossier “ ” sur AstroSurf
sur la Wikipedia
à Berkeley
: code VPython
sur Wikipedia
Guy Blelloch and Girija Narlikar “ ” Parallel Algorithms. Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Volume 30, 1997.
, une librairie de simulation N corps parallélisée sur GPU (processeur graphique)
: comparaisons et implémentation sur super ordinateurs

Logiciels N corps sur PC:

: le plus beau et le plus fun
: utilise l’alogrithme de Barnes Hut
, un peu ancien

Très très très grands nombres

Tue, 04 Nov 2008 00:00:00 +0000

Quel est le plus grand nombre entier que vous pouvez exprimer ? neuf milliards de milliards de milliards de (répéter quelques fois) milliards ? C’est un bon début, mais chaque “milliards de” n’ajoute que 9 zéros au nombre mais vous coute 12 lettres. Cherchez plus grand et plus court, disons en 5 caractères maximum.

99^{99, où ^ signifie “à la puissance”, est déjà mieux : ça donne un nombre de 197 chiffres. Mais on peut faire beaucoup mieux : 9}9^9 donne un nombre monstrueux

\[_à condition de considérer que 9^9^9 signifie 9^(9^9) et non (9^9)^9_ \]

de 387'420'489 chiffres

( J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition. Mais la marge est trop étroite pour la contenir. DrG et )

A priori, de tels nombres n’ont aucune utilité : ils sont beaucoup mais pourraient être intéressants tout de même :

Le problème avec les entiers est que nous avons seulement examiné les plus petits. Il se pourrait que les choses les plus extraordinaires arrivent pour des entiers réellement grands, ceux que l’on ne peut appréhender ou qu’on n’a simplement pas commencé à concevoir de manière très précise

Ces mots sont de , le mathématicien détenant le record du plus grand nombre entier utilisé dans une démonstration mathématique, le . C’est la plus petite solution connue d’un problème apparemment simple, mais ce nombre est si extraordinairement grand qu’un ordinateur de la taille de l’Univers n’arriverait pas à le stocker en mémoire. Pourtant il figure (presque) en noir sur blanc dans la démonstration de Graham, qui utilise une notation mathématique adaptée.

Les “ ” consistent à généraliser la progression entre les opérateurs considérés comme des itérations :

l’addition a+b est équivalente à b incrémentations : a+b=a+1+1+…+1+1 avec b “+1”
la multiplication a.b est équivalente à b additions : a.b=a+a+ … +a avec b “a”
l’élévation à la puissance a^{b est équivalente à b multiplications : a}b=a.a. …a avec b “a”
ensuite, Knuth définit l’opérateur ↑↑ ainsi : a↑↑b est équivalent à b élévations successives à la puissance a : a↑↑b=a^aa…^{a, avec b-1 “^{a”. Avec cette notation, notre 9}9}9 se note 9↑↑2, un nombre minuscule à côté de 9↑↑9, lui même ridicule comparé à 9↑↑99 qui tient en 5 caractères aussi …
On peut continuer en définissant a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑…↑↑a avec b-1 “↑↑a”. Cet opérateur permet d’écrire les 5 caractères 9↑↑↑9, un nombre absolument titanesque. (qui arrivera à déterminer sa taille ?)
Et évidemment, on peut continuer ainsi à l’infini en ajoutant des flèches, ou plus simplement définir un opérateur généralisé ↑n ainsi:

Outre sa beauté, cette généralisation des opérateurs mathématiques courants semble redoutablement puissante pour écrire de très très grands nombres.

Pourtant, nos amis mathématiciens ont éprouvé le besoin de manipuler des nombres encore plus grands de façon encore plus compacte et ont inventé la :

la chaîne notée a→b→n est équivalente à a↑nb. Par exemple, notre 9⁹9 se note 9→9→2. Donc avec 5 caractères toujours, on peut écrire 9→9→9, un nombre colossalement plus grand.
pour n=1, on ne note pas le 3ème terme de la chaîne et on retrouve l’exponentiation usuelle : 9→9=9^9
mais on peut aussi allonger la chaîne. Les chaines de longueur 4 ou plus permettent de manipuler des nombres encore plus grands à l’aide règles bien définies.

Concluons en revenant au . Il est défini comme le 64ème élément de la suite

4, 3↑↑↑↑3,3↑(3↑↑↑↑3)3, 3↑s33,…, 3↑s(n-1)3, … dans laquelle chaque élément donne le nombre de flèches dans l’élément suivant. Le 64ème élément a des milliards de milliards … de milliards de flèches. On ne sait pas directement l’écrire en chaîne de Conway, mais on sait que G est compris entre 3→3→64→2 < G < 3→3→65→2

Plutôt compact pour des nombres qui n’ont pas beaucoup de chiffres à envier à l’infini …

sources :

sur le Blog à Maths
sur Wikipedia
sur Wikipedia

Classement des Joueurs de Tennis (suisses)

Sun, 28 Sep 2008 00:00:00 +0000

Dans les commentaire de l’article “ ”, un m’a soumis un joli casse-tête : le des tennis(wo)man à croix blanche. Il semblerait que ceux qui n’ont pas de bonnes bases en maths (*) aient un peu de peine à le comprendre, et c’est vrai que c’est le premier règlement sportif dans lequel je vois des formules de ce genre :

$W=\frac{1}{2}\left(\ln(\sum\limits_{i=1}^S{e^{W_i}+e^{W_0}})-\ln(\sum\limits_{j=1}^N{e^{-W_j}+e^{-W_0}})\right)$

Le principe est simple

“La valeur de classement d’un joueur C est déterminée par un nombre de points précis arrondi à un millième. C représente la somme de la valeur de compétition W et de la bonification de match R.” (Art 5.1)

Un joueur qui entre dans le classement reçoit un W=1, puis

“La valeur de compétition W est calculée sur la base des résultats obtenus pendant la dernière année.” (Art 5.3)

en utilisant la grosse formule ci-dessus ainsi:

w0 est l’ancienne valeur de compétition du joueur
les wi sont les valeurs de compétition des S joueurs battus pendant l’année
les wj sont les valeurs de compétition des N joueurs qui l’ont battu pendant la même période.

Simplifions tout ça en imaginant que , qui a un W=17.394 au moment de la rédaction de cet article, et notre jeune joueur qui en est à W=0.892 ne jouent qu’un seul match en 2009, dans lequel ils s’affrontent dans un duel sans pitié. Ainsi les sommes notées avec le $\sum$ ne correspondent qu’au seul adversaire affronté, soit comme vaincu soit comme vainqueur.

Il est que Federer gagne. Dans ce cas, selon la formule, son nouveau W vaudra $ W = (\ln(e^{17.394}+e^{0.892}) - \ln(e^{-17.394}))/2 = 17.394000034 $. La magie des fonctions exponentielles et logarithmiques permet de traduire en mathématiques le Cid : “A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire” : le classement du no.1 ne s’améliorerait pas.

Quant à notre jeune joueur, après sa défaite son W passerait à $W=(\ln({e^{0.892}}) - \ln({e^{-0.892} + e^{-17.394}}))/2 = 0.891999966$, donc resterait inchangé après arrondi au millième.

Mais si nous avions là un génie de la raquette qui parvenait à terrasser “Rodjeur”, son W monterait à $W=(\ln({e^{0.892}} + e^{17.394})-\ln(e^{-0.892}))/2 = 9.143$ d’un seul coup, alors que Federer dégringolerait à $W=(\ln(e^{17.394})-\ln(e^{-17.394}+e^{-0.892}))/2=9.143$ aussi.

Heureusement pour lui, il pourrait invoquer l’Art 5.5 qui lui permettrait de rayer cette défaite humiliante s’il avait joué au moins 5 autres matches dans l’année…

En passant, 9.143 est la moyenne arithmétique des w0 des deux joueurs, ce qui montre que la formule fait une sorte de moyenne pondérée par la logique : un joueur ne progresse dans le classement que s’il bat des plus forts que lui, et ne régresse que s’il perd contre des plus faibles.

Voilà. Le principe est le même pour le calcul de la “bonification de match” R, mais la formule est illisible dans le document officiel… Ca a l’air d’être la même que pour W sauf qu’on utilise un coefficient 1/6 au lieu de 1/2. Si j’ai bien compris le reste du règlement, cette “surprime de risque” s’applique dès que le joueur dispute son 6ème tournoi de l’année ou son 5 x 6 = 30 ème match, mais l’Art 5.5 sur les 5 procédures de calcul me semble peu clair…

Note* : Les bases de maths nécessaires pour comprendre la formule sont :

la connaissance des fonctions exponentielles : ex signifie le à la puissance x. Sur une , c’est souvent la touche \[EXP\]qui calcule ceci.
la fonction ln(x) représente le “logarithme néperien” qui est la fonction inverse de l’exponentielle : ln(ex) = eln(x) = x . Sur les calculatrices c’est \[LN\], parfois \[LOG\]mais il faut faire attention à ne pas confondre avec le log base 10 qui donne log(1000)=3
la somme notée par Σ permet d’additionner un nombre de termes “indicés” comme indiqué sous le Σ: i=1 indique que la variable i vaut 1, puis 2 etc jusqu’à la valeur N indiquée au dessus du Σ.

