Geometrie | Dr. Goulu

Couleurs, Gamuts, Python et Open Source

Fri, 30 Sep 2016 00:00:00 +0000

Ce fut une excellente journée de travail, stimulante et productive. Tôt le matin, Cédric m’a montré les slides d’un article sur la mesure géométrique de la différence entre deux , en me demandant s’il était facile de programmer la méthode présentée

Avant d’attaquer la question et la réponse, une petite introduction sur le merveilleux monde des couleurs s’impose.

Couleurs et gamuts

En imprimerie, on mesure à l’aide d’un l’ensemble des couleurs produites par une imprimante, ne serait-ce que pour la calibrer . Mais lorsqu’on développe une imprimante industrielle, il faut en plus mesurer l’effet sur les couleurs de nombreux paramètres (qualité des substrats, composition des encres, puissance des séchoirs etc. ) afin de maximiser le “volume” des couleurs que l’imprimante est capable de reproduire.

cube des couleurs RGB (Red Green Blue)

L’ensemble des couleurs définit un volume car il faut trois paramètres pour déterminer une couleur. La représentation la plus connue est celle basée sur les rouge, vert et bleu, le “RGB”. Sur votre écran, des pixels rouges, verts et bleus peuvent être allumés avec des intensités variables, habituellement codée par un entier entre 0 et 255. La permet ainsi de vous faire percevoir 16'777'216 couleurs différentes définies par autant de points dans le cube ci-contre.

De même, on peut faire un cube “CMY” avec les couleurs produites par en déposant des encres cyan, magenta et jaune sur du papier supposé blanc.

Oui mais voilà, comme vous vous en apercevez chaque fois que vous imprimez des photos à la maison, on n’obtient pas les mêmes couleurs en RGB et en CMY. Les deux cubes ne se superposent pas bien. Intuitivement, on comprend qu’un écran ne peut pas être plus noir que quand il est éteint, et qu’on ne peut pas rendre le papier plus blanc qu’il ne l’est originellement. Le même raisonnement s’applique aux autres directions de l’espace des couleurs : certaines couleurs possibles en RGB ne peuvent pas être obtenues en impression CMY, et vice-versa. C’est d’ailleurs pour ça que les imprimantes photo ont des couleurs supplémentaires, souvent du “magenta clair” et du “cyan clair” pour mieux imprimer vos couchers de soleils. Et aussi du noir, mais c’est plutôt pour imprimer du plus joli texte et économiser de l’encre des 3 autres couleurs.

Les couleurs que l’on peut reproduire fidèlement se trouvent dans l’intersection des deux cubes, mais les axes des deux cubes ne sont pas les mêmes, alors comment faire ?

En les représentant dans un autre espace de couleurs, plus vaste, le . Dans cet espace, la coordonnée L* correspond à la et les coordonnées a* et b* à des échelles entre couleurs tenant compte de la sensibilité de l’oeil humain. En LAB, le cube CMY d’une imprimante donnée devient un patatoïde comme celui représenté ci-dessous, et le cube RGB d’un écran précis devient le volume enfermé dans le treillis. Comme on le voit, l’intersection des deux est un volume compliqué, nettement plus petit que chacun des patatoïdes.

Gamut d’une imprimante (solide) et d’un moniteur (treillis). Image : Michael J. Vrhel

Retour au Code

Bon mais alors, est-ce qu’on peut faire facilement un programme qui calcule l’intersection de deux gamuts quelconques ? Dans ces cas là la réponse standard est “ça dépend” :

si le code Matlab décrit dans l’article est disponible, c’est tout cuit. Et peut-être même gratuit si suffit.
sinon (je n’ai pas trouvé le code…), ça dépend de l’existence de librairies (Python de préférence) effectuant les opérations délicates:
- Lire les fichiers produits par le : pas de problème car ce sont des .txt avec les valeurs LAB des quelques dizaines de couleurs mesurées
- Obtenir l’ * des points : pas de problème non plus. J’avais déjà utilisé la fonction basée sur la librairie . C’est d’ailleurs la même qu’utilise la fonction Matlab . Et elle fournit même le volume du en prime!
- Par contre, je n’ai aucune idée de comment calculer l’intersection des deux polyèdres / gamuts. Ou plutôt si : je sais que si je ne trouve pas du code faisant ça vite et bien, je vais passer longtemps à le faire mal. En gros il faut calculer l’intersection de la surface en fil de fer avec la surface colorée dans l’image ci-contre, et vice-versa. L’algorithme le plus simple qui vient à l’esprit est de vérifier si chaque côté des petits triangles formant une surface intersecte un (ou deux …) triangles formant l’autre surface, puis de refaire une enveloppe convexe de tous points d’intersection. Comme tout algo simple, il y en a probablement un bien plus efficace quelque part …

En cherchant un peu, je tombe sur la solution : , un package Python capable de faire des “Boolean operations on meshes (intersection, union, difference)”. Je l’installe, je code le gros de l’application, et exactement une heure après avoir attaqué le problème, je vois le volume de mes gamuts s’afficher ! mais l’appel à la fonction calculant l’intersection crashe…