Palindrome de 196

Sun, 14 Sep 2008 00:00:00 +0000

palindrome par puja (flickr)

Prenons un nombre au hasard : 1729. Ecrivons-le à l’envers : 9271 et additionnons les deux nombres : 1729+9271=11000. Recommençons avec ce nombre : 11000+00011 = 11011.

Ce nombre est égal à lui même écrit à l’envers, c’est un nombre , comme le mot “radar” ou la phrase “élu par cette crapule” si on ne tient pas compte des espaces, ou encore “ ”, un texte de 5566 lettres écrit par Georges Perec en 1969.

Tiens, refaisons le calcul avec 1969 pour voir : 1969+9691 = 11660 11660+06611 = 18271 18271+17281 = 35552 35552+25553 = 61105 61105+50116 = 111221 111221+122111 = 23332 : palindrome !

Bizarre n’est-ce pas ? En fait on peut prendre n’importe quel nombre de départ, et la séquence d’opérations arrive inévitablement à un nombre palindrome en un nombre fini d’itérations. C’est du moins ce que l’on , car il y a deux problèmes :

nos amis mathématiciens n’ont aucune idée de la raison qui fait que ça marche, entre autre parce que “écrire un nombre en base 10 à l’envers” n’a pas de signification mathématique simple.
il y a un gros hic. Si on commence avec 196, on n’arrive pas à un palindrome même après 300 millions d’itérations…

196 est le plus petit des “ ” (en l’honneur de Cheryl, la petite amie du matheux qui a proposé cette propriété) : les nombres qui n’aboutissent apparemment pas à un palindrome … se trouvent évidemment , mais aussi quelques autres.

Ce qui est intéressant aussi, c’est la distribution du nombre d’itérations : très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus

Par exemple pour les nombres de 1 à 99, on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins pour 98 nombres, 79 et 97 ont besoin de 6 itérations, mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.

Pour les nombres de 1 à 999, 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins, 13 sont des nombres de Lychrel et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes : 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations

Poussons jusqu’à 10'000 : à part les 249 (edit du 6.1.14 : et non 246) nombres de Lychrel, il n’y a toujours pas d’autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.

La quête du “ ” a commencé par ces résultats :

Nombre	Iterations	Palindrome
10911 147996 150296 1000689 1005744 1017501 7008899 9008299	55 58 64 78 79 80 82 96	4668731596684224866951378664 8834453324841674761484233544388 682049569465550121055564965940286 796589884324966945646549669423488985697 796589884324966945646549669423488985697 14674443960143265333356234106934447641 68586378655656964999946965655687368586 555458774083726674580862268085476627380477854555

le record du monde actuel (2008) date de 2005 et concerne le nombre 1'186'060'307'891'929'990, qui produit un palindrome de 119 chiffres après 162 itérations.

On voit que le nombre maximal d’itérations requises n’augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel encore plus intriguants et exceptionnels.

A propos : j’ai commencé cet article par est peu intéressant : 1548+8451 = 9999. Ou alors, 30 ans plus tard, je viens de découvrir une nouvelle propriété de ce nombre …

Références:

pour le calcul de palindromes
sur MathWorld

Chasse aux nombres acratopèges

Sun, 24 Aug 2008 00:00:00 +0000

En utilisant l’ pour un article précédent, j’ai découvert qu’elle pouvait m’aider pour une vieille idée : la recherche de nombres acratopèges.

Le mot “ ” signifie “sans propriété particulière” et on ne le trouve plus que sur l’étiquette de quelques bouteilles d’eau faiblement minéralisée.

Les nombres entiers sont soit pairs, soit impairs. Certains sont premiers, d’autres des carrés ou des cubes d’autres nombres. Au fil des siècles, les mathématiciens ont ainsi défini des centaines de propriétés particulières dont jouissent certains nombres et ont rangés les nombres en suites définissant ces propriétés:

2,3,5,7,11,13,17, 19, 23 … : les nombres premiers
1,2,4,8,16,32,64,128 … : les puissances de deux
et des centaines d’autres

Les petits nombres ont énormément de propriétés. En cherchant “1” dans l’encyclopédie, on trouve 141'541 resultats, pour “2” : 117'375, pour “3” : 92'953, et pour “1963”, mon année de naissance : 401 …

Je me suis demandé quels sont les nombres qui apparaissent le moins dans ces suites, et puisqu’ils n’ont aucune propriété particulière, méritent d’être qualifiés d’acratopèges.

1548 : le nombre de Zinzin

Zinzin était un prof de maths célèbre du Collège de St-Maurice. Au début des années 80, ses cours étaient de véritables shows et je repense à lui chaque fois que je “fais Barbe Bleue”* avec une équation et chaque fois que je croise son nombre fétiche : 1548.

Tous les problèmes posées par Zinzin avaient la même solution : 1548 ou une de ses variations comme 1.548, 720 (= 15x48 ) ou encore 31.6348490636206336. Etonné par ce dernier résultat, j’avais dit à Zinzin que je m’étais probablement trompé quelque part et il m’avait suggéré d’en prendre la racine 8-ième : oui c’est bien 1.54^8 …

Zinzin comptait ainsi : “0,1,e,pi,1548, beaucoup”. Selon lui, 0,1,e et pi suffisent à construire les mathématiques avec “Beaucoup” , qui est une notion moins perturbante que l’infini. Et 1548, était un nombre quelconque, sans propriété particulière.

Une génération d’étudiants a cherché pourquoi Zinzin chérissait 1548 plus que tout autre nombre, mais il ne semblait justement pas y avoir de raison. 1548 est-il un nombre acratopège ?

l’Encyclopédie des suites nous apprend que comme :

: Nombres n qui, élevés aux puissances de 1 à 4, sont multiples de la somme de leurs digits :
- 1548 = 86 x (1+5+4+8 )
- 1548^2 = 2396304 = 88752 x (2+3+9+6+3+0+4)
- 1548^3= 3709478592 = 68694048 x (3+7+0+9+4+7+8+5+9+2)
- 1548^4=5742272860416 = 106338386304 x (5+7+4+2+2+7+2+8+6+0+4+1+6)
- (ça ne joue plus avec 1548^5…)
: Plus petit nombre de pierres au qui utilise le (2*n-1)-ème trou
et autres folies de mathématiciens

Mais il est vrai qu’avec 115 résultats, 1548 a peu de propriétés, nettement moins que ses voisins 1547 (151) et que 1549 (304) par exemple. C’est un nombre que je qualifierais de “faiblement minéralisé” plutôt que d’acratopège.

1729 : Le nombre de Hardy-Ramanujan (et Goulu)

Sur les traces de Zinzin, je m’étais mis en tête de trouver mon propre nombre fétiche et ai choisi 1729, en raison d’une histoire légèrement brodée par le fameux Zinzin. Le mathématicien Hardy avait pris le taxi numéro 1729 pour rendre visite à et en chemin il avait trouvé ce nombre acratopège : il lui semblait qu’il n’avait aucune particularité. Mais en arrivant, Ramanujan dit immédiatement “Non ,c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes.” En effet, 1729 = 123 + 13 = 103 + 93

Depuis, un tel nombre est appelé “ ” et 1729 est le plus petit taxicab-2. Faisant confiance à l’instinct de Hardy, j’espérais donc que ce soit la seule propriété remarquable de 1729, mais hélas, il y a qui est donc un nombre bien moins acratopège que celui de Zinzin.

Seule consolation, il n’y a que dont , celle des nombres dodécagonaux donnés par la formule An=n.(5n-4)

(à part que A2=12, je ne vois pas le rapport avec les dodécagones, si quelqu’un peut m’éclairer…)

La chasse est ouverte !

Quel est le plus petit nombre entier qui n’apparaît dans aucune suite de l’Encyclopédie ? et ceux qui n’y apparaissent qu’une fois ?

On peut répondre à ces questions facilement car le contenu de la base de données est et qu’un petit programme vite fait en Python peut y compter le nombre d’occurrences des nombres dans les suites en quelques secondes minutes et produire une fichier lisible sous Excel…. et voilà !

8795, 9935, 11147, 11446, 11612, 11630, … sont les premiers nombres parfaitement acratopèges : ils ne figurent dans aucune des suites de la base ! On pourrait définir une suite “Acra0” avec ces nombres définis comme n’apparaissant que dans Acra0 …
8267, 9734 sont les premiers nombres de la suite Acra1. Ce sont les seuls nombres inférieurs à 10'000 qui n’ont qu’une seule propriété répertoriée :
- est un nombre tel que la juxtaposition de tous les précédents dans la suite est un nombre premier. Autrement dit le nombre (oubliez les virgules et les espaces, considérez ce qui suit comme un seul nombre entier) : 1, 3, 7, 11, 13, 29, 37, 113, 121, 149, 151, 201, 219, 251, 451, 453, 573, 669, 689, 697, 749, 913, 969, 1157, 1269, 1503, 1531, 1809, 2087, 2163, 2179, 2511, 2537, 2599, 2709, 2789, 2929, 3243, 3989, 4033, 4151, 5019, 5389, 5423, 5599, 6179, 6433, 8267 est premier …
- me plait particulièrement : 11 ème terme de sa suite, c’est le nombre de polyminos différents de 11 carrés dont le périmètre vaut 24, qui est le périmètre maximal de ces polyminos. C’est plus clair si on parle du classique : le 5ème terme de la suite dit qu’il en existe 11 dont le périmètre vaut 12. Effectivement, seul le “P” a un périmètre de 10. Wow !
, , , … ont deux propriétés seulement. Ils définissent la suite Acra2
est le plus petit nombre avec 3 propriétés
Acra5 commence par
Acra10 commence par
est le plus petit nombre avec moins de 100 propriétés (88 )

Voilà, vous connaissez désormais les nombres les moins utiles des mathématiques !

Le temps dans les constantes universelles

Thu, 12 Jun 2008 00:00:00 +0000

En répondant à un sur , je me suis aperçu que le mètre et la seconde apparaissaient ensemble dans toutes les unités des :

Nom	Symbole	Unité
dans le vide	c	m/s
	μ0	kg·m / A2·s2
	ε0	A2·s4 /kg·m3
	Z0	kg·m2 / A2·s3
	ℎ	kg·m2/s

Albert et Max (Einstein et Planck)

Or, comme expliqué dans “ ”, la relativité d’Albert lie le temps et l’espace par la vitesse de la lumière : actuellement, est d’ailleurs basée sur , mais dans cet “espace-temps” ( ) , le temps est une dimension “imaginaire” au sens mathématique du terme :

\[s\]

= i. 300'000'000

\[m\]

, où i est l’ telle que i2=-1

En introduisant la seconde comme équivalente, à un facteur près, à des mètres imaginaires dans les unités des constantes universelles on obtient :

Nom	Symbole	Unité
dans le vide	c	-i
	μ0	-kg / A2·m
	ε0	A2·m /kg
	Z0	i. kg / A2·m
	ℎ	-i.kg·m

N’est-ce pas merveilleux ? non seulement la vitesse de la lumière devient une constante purement géométrique, mais les “constantes du vide” retrouvent leur parenté oubliée…

Le plus amusant dans ce petit jeu, c’est de voir ce que devient l’unité d’énergie, le avec cette manipulation :

1 J = 1 kg·m2/s2 ≈ -1 kg

L’énergie, c’est une masse négative ! Ah, me direz vous, mais Albert a dit que E=m.c2, donc que (beaucoup) d’énergie était équivalent à (un peu) de masse ! Oui, mais c est proportionnel au nombre imaginaire i, donc c2 ≈ i2 = -1, donc c’est bien ça : l’énergie correspond à de la masse négative.

Pour demain, démontrez que : E+m = 0, donc qu’avec un peu d’imagination, la somme de tout ce qui existe pourrait être rigoureusement nulle ;-)

Références:

“ ” sur Wikipedia
“ ” sur Wikipedia

Un si beau canular ...

Sun, 08 Jun 2008 00:00:00 +0000

Sur ce blog il n’y a de place que pour la vérité vraie et vérifiable, agrémentée parfois d’un peu de sel subjectif pour en augmenter la saveur. Donc je le dis tout net : voici un vrai canular, mais un magnifique canular, si beau qu’on aimerait vraiment qu’il soit vrai.

Sur “ ”, Ray Girvan raconte l’histoire ( ) d’ (Aix-la-Chapelle), moine vivant entre 1200 et 1270 et passionné de mathématiques qui enlumina l’un de ses manuscrits avec l’image de la Nativié ci-contre.

Votre oeil aguerri aura repéré instantanément la forme étrange de l’Etoile du Berger, dont voici un agrandissement :

Mais, oui, c’est bien le fameux ! Udo l’aurait calculé à la main pendant des années, 700 ans avant que sa découverte par Benoit ne le propulse au rang d’objet mathématique le plus célèbre après le nombre pi, le plus calculé par les ordinateurs du monde entier, et le plus inutile aussi.

(l’ensemble de Mandelbrot “moderne”)

Il faut reconnaitre que Ray Girvan, s’il existe, a fait un excellent travail en liant un certain nombre de faits réels par une fiction qu’il amène progressivement au spectaculaire, citant au passage moultes références bibliographiques que personne n’ira vérifier.

On trouve des choses magnifiques sur internet, des choses auxquelles on veut croire, écrites par des inconnus célèbres à qui on fait confiance d’instinct. Mais parfois, il faut les vérifier quand même…

Références:

“ ”, l’article qui m’a fait tomber de ma chaise ;-)
Ray Girvan, “ ”, le canular initial
John Allen Paulos, “ ”, 1er avril 1999, ABC News
“ ” sur Unapologetic Mathematician, analyse la très bonne fabrication de ce canular
Wikipedia sur “ ” en anglais

Sommes Egales de Nombres Premiers Consécutifs

Tue, 03 Jun 2008 00:00:00 +0000

Le quatrième et dernier problème de la mérite un article à lui tout seul. (J’ai parlé des trois autres dans )

Il s’agit de trouver le plus petit P qui soit en même temps :

la somme de 9 nombres premiers consécutifs
la somme de 119 nombres premiers consécutifs
la somme de 215 nombres premiers consécutifs
et la somme de 675 nombres premiers consécutifs !

(les nombres 9, 119, 215 et 675 sont différents pour chaque concurrent…)

C’est étonnant, mais beaucoup de nombres premiers sont des sommes de nombres premiers consécutifs (abrégé SNPC ci après), par exemple :

5+7+11+13+17 = 53 7+11+13+17+19 =67 11+13+17+19+23 =83

De plus, il est fréquent qu’un même nombre premier soit égal à plusieurs SNPC. Par exemple sur on mentionne:

34421 = 269 + … + 709 (71 nombres premiers) 34421 = 1429 + … + 1571 (23 nombres premiers) 34421 = 3793 + … + 3853 (9 nombres premiers) 34421 = 4889 + … + 4937 (7 nombres premiers) 34421 = 11467 + … + 11483 (3 nombres premiers)

Le nombre P recherché n’est donc peut-être pas très grand, d’autant que la somme des 675 premiers nombres premiers ne vaut que 1'578'242. Il n’y a probablement pas besoin de calculer en “bigint”, les entiers sur 32 bits, voire 64 disponibles avec n’importe quel langage de programmation devraient suffire. Par contre, il est pratique de disposer de fonctions prédéfinies pour manipuler des nombres premiers, c’est pourquoi j’ai choisi d’utiliser .

Les fonctions suivantes suffisent pour résoudre le problème posé: (code modifié le 4/6/8 suite aux commentaires de b0z0)

\[gist id="0e35207dedf4e337c937"\]

La fonction SCP (Sum of Consecutive Primes) renvoie la somme des n nombres premiers consécutifs en commençant par le i-ème nombre premier en utilisant la fonction prédéfinie Prime

\[j\]

qui renvoie directement le j-ème nombre premier.

Cette somme n’étant pas forcément un nombre premier, la fonction PSP (Prime Sum of Primes) appelle répétitivement SCP en augmentant i jusqu’à ce que la somme soit un nombre premier, vérifié grâce au test de primalité , une fonction non triviale bien utile ici. Pour une raison expliquée plus bas, PSP renvoie une paire de résultats : la somme, et l’indice du premier nombre premier de la somme.

Enfin, la fonction CPSP (Compound Prime Sum of Primes) implante l’algorithme que j’ai inventé pour la circonstance. Elle prend en paramêtre la liste des nombres de nombres premiers consécutifs sommés. Pour résoudre notre problème, on appellera CPSP

\[{675, 215, 119, 9}\]

on initialise une liste p avec les n résultats de PSP obtenus pour chacun des nombres de nombres premiers consécutifs à additioner. Ainsi, pour CPSP \[{675, 215, 119, 9}\], p est initialisé à {{1583291,2},{149993,15},{41641,10},{127,2}}. Autrement dit, 1583291 est le plus petit nombre premier qui soit la somme de 675 nombres premiers consécutifs, et cette somme commence avec le 2ème nombre premier. 149993 est le plus petit nombre premier qui soit la somme de 215 nombres premiers, en commençant par le 15ème, et ainsi de suite
par paresse (qualité indispensable chez les programmeurs…) , la détection de la fin de l’algorithme est réduite au minimum vital : dès que la liste p n’est plus modifiée par l’algorithme, on arrête
Pour chaque élément de la liste p en commençant par le deuxième, on regarde si la somme est inférieure à la somme du premier indice. Si c’est le cas, on calcule une somme supérieure en incrémentant l’indice correspondant, jusqu’à ce que la somme soit égale à la première, ou la dépasse. Après cette étape, la liste p devient {{1583291,10},{1600981,840},{1589563,1526},{1584829,15997}} : on voit que les sommes 2,3 et 4 ont dépassé la somme 1
Si la somme 1 est plus petite que la somme 2, on augmente la somme 1 jusqu’à ce que’elle atteigne ou dépasse la somme 2. On arrive ainsi à {{1623917,10},{1600981,840},{1589563,1526},{1584829,15997}}. On boucle au point 2

Les trois dernières boucles donnent les listes suivantes qui montrent bien le fonctionnement de l’algorithme:

{{8256361,1127},{8112103,3883},{8115539,6728},{8112787,71376}} {{8275409,1130},{8259353,3947},{8264171,6833},{8256383,72536}} {{8275409,1130},{8275409,3954},{8275409,6841},{8275409,72696}}

et voilà : 8'275'409 est égale à la somme des:

675 nombres premiers consécutifs à partir du 1130-ème (9109)
215 nombres premiers consécutifs à partir du 3954-ème (37339)
119 nombres premiers consécutifs à partir du 6841-ème (68821)
9 nombres premiers consécutifs à partir du 72696-ème (919421)

Quelques minutes pour choisir le bon outil (Mathematica) + quelques minutes de programmation + 30 secondes de calcul, c’est gagné !