C’est la saison des châtaignes : débogage

d’abord il faut installer , un wrapper Python de . J’avais déjà rencontré cette librairie permettant de trouver rapidement les points les plus proches d’un autre en utilisant la structure d’ mais n’étais pas sur d’en avoir vraiment besoin. Un message d’erreur me dit que si… Sur une machine Windows, cette librairie ne s’installe pas “toute seule”, il faut aller la chercher sur la fabuleuse page “ ”
ensuite je découvre pourquoi la phrase “Boolean operations on meshes (intersection, union, difference)” avait une suite : “if or is installed”. En fait, trimesh appelle l’un ou l’autre de ces logiciels pour faire le vrai boulot. Connaissant l’existence des deux, mais ayant joué avec Blender il y a quelques années et me souvenant qu’il utilise Python comme langage de script, j’opte pour Blender et …
… le code tourne ! Mais me renvoie toujours un volume de l’intersection de mes gamuts nul. Ce sont les temporaires que trimesh crée qui sont encore ouverts lorsque Blender y accède. Bizarre, parce que pour effectuer des tests automatiques et que ceux-ci ne montrent aucun problème … Mais les tests tournent sur une machine (virtuelle) Linux ! Apparemment, un pingouin a le droit de lire un fichier qu’un autre pingouin a laissé ouvert, mais une fenêtre doit être refermée avant qu’elle puisse être réouverte… Je vais devoir modifier le code de trimesh pour corriger ça, et je décide de le faire bien.

L’Open Source, c’est bon pour le business

En effet, je ne sais pas si vous avez tout suivi mais je travaille dans une entreprise qui vend des machines pour gagner du pognon et payer quelques salaires en passant. Or tous les logiciels utilisés pour développer cette application relativement pointue en une seule journée sont “ ”, gratuits. La moindre des choses est, me semble-t-il, de renvoyer parfois l’ascenseur partageant les améliorations que j’apporte à ces logiciels, évidemment dans la mesure où ça ne va pas à l’encontre des intérêts de mon employeur.

J’ai donc de , modifié qui gère les fichiers temporaires et hop ! l’application fonctionne après grosso-modo 4 heures de boulot et 4 cafés. Et comme de trimesh passent toujours (sur Linux), je soumets une “ ” à l’auteur de trimesh pour lui proposer d’incorporer mes changements à la branche officielle : B.A. accomplie en une heure supplémentaire à tout casser.

Après ça il me restait encore un moment pour implanter une idée qui m’avait traversé l’esprit : compter combien de sont incluses dans chaque gamut (et donc possible d’imprimer avec notre machine), et lister celles qui n’y sont pas. Mais comme les valeurs Lab de ces couleurs sont protégées par copyright, je ne pourrai pas mettre ce code à disposition en Open Source. Des centaines de milliers de lignes de code testé et performant oui, mais une table de couleurs, non…

Note* : ce qu’il y a de bien en écrivant un article, c’est que ça met les idées en place, ou que ça instille un léger doute. En regardant les polyèdres des gamuts RGB et CMY dans LAB, on voit qu’ils ne sont pas convexes… Pour être plus précis, peut-être bien qu’il me faudrait utiliser un algo plus subtil que ConvexHull …

Références:

Deshpande, K., Green, P., & Pointer, M. R. “Metrics for comparing and analyzing two colour gamuts”, 2015, Color Research & Application, 40(5), 465–471. ( )
Arnaud Frich “Guide de la Gestion des Couleurs - ”, 2016
Barber, C.B., Dobkin, D.P., and Huhdanpaa, H.T., “The Quickhull algorithm for convex hulls,” ACM Trans. on Mathematical Software, 22(4):469-483, Dec 1996,
Vrhel, M. J., & Trussell, H. J. “ ”, 1999, IEEE Transactions on Image processing, 8(12).
Beckmann, N., & al. “ ” 1990, In Proceedings of the 1990 ACM SIGMOD international conference on Management of data - SIGMOD ’90 (Vol. 19, pp. 322–331). New York, USA: ACM Press. DOI :

De quelle couleur est l'ours ?

Tue, 08 Oct 2013 00:00:00 +0000

Parfois, un membre du lance une “chaîne” de billets sur un thème donné. Là c’est Rock ’n’ Science qui a lancé la chaîne des , déjà complétée par plusieurs de mes estimés confrères. Ayant déjà par le passé et n’osant pas répéter les horreurs circulant sur notre forum interne, ma modeste contribution cette fois-ci se résume à ce petit problème plus mignon que drôle:

Un explorateur quitte son campement et marche 20 km plein sud, puis il tourne à angle droit et marche 20 km tout droit en direction de l’est. Puis il tourne à nouveau à angle droit et marche 20 km parfaitement vers le nord. Il arrive en plein sur son campement, où il découvre un ours en train de dévorer ses provisions. De quelle couleur est l’ours ?

Le gag, pour autant qu’il y en ait un, est qu’il existe une réponse logique : blanc.

Apparemment, le trajet de l’explorateur est impossible : comme il est revenu à son point de départ, il a parcouru un triangle équilatéral, mais qui possède deux angles droits ! Or les triangles équilatéraux normaux ont 3 angles de 60°, et un triangle rectangle ne peut comporter qu’un seul angle de 90° puisqu’il est bien connu que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

un triangle équilatéral 3x rectangle (illustration GeoTortue)

Sauf que ceci est valable sur le plan de la , alors que nous vivons sur une Terre approximativement sphérique où nous devrions plutôt utiliser la dans laquelle la somme des angles d’un triangle vaut toujours plus de 180°.

De plus, les sont bien pratiques dans nos régions, où les directions nord-sud et est-ouest sont bien définies. Mais il existe deux régions au monde où les choses se compliquent : les pôles.

Ce n’est qu’à partir d’un campement situé au pôle nord que notre explorateur peut réaliser le trajet décrit, donc le seul ours qui peut s’y trouver est , dit blanc.

(paragraphe corrigé le 3.1.14 suite au commentaire de Sophie) Comme on s’en convainc en observant le dessin ci-contre, l’explorateur revient à sa base selon une direction perpendiculaire à bien différente de sa direction de départ. Tant qu’il reste près du pôle, l’angle au sommet vaut environ, mais si son périple descendait jusqu’à l’équateur, il décrirait un triangle équilatéral dont les 3 angles sont droits !