Recrutement et Casse-Tête

Sat, 17 May 2008 00:00:00 +0000

Si vous souhaitez travailler chez Google ou facebook, voici un petit tuyau : cultivez l’art de résoudre des casse-tête, et montrez vos talents sur internet.

, on testera votre raisonnement logique dès les premières minutes du premier interview téléphonique, puis on vous cuisinera sur de nombreux autres problèmes plus mathématico-informatiques lors des interviews suivants. En parallèle, vous recevrez un e-mail qui vous incitera à participer aux , un site extraordinaire sponsorisé par de nombreuses entreprises qui recherchent à la fois des solutions originales à des problèmes très pointus et des développeurs de haut niveau. Un très bon endroit pour se faire remarquer (pas seulement par Google) si vous êtes un mordu d’algorithmes. Dommage qu’on doive s’engager à ne pas parler des problèmes à l’extérieur du site TopCoder, parce qu’ils sont très jolis.

Google lance aussi des “chasses au trésor” sur internet. Là je viens de commencer à participer à , qui commence très fort: si le robot ci-dessous ne peut aller que vers la droite ou vers le bas, combien y’a-t-il de chemins distincts qui le mènent au but ?

Vous avez trouvé ? En comptant à la main ? Bien. Mais en fait, pour la chasse au trésor, il faut répondre pour un damier de 56x32 cases (le nombre change pour chaque participant) … Dans ce cas, la réponse est 232059241971866600926656, ce qui suppose de et de disposer d’une bonne calculatrice …

Si c’est facebook qui vous tente, il faut visiter , chosir un des jolis problèmes qui s’y trouvent, le résoudre avec un programme en C++, Java, JavaScript, OCaml/SML, Perl, PHP ou Python, ce qui montre bien que les langages de programmation n’ont que peu d’importance pour ceux qui savent ce qu’est un algorithme, et que toutes ces jolis sites web ne sont que du vernis. Ensuite, il faut envoyer la réponse à { (0xFACEB00C » 2) en décimal } @ facebook.com. .

Jeux math'

Tue, 08 Apr 2008 00:00:00 +0000

(cliquer pour le sommaire)

le de ce mois regorge d’articles passionnants, dont plusieurs sur des sujets abordés précédemment sur Dr. Goulu.

Alexandre Dewdney réédite un ancien article qui présente des “calculateurs analogiques” théoriquement capables de surclasser les plus puissants ordinateurs sur des problèmes spécifiques. Par exemple, les meilleurs algorithmes sont capables de trier N données en un temps proportionnel à N.log(N), log(N) étant le logarithme base 2 de N. Ainsi, pour trier 1000 nombres, il faut faire environ 10'000 comparaisons, alors qu’en utilisant 1000 spaghettis comme indiqué 2x1000+1 opérations suffisent, soit un temps proportionnel à N.

L’article présente d’autres “machines” toutes simples permettant de résoudre simplement des problèmes connus pour être difficiles à résoudre par informatique, comme trouver le chemin le plus court entre deux noeuds d’un graphe avec des ficelles, ou utiliser des films de savon pour déterminer le réseau de routes le plus court reliant N points.

Dans un autre article, Michel Criton parle des problèmes de pesées et ça m’a fait très plaisir d’apprendre que pour résoudre ce type de casse-têtes est la bonne, même si elle n’est pas vraiment nouvelle.

Il y a encore d’autres articles sur des sujets comme la cryptographie, les carrés magiques, les nombres taxicabs (1729 est mon nombre préféré), la stratégie dans les jeux, les labyrinthes, la découpe de formes, l’origami et une douzaines d’autres choses dont je vous parlerai ici dès que j’ai le temps.

Mais vous pouvez aussi acheter le journal, c’est du tout bon.

Quelles sont les chances ...

Sun, 09 Mar 2008 00:00:00 +0000

Quelles sont les chances que vous buviez de l’eau déjà bue à un moment précis par une personne précise, disons dans le premier café pris par le Président Abraham Lincoln après son élection ?

C’est le genre de question abordée dans l’excellente émission du que je regarde grâce à la .

Alors, quelles sont les chances ? aucune ? 1% ? plus ?

Pour y répondre, il faut savoir 2 choses et en supposer une (je vous aide) :

soit 1.4 . 1021 litres
une mole d’eau contient le de molécules d’eau. Une mole d’eau c’est 18g, et le nombre d’Avogadro = 6 . 1023, donc il y a environ 3.3 . 1025 molécules H2O dans 1 litre d’eau
hypothèse : Il faut supposer que l’eau ait bien le temps de se brasser entre les deux événements, c’est pourquoi on choisit l’eau du café de Lincoln, il y a un siècle, et pas celle d’Eva Longoria à sa séance de gym la semaine passée.

Alors, quelles sont les chances ? Et bien en faisant simplement la division du nombre de molécules dans un litre par celle du nombre de litres d’eau sur la terre, on trouve combien de molécules tirées d’un litre bu par Lincoln (ou Einstein, ou Jésus) dans un litre d’eau tiré au robinet chez vous : 3.3 . 1025 / 1.4 . 1021 = 20'000. Dans un déci de café : 2000. Bien sur c’est une moyenne, il n’y en a peut-être “que” 100, mais la probabilité qu’il n’y en ait aucune est si faible qu’on peut la considérer comme nulle.

Il est donc absolument certain que chaque fois que vous buvez un verre d’eau, vous ingérez des milliers de molécules d’eau bues en de grandes occasions par des gens célèbres, car le nombre de molécules dans un verre d’eau est incroyablement grand. Voilà le raisonnement en vidéo et en anglais :

Quelques petites remarques additionnelles:

20000 molécules dans un litre, donc sur 3.3 . 1025 molécules, ça fait 0.6 . 10-21 , donc 0.6 millièmes de milliardième de milliardième, ou encore 0.6 millièmes de ppm de ppm de ppm ( ). Les instruments les plus sensibles sont capables de détecter des substances diluées à une fraction de ppm, mais en aucun cas des quantités si faibles.
Donc quand on vous dit que votre eau contient des “traces” de polluants, ça signifie que vous n’en absorbez que quelques milliards de molécules à chaque gorgée. En fait il est impossible d’obtenir de l’eau hyper pure car c’est un excellent solvant : le simple fait de la mettre dans un verre hyper propre arrache des molécules de la paroi de verre et les dilue.
Seul l’ considère que des dilutions si élevées ont encore un effet : un café de Lincoln est dilué dans votre eau à environ 10 CH “seulement” selon leur système de notation. Donc quand vous prenez un “médicament” homéopathique à 10 CH, il contient moins de molécules actives que d’eau bue par Jésus Christ en personne. Reste à savoir ce qui vous soigne le plus ;-)

Trafic, Vitesse et Débit

Fri, 18 Jan 2008 00:00:00 +0000

Dans “ Thierry Fisher propose de résoudre le problème de la surcharge de trafic entre ces deux centres urbains en réduisant la vitesse sur toute la longueur de l’autoroute.

J’ai posté un commentaire (en deux partie) directement à la suite, mais à la réflexion, l’article de Thierry Fisher contient d’énormes contradictions qui n’apparaissent pas de prime abord, grâce à son talent journalistique. Voici mes commentaires, re-structurés d’après les vérités assénées :

100 kilomètres à l’heure: tout simplement pour aller plus vite!

Dans le trafic comme en société, il faut distinguer l’intérêt individuel (= aller le plus vite possible à la destination) de l’intérêt collectif (=assurer un débit de véhicules maximum, et la sécurité). Les deux ne coïncident pas, comme on le verra plus bas. En réduisant la vitesse maximum, on n’ira pas plus vite.

la solution pourtant existe. Les spécialistes sont unanimes et le répètent depuis des lustres: la circulation routière obéit aux lois de la mécanique des fluides. Un flux homogène s’écoule mieux qu’un flux irrégulier. Quand il y a trop de voitures, il faut donc baisser le débit. CQFD!

Ici, Thierry Fisher mélange allègrement les notions de vitesse et de débit, en ignorant la relation entre les deux (expliquée . Quand il dit qu’un flux homogène s’écoule “mieux” qu’un flux irrégulier, “mieux=débit” en mécanique des fluides, pas “vitesse”. En réduisant la vitesse, le trafic se fluidifie en effet, mais ceci AUGMENTE LE DEBIT ! Le débit maximum sur une autoroute est atteint lorsque le trafic s’écoule à 60 km/h ( ) Le “CQFD” est donc complètement à côté de la plaque!

Une arrivée plus lente du nombre de véhicules en agglomération permettrait aux villes romandes de mieux digérer leur trafic.

Là, l’auteur met le doigt sur le réel problème : les ralentissements les plus importants ont lieu aux extrémités des autoroutes, ce qui indique que le problème vient de la capacité d’absorption du trafic autoroutier par les agglomérations. Or en réduisant la vitesse sur l’autoroute, donc en augmentant le débit, on accroit ce problème au lieu de le résoudre !

Pi-Search

Thu, 17 Jan 2008 00:00:00 +0000

Un nouveau moteur de recherche particulièrement inutile mais génialement merveilleux fait fureur sur internet :

Il cherche une séquence de décimales dans les 200'000'000 premières décimales de pi . Par exemple, avec ma date de naissance ça donne :

Ceux qui savent ce qu’est un algorithme (et que ça ne s’écrit pas avec Y …), remarqueront que trouver une séquence dans 200 millions de caractères en 1.5 millisecondes (sur un Pentium 4!) demande un peu de subtilité. Dave Andersen explique .

Voir aussi:

Bugman blogifié

Sat, 12 Jan 2008 00:00:00 +0000

Depuis longtemps je suis un fan du , un incroyable ramassis de choses épatantes sur des sujets comme la physique, les maths, les fractales et les papillons, le tout illustré par de magnifiques images et animations faites avec et principalement.

Le seul problème est que ce site était devenu affreusement lourd, à la fois graphiquement et par la taille des énormes pages sur lesquelles on frisait l’indigestion à la première visite et on ne retrouvait plus rien à la seconde…

Je me suis donc mis à “forcer la main” de Paul en lui créant un qui lui a beaucoup plu, et sur lequel je vais l’aider à migrer tout son passionnant contenu.

Abonnez-vous à pour suivre toutes les choses merveilleuses qui vont être (re) publiées sur le blog deBugman, vous ne le regretterez pas !

Quelques exemples accessibles via les jolis gif animés ci dessous :

Lecteur de pensée

Wed, 12 Dec 2007 00:00:00 +0000

, je vais expliquer à Yves comment marche le truc du . C’est pas pour retourner le couteau dans la plaie, mais un minimum de maths, ça aide, dans la vie. Il m’a fallu 10 secondes pour deviner à l’avance que le symbole qui allait apparaître en cliquant sur le carré serait le Ø quelque soit le nombre que j’avais choisi.

La raison c’est que 10.x + y -x - y = 9x

Autrement dit, quand vous choisissez un nombre entre 01 et 99 et que vous appelez x les dizaines et y les unités, votre nombre est “xy” est égal à 10.x + y. En enlevant les dizaines et les unités, les unités ne jouent plus aucun rôle et le nombre que vous obtenez est un multiple de 9 inférieur à 90. Et en examinant la table on voit que tous les multiples de 9 inférieurs à 90 correspondent au même symbole, le “Ø” quand j’ai essayé.

La Recherche en Simulation Physique

Mon, 10 Dec 2007 00:00:00 +0000

est chercheur et professeur à Stanford et regorge de vidéos extraordinaires sur ses sujets de recherche en simulation physique et 3D, qui donnent une petite idée de ce qui sera possible de faire en temps réel dans quelques années (ou mois).

Une de ses spécialités est l’interaction de solides, de fluides et de gaz, comme par exemple dans sa “réaction chimique” :

Il y a également plusieurs exemples spectaculaires de , comme le phare :

Une impressionnante liste de publications au format .pdf ou .ps est disponible au bas de la page pour tous les détails mathématiques …

La bonne manière de calculer des trucs

Thu, 11 Oct 2007 00:00:00 +0000

est une page pour informaticiens dans mon genre : elle contient des petits “snippets” de code utile pour contourner certains pièges tendus par les maths et la géométrie.

Par exemple, si on veut calculer sin(x)/x, il faut faire attention à ce qui se passe pour x=0, sinon on obtiendra une erreur de “division by zero” au lieu du résultat attendu, qui est 1. Un bon programmeur prévoira le coup en écrivant (en C++) :

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (x == 0.) return 1. else return sin(x)/x;

\[/sourcecode\]

mais ce n’est peut-être pas suffisant. Si x est très petit, la division de deux nombres très petits approximés par nos chers ordinateurs a des chances d’être assez fausse. Pour des raisons expliquées en détail sur la page, il faut s’assurer en fait que x2 est encore un nombre numériquement assez grand par rapport à 1, donc un très bon programmeur écrira ceci :

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (1. + x*x == 1.) return 1. else return sin(x)/x;

\[/sourcecode\]

ce qui parait mathématiquement absurde puisqu’on imagine pas que 1+x2 puisse valoir 1 pour x≠0. Mais informatiquement, c’est très possible.

L’article donne ainsi une série de recettes pour calculer des expressions dangereuses, par exemple :

1-cos(x) → 2*sin(x/2)2
acos(1-x) → 2*asin(sqrt(x/2))
et bien d’autres

Mais les recettes les plus intéressantes (en tout cas pour moi) concernent la géométrie.

Pour calculer l’angle entre 2 vecteurs u et v, l’ “approche pachyderme” comme disait Burgi consiste à évaluer acos(dot(u,v)), dot étant la fonction renvoyant le produit scalaire des 2 vecteurs. mais si u ou v ne sont pas parfaitement normalisés et que dot renvoie un résultat un pouillème plus grand que 1 : crash.

une deuxième approche est: 2*atan2(abs(u-v),abs(u+v)). Pas mal mais couteux en temps de calcul. La meilleure implémentation est

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (dot(u,v) < 0.) return M_PI - 2*asin(abs(-v-u)/2) else return 2*asin(abs(v,u)/2);

\[/sourcecode\]

La partie vraiment intéressante concerne l’ . (Comme c’est assez spécifique à la 3D, je publie aussi ce qui suit )

L’orientation d’un corps dans l’espace à 3 dimension est défini par 3 angles tout comme la position d’un objet posé sur une sphère est définie par les 2 angles de latitude et de longitude, plus un angle définissant l’orientation de l’objet

Le problème consistant à faire tourner “en douceur” un objet dans l’espace pour l’amener dans une orientation déterminée est appelé “interpolation sphérique linéaire” parce qu’il est équivalent à celui consistant à se déplacer “en douceur” sur une sphère pour atteindre une position et une orientation donnée. Le problème n’est pas trivial pour 2 raisons:

comme les angles sont définis “modulo 360°”, il faut que l’interpolation en tienne compte : si on va par exemple de la longitude -179° à la longitude +179°, il faut faire 2° dans le sens négatif et pas 358° dans le sens positif.
quelle que soit la manière dont on définit les 3 angles, il existe des “singularités” aux point analogues aux pôles : à la lattitude 90°, la longitude n’a plus d’importance mais si on passe par le pôle, il faut “se rappeler” de notre dernière longitude pour pouvoir continuer “tout droit” dans la longitude augmentée de 180° (modulo 360°), et simultanément éviter qu’une mauvaise description de l’angle d’orientation nous fasse faire brusquement un demi-tout sur nous mêmes en passant par le pôle pour conserver un angle par rapport au nord …

“ ” décrit la fonction “slerp” qui définit l’interpolation sphérique linéaire entre 2 vecteurs unitaires v0, v1 ainsi:

sin((1-t)*a) sin(t*a) slerp(v0,v1,t) = ______________*v0 + __________*v1 sin(a) sin(a)

où a est l’angle entre v0 et v1 calculé comme indiqué plus haut. Mais il est clair que pour des angles tels que sin(a) est nul ou très petit, des problèmes numériques vont survenir. En travaillant un peu la fonction slerp peut s’écrire:

sin_over_x((1-t)*a) sin_over_x(t*a) slerp(v0,v1,t) = ____________________*(1-t)*v0 + ________________*t*v1 sin_over_x(a) sin_over_x(a)

où sin_over_x est la fonction sin(x)/x calculée de façon robuste, toujours comme indiqué plus haut

Reste à traiter le cas ou a est proche de 180°, ce qui revient à retourner un objet, ou à aller aux antipodes du point où on se trouve sur le globe. Il y a alors une infinité de trajets possibles, et il faut bien en choisir un plutôt que de laisser l’ordinateur se planter…

Références:

Ken Shoemake, Animating rotation with quaternion curves, SIGGraph ‘85 proceeding

L’ainée est blonde

Wed, 20 Jun 2007 00:00:00 +0000

Un superbe problème mathématico logique que j’ai bien envie d’élever au rang de “mon préféré” à la place du “ ” :

Un facteur fait la causette à un prof de maths : “Au fait, quels âges ont vos filles ?”
“Le produit de leurs âges fait 36, et leur somme est le numéro de la maison d’en face.” répond le papa taquin.
Le facteur réfléchit, puis dit “vous n’oubliez pas quelque chose ?”
Ah si, dit le prof_, vous avez raison j’ai oublié de préciser que l’ainée est blonde._
C’est bon, dit le facteur, je sais leurs âges alors!

Quels âges ont les 3 filles ?