Reste un détail à régler : y’a-t-il vraiment des ours polaires au pôle nord ? Apparemment oui : on en a de latitude nord, donc à environ 200 km de l’axe de la Terre.

Bon, il n’est pas vraiment drôle cet article, alors j’en rajoute une courte:

Une logicienne rentre de congé maternité. Un collègue lui demande “ton bébé, c’est un garçon ou une fille ?” Elle : “Vrai.”

Le "triangle" qu’aurait pu parcourir l’explorateur autour du pôle Sud

Ajout du 9.10.13 : le commentaire d’Ysmi me plonge dans un émerveillement teinté de regrets, voire de honte. J’aurais du être plus prudent en écrivant qu’il n’y a que la solution du pôle Nord. En fait j’en ai cherché une preuve mathématique que je n’ai pas trouvée, car elle n’existe pas : il existe une solution au pôle Sud, trouvée il y a bien longtemps par Martin Gardner, et illustrée ci-contre.

En effet, si l’explorateur a établi son campement à environ 23,183 km du pôle sud, en descendant 20 km au sud il arrivera à 3.183 km du pôle, puis en allant tout droit vers l’est il décrira un cercle parfait de 20 km de périmètre avant de rejoindre son campement en marchant plein nord sur le chemin par lequel il est arrivé !

Il y a même une infinité de latitudes autour du pôle Sud ou ceci se produit, car si le camp de l’explorateur se trouve à 20 + 10/n.π km où n est un entier positif, il effectuera exactement n tours du pôle sud en parcourant 20 km vers l’est avant de remonter au nord à son campement.

L’ours a donc une forte probabilité d’être en réalité un manchot déguisé, bien que je doute que ces animaux s’éloignent beaucoup de la côte du continent Antarctique

Combien dure un jour

Sun, 11 Aug 2013 00:00:00 +0000

La Terre est sphérique, orbite autour du soleil en un an, et en 24 heures elle tourne sur elle-même autour d’un d’environ 23.5° par rapport à la perpendiculaire au plan de l’écliptique. Ceci produit les saisons, comme l’explique très bien ce , mais fait aussi varier la durée du jour de manière assez complexe, pour autant qu’on définisse le comme l’intervalle de temps entre un lever du soleil et son coucher suivant.

Sous nos latitudes, la durée du jour est certes plus longue en été qu’en hiver, mais dans les régions polaires, le soleil ne se couche pas pendant plusieurs semaines, voire mois. Ce long est un phénomène spectaculaire, comme on le voit dans cet qui suit le soleil pendant une semaine:

Ceci ne se produit qu’en Antarctique ou dans le en bleu sur la carte ci-dessous, où l’on voit que nous autres européens sommes très favorisés pour aller contempler le . Il nous suffit d’aller au nord de la Scandinavie, jusqu’au situé à 71° de latitude nord, accessible par route ou .

Pourtant, quand j’y étais le 3 août, le soleil faisait déjà une sieste d’environ 4 heures, juste sous l’horizon après un coucher de soleil qui a bien duré une heure. Alors, comment connaitre les dates entre lesquelles le soleil de minuit est observable, ou la latitude à laquelle il faut se rendre à une date donnée pour l’observer ?

En tenant compte de l’astronomie, mais pas des effets atmosphériques qui font qu’on voit encore le soleil même lorsqu’il est un peu en dessous de l’horizon, la formule approximative de la durée du jour est , , :

$D = -\frac{24}{\pi}.\cos^{-1}\left( \tan \lambda \tan\left( \sin^{-1}\left( \sin \alpha \sin \delta \right)\right)\right)$

où α est l’inclinaison de l’axe terrestre ( 23.5° ), λ la latitude du site et δ l’angle parcouru par la Terre sur son orbite depuis sa position à l’ , environ égal au nombre de jours depuis l’équinoxe x 360°/365

en traçant cette fonction pour différentes latitudes, on obtient ce graphique :

Durée du jour en fonction de la date à différentes latitudes

Sous nos latitudes, la durée du jour varie approximativement comme une sinusoïdale qui s’aplatit lorsqu’on se rapproche de l’équateur, où le soleil surgit perpendiculairement à l’horizon à 6h du matin et y replonge en piqué vers une nuit noire 12h plus tard.

La situation est assez spéciale aussi aux cercles polaires (±66.55°) : la durée de leur jour y varie linéairement toute l’année, avec un seul soleil de minuit au solstice d’été et une seule nuit de 48h au d’hiver.

Au delà des cercles polaires, la durée du jour varie de façon très abrupte, ce que l’on peut comprendre si l’on considère qu’aux aux solstices d’été et d’hiver, les rayons du Soleil sont tangents à la Terre sur le cercle polaire. A partir de là, une augmentation de l’angle de l’axe de la Terre par rapport aux rayons du soleil de 1° (qui survient en environ une semaine) suffit à faire plonger le soleil de 1° sous l’horizon à minuit, mais comme il ne s’élève qu’à 23° dans le ciel à midi, la “nuit” dure plus d’une heure.

Situation au solstice d’été, le 21 ou 22 juin

Le graphique permet aussi de répondre à ma question plus haut. On voit qu’au Cap Nord (λ = 70°, courbe bleu ciel), le soleil ne se couche pas depuis environ un mois avant le solstice d’été jusqu’à un mois après, soit du 21 mai au 21 juillet (la courbe bleu ciel fait un “plat” à 24h de jour entre ces deux dates). Mais le 3 août, à peine deux semaines plus tard, la courbe est déjà tombée à environ 20h de jour “seulement”.

Pour voir le soleil de minuit en août, il eût fallu* aller au , archipel mieux connu par le son île principale située non loin de 80°N. Et en y restant de fin août à fin octobre, on peut y vivre la spectaculaire plongée de la durée du jour de 24h à 0 en un peu plus d’un mois, qui précipite ces latitudes dans la , bleue avec des aurores boréales vertes… ( )

Juste penser à amener un kit fondue pour changer du saumon …

Note * : le passé antérieur conditionnel passé 2ème forme en jette moins que l’ , mais quand même ;-)

Références et liens

" " sur Wikipédia
" " sur maths au quotidien
Xavier Hubaut, “ ”
François Lagarde, “ ”

: carte du monde avec zones jour/nuit
: application didactique pour iPad
, un package Python qui permet des calculs d’éphémérides astronomiques précis.

Un peu de pédagogie grâce à Pythagore

Sat, 28 Apr 2012 00:00:00 +0000

Je donne des cours depuis longtemps, avec plus ou moins de succès. Parfois mes élèves se sont endormis, parfois ils n’ont pas osé parce que leurs patrons payaient très cher leur formation. Une fois, 300 gaillards ont quitté l’amphi à la cloche sans me lancer de tomates. Une autre fois, une très jolie fille à qui je donnais des cours d’appui en maths a préféré m’épouser… Sans ressentir de véritable vocation d’enseignant, j’aime bien “transmettre mon savoir”, alors à quoi bon la pédagogie ?

Actuellement je passe environ 10% de mon temps de travail à former des collaborateurs, et comme mon employeur dispose d’un centre de formation pour ses 270 apprentis et la formation continue de son personnel, j’ai bénéficié d’une “formation de formateur” de trois jours, une excellente introduction à la . Révélation. On a pris des baffes, mais c’était salutaire. Avis à presque tous mes anciens élèves : je ne donnerai plus de cours comme avant, promis !

En tournant autour du , un participant a mentionné la démonstration du comme exemple type du truc asséné par la et qu’on ne retient pas, parce que ce n’est pas “3U” : utile + utilisable + utilisé. Comme chaque participant devait élaborer une petite formation de 20 minutes, l’ de la mienne était tout trouvé :

“Réconciliez-vous avec Pythagore au point d’être capables de démontrer son Théorème à vos enfants avec du papier et des ciseaux.”

Pour ça j’ai pondu ce et le petit , expérimenté sur mes collègues/cobayes :

2 mins : méthode interrogative “qui se souvient du théorème de Pythagore ?”. Faire dire aux participants qu’il concerne les triangles rectangles, qu’il s’agit de la relation entre la longueur des côtés. Faire dire la relation, ou au moins qu’elle concerne les carrés. Lequel des côtés est appelé hypothénuse ? (là surprise : un participant se souvient que l’ autre s’appelle “ ”, ce que j’avais oublié, car inutile :-) )
3 mins : méthode explicative : il y a environ 2500 ans, a eu l’idée géniale que la relation entre les côtés des triangles rectangles impliquait les carrés. Dessin de la figure de l’interprétation géométrique. Comment a-t-il eu cette idée ? Personnellement je pense que c’est peut-être en découvrant le (3,4,5) et en remarquant que 3²=9, 4²= 16, 9+16=25=5². Ajout du 5.5.12 : c’est bien ça ! je viens de découvrir la des égyptiens grâce à la ! Mais l’existence des triplets comme (3,4,5) ne constitue pas une “démonstration”. Pour démontrer Pythagore, il faut montrer que la relation a²+b²=c² est vraie pour tout triangle rectangle. Une démonstration géométrique se base sur un dessin avec un triangle quelconque, mais peut être répétée quel que soit le triangle.
5 mins : méthode découverte : donner la page A du (j’avais prédécoupé les triangles pour gagner du temps). L’idée est que les participants retrouvent par eux-mêmes l’une des méthodes suivantes:
- le puzzle de animé et en video:
- le réarrangement
5 mins : si on a le temps (on ne l’a pas eu parce que le point ci-dessus prend 10 mins au lieu de 5), voir cette et la reproduire à l’aide de la page B du et de carrés a² et b² à découper :

La démonstration de Gougu, mon cousin chinois du IIIème siècle
6 mins ( 1 min par participant) : évaluation : chacun reproduit la démonstration sans aide.

Au debriefieng, le retour des participants est assez bon, ils ont apprécié mais font remarquer que je n’ai pas parlé de l’utilité du théorème de Pythagore. Et c’est vrai. J’y avais pensé mais je ne voulais pas trop digresser sur la norme euclidienne dans un espace à 3 dimensions et ses applications dans les jeux vidéo (on ne se refait pas…) lorsqu’un participant à mentionné la longueur de la rampe d’un escalier. Effectivement, c’est simple, parlant et je n’y avais pas songé…

Malgré ça j’étais assez content de moi, persuadé que toute l’assistance allait passer la soirée en famille avec mes petits triangles de papier lorsque le formateur me dit : “j’ai rien compris”. Voyant mon air catastrophé il ajoute aussitôt : “par contre j’ai réalisé un truc aujourd’hui, à 59 ans : quand on dit 3 au carré, ça correspond à la surface d’un carré de 3 par 3.” Réalisant que j’étais sorti de sa , je lui ai dit que ce qu’il avait compris était beaucoup plus important que le théorème de Pythagore, et que j’étais très content.