Je précise que ce n’est pas un gag : le fait de savoir que l’ainée est blonde est effectivement utile à la résolution du problème !

Vous pouvez trouver la solution bêtement en la cherchant sur internet, il y a des dizaines de sites qui parlent de ce problème.

Ou vous pouvez attaquer tranquillement la résolution du problème étape par étape. Ce n’est pas difficile, il suffit d’être systématique:

chercher les combinaisons de 3 âges possibles dont le produit fasse 36
écrire les sommes correspondantes
vous demander pourquoi le facteur pense qu’il manque une indication
réfléchir en quoi “l’ainée est blonde” lève son doute.

A vos cerveaux!

Le vote par assentiment

Wed, 09 May 2007 00:00:00 +0000

C’est la période des élections en France et bientôt en Suisse, et l’année prochaine les Etatzuniens remplaceront ce cher Bush. (cher comme les déficits qu’il était censé réduire).

Je ne vous dirai pas ici pour qui voter, mais je vais vous révéler l’importance décisive d’un élément qui se superpose aux idées, aux partis et aux candidats : le , et faire de la pub pour un système de vote simple, juste et cependant utilisé (presque) nulle part : le “vote par assentiment”.

Pour reprendre les exemples ci-dessus,

beaucoup d’élections communales en Suisse se font par aussi appelé “vote de liste à la proportionnelle” : chaque électeur donne une voix au parti dont il utilise le bulletin, plus une voix à chaque candidat de la liste, avec la possibilité d’en tracer ou d’en ajouter d’autre partis. Ensuite on procède en deux phases :
- on attribue à chaque parti un nombre “n” de sièges proportionnel au nombre de listes qu’il a recueilli
- les “n” candidats du parti ayant reçu le plus de voix sont élus.Ce système a l’avantage de permettre à de petites formations minoritaires d’être représentées, mais il est de ce fait “injuste” puisqu’un membre d’une petite formation peut être élue avec un nombre de voix inférieur au score d’un candidat de grand parti qui serait le n+1ème de son parti.
L’élection présidentielle française se fait au : les électeurs votent pour une seule personne parmi tous les candidats, et si aucun candidat n’obtient 50% des voix, on organise un second vote pour départager les 2 candidats ayant obtenu le plus de voix. A priori on est sur d’avoir un(e) Président(e) choisi(e) par la majorité des électeurs, mais comme on l’a vu il y a 5 ans, la présence de petits candidats peut complètement changer la situation au deuxième tour.
L’élection du président des USA ne se fait pas au comme on pourrait le penser, mais à un système (unique?) d’ qui revient en fait à un double scrutin majoritaire:
1. Chaque Etat se voit attribuer un certain nombre de “Grands Electeurs”, plus ou moins proportionnel à sa population.
2. Chaque Etat donne alors toutes ses voix de “Grands Electeurs” au candidat ayant obtenu le plus grand nombre de voix dans cet Etat
3. le candidat ayant obtenu le plus de voix de “Grands Electeurs” est élu
Le président est donc élu à la majorité de la majorité, ce qui fait que:
- ce n’est pas forcément le candidat ayant obtenu le plus de voix de citoyens qui gagne (Bush a reçu moins de voix qu’ Al Gore en 2000)
- encore plus que dans le système français, il n’est pas possible à un 3ème candidat d’émerger : il faudrait qu’il soit majoritaire dans plusieurs états pour être pris au sérieux.
- la campagne se concentre sur les états susceptibles de changer de majorité, donc où les sondages sont très serrés. Il est inutile de perdre du temps dans les Etats qui sont acquis à un ou l’autre parti.
- de ce fait, le découpage des circonscriptions électorales est très important : avec le même vote des citoyens, on obtient des résultats différents en fonction des limites des états…

Depuis longtemps les mathématiciens cherchent un système électoral qui soit simple et juste. Le est si mathématiquement juste qu’il est utilisé justement pour l’élection des comités de mathématiciens, et si simple qu’il pourrait être utilisé facilement dans toutes les démocraties.

Le principe est que l’électeur coche sur une liste tous les candidats dont il approuverait l’élection. On a le droit de choisir autant de candidats qu’on veut, quel que soit le nombre de sièges à pourvoir. Sont élus les N candidats recevant le plus d’approbations. N peut valoir 1 pour une présidentielle, 20 pour un Conseil Communal ou 200 pour un Parlement, ça ne change rien : on est sur que les personnes les mieux acceptées par la population sont élues !

Trop simple, trop efficace, ne prenant pas en compte la notion historique mais de plus en plus dépassée de partis, ce système de vote presque parfait n’est utilisé nulle part encore…

Multiplication graphique

Wed, 18 Apr 2007 00:00:00 +0000

J’avais déjà vu cette vidéo qui montre une drôle de manière de multiplier deux nombres, mais Yves m’a demandé si “c’est un gag, ou il y a une once de vérité dans la méthode ?”, alors je l’ai regardée encore une fois :

En fait c’est tout bêtement une multiplication en colonne déguisée :

Dans le premier exemple 21 x 13, les intersections de gauche représentent le produit des dizaines (2x1), celles de droite le produit des unités (1x3) et celles du milieu les 2 produits dizaines x unités (1x3 + 1x1 ). On retrouve directement le principe de la multiplication à la main, d’autant qu’il n’y a pas de retenues:

 2 1
x 1 3
--------
2 1
+ 6 3
--------
2 7 3

De même dans le second exemple 123 x 321 :

 1 2 3
 x 3 2 1
 ----------
3 6 9
+ 2 4 6
+ 1 2 3
-------------
3 8 14 8 3

qui sont les nombres d’intersections de chaque colonne du graphique. Reste à gérer les retenues, facile dans ce cas où il n’y a qu’un 1 à reporter à un endroit.

Au début j’ai pensé que la méthode est limitée aux petits chiffres comme 1,2,3 dont les produits sont inférieur à 10, mais il n’y a aucune raison : on peut très bien multiplier 978 par 689 ainsi. La connaissance du livret évite même de compter les points un à un… Il faut juste être prudent avec les 0, en les traçant quand même pour éviter les bulles, par exemple comme un trait pointillé dont toutes les intersections sont omises …

les problèmes mathématiques difficiles

Sat, 14 Apr 2007 00:00:00 +0000

Le dossier sur “ ” dans le journal “ ” d’avril 2007 indique 7, pardon plus que 6 manières de devenir millionnaire en résolvant des problèmes de maths.

Pour commencer, l’article présente un intéressant “arbre de la complexité” des problèmes mathématiques qui ressemble à çà:

problèmes ouverts (n’ayant pas encore de réponse)
- non formulé : n’ayant pas d’énoncé précis en termes mathématiques. Exemple : justifier les (voir plus bas)
- conjectures : problèmes formulés non résolus.
  - indécidables : problèmes dont on a démontré qu’ils sont indémontrables. Exemple : le , qui propose de démontrer la cohérence de l’arithmétique, donc que ses axiomes ne sont pas contradictoire. Gödel a montré en 1931 que ce n’était pas possible sans sortir de l’arithmétique en ajoutant des axiomes.
  - décidables : problèmes pour lesquels on sait qu’il existe une solution, positive ou négative
    - preuve (négative) avec contre-exemple. Le postule qu’étant donné deux polyèdres de même volume, il est toujours possible de découper l’un d’eux en polyèdres et de former l’autre en les réassemblant. Max Dehn montra qu’il est impossible de passer du tétraèdre au cube.
    - Théorèmes:
      - autres théorèmes (que ceux dits “d’existence”, ci-dessous). Exemples : le , démontré par Wiles en 1993, et la , qui vient d’être démontrée (voir plus bas)
      - théorèmes d’existence, postulant l’existence d’un objet mathématique ayant certaines propriétés, objet qu’il suffit de trouver…
        
        démonstration par l’absurde : on démontre que la négation du théorème aboutit à une contradiction. Exemple : en 1761 J.H. Lambert prouva la ^a, quel que soit a.
        
        méthode, ou “algorithme” : une séquence finie d’opérations permet d’obtenir une solution
        
        complexité inconnue : le (un problème qui me poursuit…)
        
        non polynomiale : l’
        
        polynomiale
        
        grand degré : le permet de savoir avec certitude si un nombre de n chiffres est ou pas en n^12 opérations, ce qui peut être beaucoup plus court que d’effectuer les divisions
        
        petit degré : tous les algorithmes “classiques”, par exemple le

de Hilbert à Clay

en 1900 David Hilbert présenta . 17 ont été résolus pendant le XXème siècle. En 2000, Landon Clay a offert 1 million de dollars pour la résolution de chacun des 7

La . a démontré cette conjecture en 2003. Après avoir refusé la en 2006, refusera-t-il aussi le million de dollars de la fondation Clay ?
La
la
l’
la qui a d’importantes conséquences en physique des particules
une meilleure compréhension des qui décrivent les écoulements turbulents de fluides, mais paraissent trop compliquées pour décrire un phénomène physique si fondamental. C’est le type même d’énoncé difficile à formuler en termes mathématiques, c’est pourquoi la fondation Clay a du définir clairement certains aspects de ce problème pour pouvoir proposer le prix.
le , un problème fondamental en informatique théorique posé en 1970 : est-il possible de résoudre un problème de la classe “NP-complet” en temps polynomial, ou est-ce impossible ?

Rêves de gros lot

Mon, 19 Feb 2007 00:00:00 +0000

Publié sur le message suivant :

J’ai une martingale qui me permet de gagner Frs 5.- chaque semaine : je ne joue pas.

Les loteries ne redistribuent qu’environ la moitié du prix des billets sous forme de gains, donc en jouant très longtemps on ne peut espérer récupérer que la moitié de ce qu’on a dépensé, à moins de décrocher le gros lot, bien sur.

Or la probabilité de gagner ce gros lot est surévaluée par la plupart des gens : à l’Euro Millions, on a une chance sur 76 millions de trouver la bonne combinaison. C’est légèrement moins probable que de gagner 5 fois de suite à la roulette en plaçant la première fois 1 Fr sur une case, puis les 36 Frs gagnés encore sur une seule case puis les Frs 1296.- gagnés la 2ème fois encore sur une seule case et ainsi de suite encore 2 fois. Quel fou jouerait ainsi ? Pourtant, avec la même chance de gain, on atteint le même gros lot pour 1 Frs au lieu de Frs 3.20 ! Tout ceci pour montrer que jouer à la loterie est totalement irrationnel.

Les gens qui ont une vague idée des probabilités jouent au casino, qui retourne par exemple 36/37èmes, soit 97% des enjeux sous forme de gains à la roulette. Reste à ne pas devenir accro au jeu au casino…

Pour ça, j’ai aussi une recette : Payez-vous un voyage à et perdez quelques centaines de dollars dans les luxueux établissements de cette ville de fous. A votre retour, tous les casinos européens vous apparaitront comme de sombres bouis-bouis dans lesquels vous n’aurez plus jamais envie d’entrer. Guéris ! (mais ne retournez pas à Vegas…)

et une réponse à “Myrtille” qu se demande si la Loterie est truquée :

Myrtille, pas besoin que la Loterie triche, elle gagne assez sans ça (voir mon autre message) Si ça t’intéresse, il existe des “tests statistiques” qui permettent de vérifier mathématiquement qu’il n’y a pas triche. J’ai trouvé ce très bon qui explique comment ça marche.

Ils expliquent aussi que la seule façon “intelligente” de jouer à la loterie est d’éviter de jouer les numéros joués fréquemment, afin de réduire la probabilité de devoir partager le gros lot.

Coïncidences numériques

Thu, 01 Feb 2007 00:00:00 +0000

Celle là est assez stupéfiante (cliquer pour l’article d’eljjdx)

Des peuvent surprendre : y’a-t-il une relation cachée entre e et pi ? est-ce qu’on ne se serait pas légèrement trompé sur une décimale de pi et que le résultat devrait donner 20 ? Mais pourquoi 20 ?

Zinzin, mon prof de maths préféré comptait ainsi : “0, 1 , e , pi , 1548, beaucoup” :

0 et 1 sont largement suffisants pour se débrouiller dans un univers digital,
1548 n’ayant aucune propriété particulière ( ), il signifiait “n’importe quel nombre”
“beaucoup” était synonyme de l’infini.
restent e et pi, 2 constantes aussi universelles qu’insaisissables par leur transcendance, frustrantes parce qu’on ne connait aucune relation entre elles.

C’est pourquoi des coïncidences numériques du type eπ - π = 20 sont attrayantes, mais assez fausses pour entretenir le mystère… D’autres relations entre e et pi sont plus facilement démontrables. Ma préférée est $e^{i\pi} +1 = 0$ , car elle fait en plus intervenir l’unité imaginaire i, dont le carré vaut -1. Spectaculaire non ? Le petit côté dommage est qu’une fois qu’on a compris , elle devient un peu moins magique : il n’y a en fait aucune relation entre e et pi là dedans.

les Nombres Premiers

Sat, 20 Jan 2007 00:00:00 +0000

A l’occasion de la découverte de la plus grande paire de nombres premiers jumeaux, et en parallèle avec la rédaction d’un articule sur le calcul distribué, j’ai partiellement ré-écrit cet article de 2005 sur les nombres premiers.

Introduction

Un nombre P est premier s’il ne se divise que par 1 ou lui-même. Il n’est donc “pas dans le livret”, autrement dit, il n’existe pas deux nombres entiers A et B plus grands que 1 tels que A x B = P.

Les premiers nombres premiers sont 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 …

Le grands nombres premiers ont une grande importance pratique en cryptographie, donc dans les dispositifs de sécurité informatique ou électronique, les systèmes de paiement etc.

Ces systèmes vitaux actuellement se basent sur des idées connues depuis des millénaires, mais qui n’ont été prouvées que récemment. Par exemple:

pour être absolument certain qu’un nombre N est premier, il faut essayer de le factoriser (trouver ses facteurs A et B, par lesquels on pourrait diviser N), ce qui implique d’essayer un grand nombre de divisions, et ça prend beaucoup de temps.
il existe des “tests de primalité” qui peuvent dire très rapidement si un nombre est “très probablement” premier ou pas, sans effectuer de factorisation : si le test dit que le nombre n’est pas premier, il n’en fournit pas les facteurs.
il n’existe pas de formule qui donnent à coup sur des nombres premiers, mais il en existe qui marchent une 40aine de fois de suite, ce qui n’est pas mal du tout:
- 103n2-3945n + 34381 est premier pour n=0,1,…,42 (R. Ruby)
- 47n2^2-1710n + 10181 est premier pour n=0,1,…,42 (G. Fung)
- 36n2^2-810n + 2753 est premier pour n=0,1,…,44 (R. Ruby)

Nombres de Mersenne et grands nombres premiers

Les “nombres de Mersenne” 2n-1 sont “assez souvent” des nombres premiers, par exemple:

22-1=3, 23-1=7, 25-1=31, 27-1=127, 213-1=8191

Comme 2^n-1 est une fonction exponentielle, on peut trouver “facilement” de très grands nombres premiers

En 1588, P. Cataldi calcul a que 217-1=131071 et 219-1 = 524 287 sont premiers, puis Euler en 1750 prouva que 231-1=147'483'647 est premier.

S’ensuivit une course au plus grand nombre premier dont on trouve un

En 1878, énonça un test de primalité très puissant, qui lui permit de prouver que 2127-1 = 170141183460469231731687303715884105727 est premier, sans effectuer les divisions

les nombres premiers suivants furent découvert dès 1952 avec des ordinateurs.

Actuellement, le plus grand nombre premier connu est 232'582'657-1. Il fait 9'808'358 décimales et à été découvert en septembre 2006 par le projet , dont je reparle dans un .

Nombres premiers jumeaux

En examinant la différence entre des nombres premiers consécutifs, on s’aperçoit qu’elle vaut plus souvent 2 que toute autre valeur. Il existe donc des nombres premiers “jumeaux” : 5-7, 11-13, 17-19 par exemple, mais on en connait de beaucoup plus grands. En fait on pense qu’il existe une infinité de telles paires. Comment les trouver ? Par exemple en cherchant “autour” des nombres de Mersenne !

Le 15 janvier 2007, des nombres premiers jumeaux de 58'711 décimales ont été , également en utilisant le . Ce sont 2'003'663'613 × 2195'000±1

Curiosités

La Spirale d’Ulam

Un matheux nommé Ulam s’ennuyait à une conférence et à commencé à écrire les nombres 1,2,3,4 etc en spirale sur du papier quadrillé, puis à noircir les cases correspondant aux nombres premiers.

A sa grande surprise il a vu apparaitre des “lignes” obliques qui correspondent à des fonctions génératrices de nombres premiers de forme a.n2+b.n + c, comme les fonctions mentionnées plus haut. (voir la )

En généralisant, on peut colorier les cases de la spirale d’Ulam avec une couleur représentant le nombre de facteurs premiers de chaque case. Mais ma représentation préférée est celle-ci, dans laquelle le nombre de facteurs définit le rayon de petites boules centrées à chaque case :

Un copain métaphysique m’a sommé de mentionner aussi la “Croix de Plichta”, mais il s’agit AMHA d’une justification un peu simpliste de la théorie ésotérique un peu planante de monsieur Plichta…

Pourquoi simpliste :

2 et 3 sont des premiers par définition. Pourtant ils ne sont pas marqués comme tels dans la croix.
Le nombre situé sur le rayon R (de 1 à 24) au Nième tour s’écrit R+24*(N-1). Donc si R est multiple de 2 ou 3, tous les nombres sur les mêmes rayons le seront aussi et ne seront donc pas premiers. La “croix” résulte donc d’un “crible” par 2 et 3.
Les nombres sur les rayons magiques ne sont pas tous premiers, et c’est bien là le problème…

Bref, ne pas se laisser impressionner par une quelconque régularité apparente des petits nombres premiers…

Références

Jean-Paul Delahaye (2000). Merveilleux nombres premiers. Pour la Science.
articles de Jean-Paul Delahaye dans

Le nombre de la Bête

Thu, 11 Jan 2007 00:00:00 +0000

“C’est le moment d’avoir du discernement : celui qui a de l’intelligence, qu’il interprète le chiffre de la bête, car c’est un chiffre d’homme : et son chiffre est six cent soixante-six” (Apocalypse de saint Jean, chapitre 13, verset 18)

Comprenne qui pourra … Mais il est vrai que 666 est un nombre vraiment intéressant :

c’est DLCXVI en nombres romains (tous les caractères sauf le M par ordre décroissant)
c’est la somme de tous les nombres de 1 à 36 : 1 + 2 + 3 + … + 35 + 36 = 666. Et 36, c’est “trois six”…
c’est la somme des carrés des 7 premiers nombres premiers : 2x2 + 3x3 + 5x5 + 7x7 + 11x11 + 13x13 + 17x17 = 666
c’est un Nombre de Smith : la somme de ses décimales (6 + 6 + 6 = 18) est égale à la somme des décimales de sa factorisation (666=2 x 3 x 3 x 37, et 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18)

Pas mal, pour un nombre mystique !