Et je l’étais vraiment, mais la vraie raison pour laquelle j’avais mis sur pied cette formation continuait à me turlupiner : peut-on vraiment enseigner (= transmettre des compétences ) des notions demandant un certain degré d’abstraction (comme les maths) par des méthodes très interactives ? Et même si oui, en quoi découper et bouger des petits triangles en papier serait-il plus pédagogique que tracer des symboles mathématiques sur du papier ? Ou n’est-ce qu’un problème de prérequis ? Quand on “ne sait plus qu’on sait” , la phrase qui tue “mais c’est évident, voyons” n’est pas loin…

En pensant à ça et à l’escalier, je me demande si le problème de l’apprentissage ne réside pas dans la hauteur des marches ? Pour une même pente d’apprentissage, il y a peut être des domaines (lecture, écriture, sciences humaines ?) dans lesquelles l’escalier est formée de nombreuses marches très petites, formant presque une rampe continue alors que lees maths et les sciences “dures” m’apparaissent comme de vraies marches, parfois hautes, correspondant à des notions qu’il faut intégrer, appliquer, digérer avant d’attaquer la marche suivante.

Tout ça m’a aussi donné une idée à propos des : peut-être qu’ils ne nous répondent pas parce que leur société est dirigée par des pédagogues et que leurs mathématiciens, génétiquement incapables de transmettre leur science d’une manière accessible à tous, sont relégués dans une basse caste…

Ensuite j’ai du me concentrer parce qu’un autre participant nous a appris à faire une mayonnaise et je ne voulais pas rater la mienne. Parce qu’une mayonnaise, ça se mange !

Quelques liens:

sur MediaMaths
Elisha S. Loomis (1968). The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs.. National Council of Teachers of Mathematics. (un !)

Pavages aléatoires

Mon, 03 Oct 2011 00:00:00 +0000

Il devient de plus en plus difficile de choisir un carrelage original pour sa salle de bains.

Depuis le XVème siècle, 17 types de réguliers différents sont utilisés dans les décorations de l’ . En 1891, le mathématicien russe Evgraf Fedorov démontre que le nombre de pavages réguliers distincts vaut … 17 . Et ce n’est qu’entre 1968 et 1984 qu’on parvient à classifier toutes les formes de pavés possibles en 19 catégories . Depuis, les carreleurs ne peuvent se distinguer que par des motifs et des couleurs, plus par la géométrie.

En 1974, le crée un choc : il est possible de recouvrir le plan avec des pavés de deux formes différentes arrangés selon des règles rigoureuses, mais ne générant pas de motif périodique. En 1994, Radin et Conway en proposent un autre, le “ ”. Voilà pour le XXème siècle.

En 2011, c’est John Shier, un “artiste algorithmique” qui vient d’ouvrir tout grand la porte à une infinité de nouveaux pavages. Sa méthode permettent de couvrir le plan avec des pavés de presque n’importe quelles formes, mais de surface décroissantes , . Le principe semble tout simple : on place le plus grand pavé au hasard, puis le suivant en taille au hasard dans une surface libre et ainsi de suite.

Le pavage de John Shier le plus simple

Le problème est que si on réduit la taille des pavés trop vite on ne recouvre pas tout le plan, et si on réduit trop lentement, on risque d’être “coincé” à ne pas pouvoir placer un pavé. L’astuce consiste à attribuer au i-ème pavé une surface de A0/ic. Dans ce cas, la surface totale vaut :

\[mathjax\]$$A_{total}=A_{0}\sum_{i=0}^{\infty}i^{-c}$$

On reconnait en passant la , qui converge pour c>1. Grâce à cette formule, une fois choisi un c, la formule permet de calculer la surface A0 qui garantit qu’il ne restera plus un seul espace libre après avoir placé une infinité de pavés. En pratique on obtient d’excellent remplissages avec quelques milliers de pavés, un peu de patience et un bon programme. Paul Bourke décrit tout ceci en détail sur une page agrémentée de magnifiques exemples:

Il a même étendu la méthode à la 3D :

Pour ma part, j’ai réalisé la petite application ci-dessous en (disponible aussi avec son code source) pour expérimenter un peu cet algorithme que je trouve spectaculaire:

\[processing sketch="RandomTiling"\]

En pressant sur les touches 0,1,3,4,5,6 vous pouvez changer la forme des pavés à la volée, et la touche espace relance un pavage. Contrairement à Shier et Bourke, je ne pave pas un tore mais un rectangle, en prenant garde à ce que les pavés ne soient pas “coupés” par les bords. En plus je me suis amusé à implémenter les pavés en forme d’étoiles, en prévision d’une carte de Noël. Mignon, n’est-ce pas ? Bon, il reste pas mal de noir car la détection d’intersection entre étoiles est très lente, il faudrait améliorer ça.

Géantes rouges et naines bleues

ajout du 8/10/11 : j’ai présenté hier un décrivant la conception de ce programme.

edit du 20/9/13 : l’applet utilise maintenant Processing.js : drgoulu.com n’a plus besoin de Java !

Il y a encore (ou déjà…) 2 bugs connus, si ça vous dit de vous y mettre :

le pavage bloque parfois, surtout avec les triangles ou étoiles, il faut que j’ajoute un moyen d’ajuster la constante c…
des intersections entre cercles et polygones subsistent. Normal, j’ai eu la flemme d’implanter ça.

Une autre amélioration intéressante serait de remplir l’intérieur des pavés avec d’autres pavés…

Références:

Thérèse Eveilleau ” avec animations flash
Xavier Hubaut “ ”
John Shier “ ", Hyperseeing, summer 2011 issue, pp. 131-140, published by ISAMA (International Society of the Arts, Mathematics, and Architecture).
John Shier “
Paul Bourke “ ", July 2011

Pourquoi 3 dimensions + 1 temps ?

Sun, 30 Jan 2011 00:00:00 +0000

Dans “ ", traite de la “question bête” d’un lecteur de son livre qui se demande à quoi ressemblerait l’univers si le temps avait plus d’une dimension, et plus généralement, si la vie serait imaginable dans un univers à N≠3 dimensions. Voici quelques idées qu’il y développe, additionnées des miennes sur ce sujet.

La vie dans un espace à 2 dimensions (+1 temps) a été imaginée dès 1884 dans “ ” , une allégorie purement géométrique dont a été tiré en 2007 :

Un siècle plus tard, A.K. Dewdney a traité de manière beaucoup plus “scientifique” la physique, la chimie et la biologie dans “ ” , répondant au passage à une objection de Dave Goldberg : oui, il est possible de croiser deux fils dans le Planivers, , donc de réaliser des ordinateurs en 2D, comme le montre également le “ ” qui est une machine “ ”

Un univers à N=1 dimension (+1 temps) n’est pas imaginable en physique, mais du point de vue artistique j’aime beaucoup “la Linea” de mon enfance, un dessin animé minimaliste en “1½ D” avec interventions ponctuelles d’un Créateur tridimensionnel :

A propos d’un univers à (+1 temps toujours), Dave Goldberg mentionne un fait que je n’avais pas réalisé : l’action des forces n’y diminue pas comme l’inverse du carré de la distance comme dans notre univers, mais comme l’inverse du cube de la distance. Ceci fait notamment qu’aucune planète à 4 dimensions ne peut décrire une orbite stable autour de son soleil hypersphérique. Le problème ne s’arrangeant pas en augmentant les dimensions il faut se rendre à l’évidence : un univers “fertile”, où la complexité peut se développer jusqu’à permettre des formes de vie ne peut avoir que N=3 dimensions, ou à la rigueur 2.

Plus une seule dimension de temps, toujours. Quelle que soit la “ ” on n’y coupe pas : au niveau macroscopique bien décrit par la relativité d’Albert, le , au sens mathématique des nombres complexes. Evidemment, sans temps un univers serait désespérément statique et sans intérêt.

Mais peut-on imaginer un temps à plus d’une dimension ? Mathématiquement ça ne pose pas trop de problèmes et les caractéristiques de tels univers ont été étudiées, notamment par . Son très intéressant article soulève la difficulté majeure posée par un univers à plusieurs dimensions de temps :

Si un observateur est capable d’utiliser sa conscience de soi et des capacités de traitement de l’information, les lois de la physique doivent être telles qu’il puisse faire au moins certaines prédictions. Plus précisément, au sein du cadre d’une théorie des champs, en mesurant diverses valeurs de champ à proximité, il faut qu’il ait la possibilité de calculer les valeurs de champ à certains points plus éloignés de l’espace-temps (ceux se trouvant le long de la ligne de son monde à venir sont particulièrement utiles) avec une marge d’erreur finie. Si ce type de causalité bien définie était absente, alors non seulement il n’y aurait aucune raison pour que cet observateur ait une conscience de soi, mais il semble très peu probable que des systèmes de traitement de l’information tels que les ordinateurs ou le cerveau puisse exister.

Or justement cette prédictibilité n’apparaît que si les équations de champ suivent des . Et Tegmark montre que ceci n’est le cas que dans les univers à une seule dimension de temps ou une seule dimension d’espace. S’il y en a plus, l’univers devient totalement imprévisible. Avec un temps à deux dimensions, il est par exemple impossible de donner un rendez-vous à quelqu’un, car si nous contrôlons nos déplacements dans l’espace et pouvons éventuellement les moduler de façon à nous retrouver à un certain moment t1 selon le “temps1” à l’endroit convenu, nous n’aurions pas le moyen de gérer simultanément le “temps2” : l’autre personne suivant une trajectoire dans l’espace-temps différente n’aurait aucun moyen d’arriver au rendez-vous à la fois à la même position spatiale et au au même temps (t1,t2)

Le tableau suivant résume les caractéristiques des univers selon leurs dimensions spatiales et temporelles selon Tegmark:

Notre univers n’est donc pas le résultat d’une expérience menée par des êtres à 4 dimensions, ou de dieux pour lesquels notre temps ne serait qu’une dimension parmi beaucoup d’autres. Nous ne sommes pas manipulés comme “La Linea”, ça soulage…

Le tableau exhibe aussi une jolie symétrie entre entre dimensions spatiales et dimensions temporelles, ce qui laisse espérer un autres univers intéressant, notre “symétrique” à une dimension spatiale et “temps cubique”. Dans cet univers, la physique des particules n’autorise que l’existence de , des particules très hypothétiques dans notre univers mais liées à la théorie des cordes, laquelle postule l’existence de dimensions “bouclées” à très petite échelle en plus des dimensions spatiales. Dès qu’on vérifie leur existence expérimentalement j’écris un article là dessus, promis.

Références:

Dave Goldberg, Jeff Blomquist (2010). A User's Guide to the Universe: Surviving the perils of black holes, time paradoxes, and quantum uncertainty. Wiley.
Edwin Abbott Abbott (1885). Flatland: A Romance of Many Dimensions. Roberts brothers. (texte intégral en )
A.K. Dewdney (1985). le Planivers: Contact informatique avec un monde à deux dimensions. Londreys.
Max Tegmark, “ ”, 1997, , DOI

Histoire d'angles

Sat, 16 Jan 2010 00:00:00 +0000

Combien d’unités de mesure des angles connaissez vous ? Il y a le degré, bien sur, le radian probablement, peut-être le grade, mais encore ?