Références : , et sur Wikipedia

Combien pèse 1 million de dollars ?

Tue, 19 Dec 2006 00:00:00 +0000

Suite à l’interception de 35 millions de dollars qu’Ismaïl Haniyeh tentait de faire rentrer à Gaza, je me suis demandé quel volume et quel poids représente une telle somme en liquide.

Sur j’ai trouvé la réponse pour 1 million de dollars en 10'000 coupures de $100 :

ça fait une pile de 1.24 m de billets
ça prend un volume de 13 litres environ
et ça pèse environ 10 kg

Donc les $35M pesaient 350 kg et occupaient environ 1/2 m3

l’Inverseur de Plouffe

Mon, 16 Oct 2006 00:00:00 +0000

l’ est un moteur de recherche sur les nombres. Par exemple, en entrant “11.26942766958”, l’inverseur vous dira instantanément que c’est la racine carrée de 127.

Il y a de nombreux liens sur le calcul des constantes mathématiques célèbres (e, pi etc..) , les nombres premieurs ainsi que sur .

En cherchant 4,8,15,16,23,42 sur ce dernier, on constate que les “Lost Numbers” n’ont hélas pas de signification mathématique pour l’instant : il va falloir regarder la série jusqu’à la fin…

Calcul d’un ressort spiral d’horlogerie

Mon, 12 Dec 2005 00:00:00 +0000

Le ressort spiral est utilisé en horlogerie pour entrainer le balancier dans un sens, puis dans l’autre le plus régulièrement possible. J’ai fait le petit raisonnement suivant suite à la demande d’un client qui me demandait de calculer un tel ressort, capable de s’enrouler sur un tour complet.

Un ressort spiral peut être calculé “à la main” assez facilement à l’aide des 2 formules suivantes:

M=E.b.e³/12.L
s=6.C/b.e²

L’équation 1 donne la raideur (en N.mm/rad) d’un spiral de section b x e et de longueur L réalisé dans un matériau d’élasticite E (MPa ou N/mm2). Elle est tirée de “ ” p 138 qui mentionne que le spiral “devrait compter de 12 à 15 tours”… Je pense que la raison en est la deuxième équation, tirée d’ et qui donne la contrainte sur le ressort de section b x e pour un couple C.

Si on fait un tour on a C = 2π*M donc après simplification: s=π.E.e/L Or comme la limite d’élasticité des aciers vaut autour de 0.003.E, on peut dire qu’on doit avoir π.e/L < 0.003 soit e/L < 0.001 environ.

Autrement dit il faut “au pif” qu’un spiral en acier ait une longueur supérieure à 1000x l’épaisseur de la lame pour qu’il puisse s’enrouler sur un tour sans dépasser la limite élastique. En fait, un spiral d’horlogerie approche de sa limite élastique plusieurs fois par seconde pendant des années, c’est donc une pièce très critique…

Référence : (1998). Théorie d'Horlogerie. Fédération des Ecoles Techniques.

Histoire du calcul de Pi

Sun, 06 Nov 2005 00:00:00 +0000

En 1609, Van Ceulen publia les 34 décimales de pi qu’il avait calculé pendant pratiquement toute sa vie. En 1996 on connaissait 6 milliards de décimales, en 2002 plus de mille milliards…

Mais le gros choc eut lieu le 19 septembre 1995 à 0h29 quand Simon Plouffe découvrit une formule qui permet de calculer n’importe quelle décimale de pi sans calculer celle qui précède ! (mais en binaire).

15000 décimales de Pi en 133 octets de C

Mon, 28 Jun 2004 00:00:00 +0000

Voici un minuscule programme en langage C de 133 caractères, c’est vraiment pas gros….

\[c\]

int a

\[52514\]

,b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main() {for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=–b*2;d/=g) d=d*b+f*(h?a

\[b\]

:f/5),a

\[b\]

=d%–g;}

\[/c\]

Si vous l’exécutez. vous allez obtenir ce résultat en quelques secondes:

31415926535897932384626433832795028841971693993751 05820974944592307816406286208998628034825342117067 98214808651328230664709384460955058223172535940812 84811174502841027019385211055596446229489549303819 64428810975665933446128475648233786783165271201909 14564856692346034861045432664821339360726024914127 37245870066063155881748815209209628292540917153643 67892590360011330530548820466521384146951941511609 43305727036575959195309218611738193261179310511854 80744623799627495673518857527248912279381830119491 29833673362440656643086021394946395224737190702179 86094370277053921717629317675238467481846766940513 20005681271452635608277857713427577896091736371787 21468440901224953430146549585371050792279689258923 54201995611212902196086403441815981362977477130996 05187072113499999983729780499510597317328160963185 95024459455346908302642522308253344685035261931188 17101000313783875288658753320838142061717766914730 35982534904287554687311595628638823537875937519577 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39077271307068691709264625484232407485503660801360 46689511840093668609546325002145852930950000907151 05823626729326453738210493872499669933942468551648 32611341461106802674466373343753407642940266829738 65220935701626384648528514903629320199199688285171 83953669134522244470804592396602817156551565666111 35982311225062890585491450971575539002439315351909 02107119457300243880176615035270862602537881797519 47806101371500448991721002220133501310601639154158 95780371177927752259787428919179155224171895853616 80594741234193398420218745649256443462392531953135 10331147639491199507285843065836193536932969928983 79149419394060857248639688369032655643642166442576 07914710869984315733749648835292769328220762947282 38153740996154559879825989109371712621828302584811 23890119682214294576675807186538065064870261338928 22994972574530332838963818439447707794022843598834 10035838542389735424395647555684095224844554139239 41000162076936368467764130178196593799715574685419 46334893748439129742391433659360410035234377706588 86778113949861647874714079326385873862473288964564 35987746676384794665040741118256583788784548581489 62961273998413442726086061872455452360643153710112 74680977870446409475828034876975894832824123929296 05829486191966709189580898332012103184303401284951 16203534280144127617285830243559830032042024512072 87253558119584014918096925339507577840006746552603 14461670508276827722235341911026341631571474061238 50425845988419907611287258059113935689601431668283 17632356732541707342081733223046298799280490851409 47903688786878949305469557030726190095020764334933 59106024545086453628935456862958531315337183868265 61786227363716975774183023986006591481616404944965 01173213138957470620884748023653710311508984279927

Oui, ce sont bien les 15’000 premières décimales de Pi !

(ajout du 3.14 (pi-day…) 2012:)

L’algorithme utilisé s’appelle “ ” et il est du à Rabinowitz and Wagon. La référence suivante explique son fonctionnement

\[altmetric doi="10.1007/978-3-319-32377-0\_16" float="right"\]Jeremy Gibbons “ ” (2006), The American Mathematical Monthly 4 (113) p. 318-328 DOI>

x/heure	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)	(a)
2	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)	(b)
3	(g)	(e)	(d)	(c)	(m)	(h)	(m)	(m)	\(\sqrt{9}+9-9\)
4	(i)	(l)	(e)	(d)	(c)	\(\sqrt{66}\overline{.6}\)	(j)	\(8-\sqrt{8+8}\)	\(\sqrt{9}+9/9\)
5	\(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\)	(i)	\(3!-3/3\)	(e)	(d)	(c)		(j)	\(\sqrt{9}!-9/9\)
6	\((1+1+1)!\)	(g)	\(3!+3-3\)	\((4-4/4)!\)	(e)	(d)	(c)	\(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\)	(j)
7	(h)	\(3!+3/3\)	\((4!+4)/4\)		(e)	(d)	(c)	\(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\)
8	(h)	\(222\)	\((3!/3)^3\)	\(4!-4*4\)	(i)	\((6+6)*\overline{.6}\)	(e)	(d)	(c)
9	(k)	(k)	(g)	(k)	(k)	(k)	(k)	(e)	(d)
10	\(11-1\)			\(4+4+\sqrt{4}\)	(l)	\(6+6*\overline{.6}\)	(i)	\(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\)	(e)
11	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)	(f)
12	\(11+1\)	\((2+2)!/2\)	\(3*3+3\)	(g)	\(5!/(5+5)\)	(l)		\(8+\sqrt{8+8}\)	\(9+9/\sqrt{9}\)