"Angles, lines, light, and shadows" par Kefindooley sur flickr

Diviser un tour en 360 degrés est une excellente idée qu’a eu un illustre anonyme il y a environ 4000 ans. Pourquoi 360 ? D’abord, 360 est un donc facile à diviser, et les Babyloniens comptaient en . D’ailleurs ils divisèrent le degré en 60 minutes, et la minute en 60 secondes d’arc, et mêmes en . Aussi probablement parce que 1° est un petit angle, mais un angle encore facilement mesurable à l’oeil: le de la Lune et du Soleil sont proches de 0.5°. trouva ces unités tellement pratiques et les publia si bien que le degré, la minute et la seconde sont aujourd’hui toujours les unités d’angle les plus utilisées. Il me semble bien que ce doit être la plus ancienne unité de mesure encore en usage, et de très loin.

Le a probablement été découvert le jour où l’illustre inventeur oublié de la roue a mesuré son rayon avec une ficelle et enroulé la ficelle sur le périmètre de son oeuvre. Il y ensuite été implicitement utilisé par tous les géomètres de l’Histoire, mais ce n’est qu’en 1873 qu’un dénommé James Thomson imprima le mot “radian” sur des questions d’examen à ses étudiants 1,2. Le radian est une unité purement géométrique, directement liée à pi et indépendante de toute convention humaine. C’est pourquoi l’article de la Wikipedia sur le radian comporte deux informations contestables:

le radian ne vaut pas environ 57,3°, c’est le degré qui vaut environ 0.0175 radians ;-)
le radian n’est pas une des , car sa définition est totalement indépendante des unités , en particulier du mètre.

Le par contre est une vraie unité dérivée du système international, car elle est basée sur la définition du de 1791 comme étant la dix-millionième partie d’un quart de méridien terrestre. En définissant un grade comme un 400ème de tour, on parcourait 100 km pour un grade sur une carte Michelin graduée dans ces unités, sur le méridien de Paris évidemment… Voilà donc une unité d’angle assez proche du degré mais moins pratique parce que 400 n’est pas hautement composé (8 diviseurs entiers contre 24 pour 360), et qui est liée à une unité de longueur alors que ni le degré ni le radian ne le sont… Après trois petits tours dans les classes hexagonales, le grade se dirige à grands pas vers la Poubelle de l’Histoire.

Toute cette longue introduction nous amène à une autre unité, peu connue et dont je voulais faire étalage : le “pour mille d’artillerie”. Il y a si que je pensais que ce n’était qu’une fantaisie suisse gravée sur les manivelles des canons que j’ai passé quelques semaines à pointer sur d’inoffensives montagnes sur lesquelles il fallait ensuite grimper pour chercher les obus non explosés qui auraient pu tuer des touristes (russes), voire des vaches. En fait le terme “pour mille d’artillerie” est un helvétisme du , un angle très proche du milliradian. Comme c’est un petit angle, sa tangente est presque égale à sa valeur en radians et vaut environ 1/1000, ce qui aide bien pour l’application sus-mentionnée : on tire à 10'000 m, ça pète 30 mètres à droite, hop, 3 pour mille à gauche, feu ! C’est bon, on peut ressortir les cartes de et déboucher une autre bouteille..

Pour bien faire il faudrait environ 6283 mils par tour, mais 6400 est plus facile à diviser (25 diviseurs), et comme 6400=100 x 2^6, on peut même fabriquer un rapporteur gradué en mils en pliant un papier carré en deux par la diagonale, puis encore en deux par la bissectrice de l’angle de 45° et ainsi de suite plusieurs fois. Bref, le mil combine astucieusement la définition rigoureuse du radian, la divisibilité entière du degré (hélas pas par 3, mais par les puissances de 2 c’est bien utile aussi) et ajoute juste ce qu’il faut du système décimal. Une unité bien pratique, et pas seulement pour tirer sur ses voisins.

Je voulais encore citer d’autres découvertes en rédigeant cet article, notamment le chinois, qui a une définition astronomique intéressante : il correspond au déplacement angulaire moyen du Soleil sur la voûte céleste en 24h, soit 360°/ 365.25

\[jours/an\]

, ce qui donne un angle très proche du degré ! Les chinois avaient encore le cun, le chi et le zhang, mais c’étaient des dont l’utilité se limite au Scrabble.

Références

Petits jeux intelligents

Sat, 19 Dec 2009 00:00:00 +0000

Bientôt Noël… Un peu de temps à tuer ou des jeunes à occuper intelligemment quelques heures ? Explorez les petits jeux gratuits découverts sur le web.

Un peu de

Le canon tire des billes portant des chiffres qui s’insèrent dans un petit train roulant inéluctablement vers le trou de la défaite. Lorsque deux billes en contact forment une somme de 10, elles disparaissent. Simple ? Essayez… Puis tentez de créer des réactions en chaine pour marquer plus de points.

Un peu de Physique: et

Ne vous fiez pas au look enfantin de pour en conclure qu’ils s’adresse aux tout petits. Construire un pont, même virtuel, exige d’avoir quelques connaissances… ou de les acquérir par l’expérience.

Les casse-têtes mécaniques d’ se résolvent à coup de sabre virtuel, en tranchant des cordes et des blocs de glace. Addictif et marrant.

Un peu de nostalgie : les Lemmings

Je vous parle d’un temps que les moins de vingt ans ne peuvent pas connaître, mais devraient : le temps des , un des jeux les plus géniaux de l’histoire. On peut jouer en ligne à la version quasi originale . D’accord, le graphisme est d’époque, mais le challenge reste actuel : amener des hordes de bestioles suicidaires à la porte du salut.

(En fait c’est un , mais la performance vaut un coup de chapeau : réécrire le …)

Beaucoup d’originalité :

Ce jeu de plateforme en noir et blanc est l’un de mes préférés. A chaque pression de la touche

\[Shift\]

, un renversement de situation total permet de progresser vers la porte de sortie, ou de tomber dans un piège fatal. Un jeu absolument excellent.

Une fois que vous aurez fini Shift, vous pourrez vous attaquer à , , , … Il existe aussi sur Android, iPhone et facebook

Dans le genre jeu de plateforme revisité, il y a aussi l’excellent que je viens de découvrir . Dès que j’ai fini cet article, j’y retourne!

En fait, pour finir plus vite, je colle ci-dessous un vieux brouillon d’article que j’avais commencé sur…

Encore un jeu en noir/blanc au look des années 70, et en plus tellement simple que j’hésite à le qualifier d’ “intelligent”. Il suffit de cliquer au bon moment pour qu’un canon oscillant régulièrement tire un boulet qui s’immobilise après quelques rebonds et enfle alors jusqu’à toucher un boulet voisin ou le cadre de jeu. Chaque boulet est initialement marqué du chiffre 3, chiffre qui se décrémente à chaque choc avec un boulet en mouvement. Heurté 3 fois, le boulet disparait et le joueur marque un point. Si le boulet rebondit en bas de l’écran, on a perdu.

(video un peu barbante : , ce sera plus clair)

Ça à l’air tout bête, mais il s’avère extrêmement difficile de marquer plus de 10 points. Après des heures passées sur , la version pour , mon record est de 17 points, assez loin des 37 points nécessaires pour figurer dans le Top25 des meilleures scores sur internet et très loin du record de 62 points détenu par CBC…

La difficulté du jeu tient essentiellement à la difficulté de prévoir les rebonds du boulet contre les autres : comme le savent les joueurs de billard, on peut assurer le résultat d’un choc entre 2 billes, en risquer un second, mais à partir de 3 on entre dans le royaume du chaos.

Pour visualiser ceci, j’ai utilisé pour la première fois pour montrer les rebonds possibles d’une toute petite balle qui rebondirait entre 2 grosses en fonction de l’angle de tir :

est un jeu qui cache son jeu : en le prenant comme un jeu d’adresse, vous n’avez aucune chance de faire un bon score. C’est un jeu de minimisation des risques. Il ne faut absolument pas tirer une bille qui ait le moindre risque de revenir derrière la ligne, et éviter à tout prix de boucher un angle de tir “sur” futur. C’est à l’usage qu’on s’aperçoit que Gimme Friction est un jeu de stratégie redoutable.

Sources de jeux intelligents

la rubrique
, le blog des jeux basés sur la physique

MIROIR | ЯIOЯIM

Sat, 04 Apr 2009 00:00:00 +0000

Un long article divisés en quelques Pourquois, Comments et Combiens. On commence en douceur:

Pourquoi un miroir inverse-t-il la gauche et la droite et pas le haut et le bas ?

cette question “bête” en soulève deux autres moins triviales :

comment marche un miroir ?
comment définir la “gauche” et la “droite” ?

Un miroir réfléchit simplement la lumière en n’inversant rien du tout : en face d’un miroir, la lumière issue de votre main droite rebondit sur le miroir et arrive à vos yeux par la droite. La lumière venant de vos pieds vous parvient de même par le bas : tout est à sa place. Tout, sauf la “profondeur” : c’est en fait la distance des objets au miroir, autrement dit “l’avant” et “l’arrière” qui sont “inversés” par :

Toby Reflects par Kevin Steele sur flickr

Notre image dans un miroir est donc “retournée comme un gant” : un gant droit retourné devient un gant gauche, comme nos mains dans le miroir .

Même si nous nous regardons dans des miroirs artificiels ou naturels depuis pas mal de miliers d’années, nous avons toujours de la peine à comprendre que la symétrie ne correspond pas à une rotation (sauf dans un espace de dimension supérieur, comme le note ). Ce fait bien n’empêche pas certaines de tenter avec obstination d’orienter leurs mèches de cheveux à gauche ou à droite alors que personne ne les verra jamais comme elles se voient dans un miroir…

Ce qui nous amène à la seconde partie de la question : les notions de “gauche” et de “droite” ont-elles une réalité physique ? Autrement dit, existe-t’il des objets ou phénomènes dont l’image dans un miroir serait impossible ?

On pense tout de suite à l’écriture : un texte vu dans un miroir est illisible, ou du moins pas facilement. Mais ce n’est qu’une question de convention : on aurait très bien pu écrire de droite à gauche comme certaines langues, en utilisant des lettres “retournées” comme dans cette jolie affiche:

Du russe ou du ЯIOЯIM ?

Comment expliquer la gauche et la droite aux extraterrestres ?

Page 15 du message de Dutil et Durand. Le message de paix pourrait-être lu à l envers…

La question de la transmission de cette convention est d’ailleurs un problème intéressant : les messages que certains ont envoyé aux extra-terrestres ( ) sont composés de bits que les destinataires sont censés assembler en lignes et en colonnes pour produire des images en noir et blanc. Comment leur dire que les points doivent être disposés de gauche à droite plutôt que de droite à gauche ?

(On admet qu’on ne dispose pas de points de repère communs avec les extra-terrestres, sinon ça serait trop simple… Disons qu’ils vivent sous une couverture nuageuse perpétuelle et ne connaissent rien à l’astronomie …)

Cette question est équivalente à celle posée plus haut : il suffirait de décrire dans le message un objet ou un phénomène physique dont l’image dans un miroir ne peut pas exister dans la réalité .

Il existe bien quelques objets déroutants en version “miroir”, comme les tire-bouchons “tourne à gauche” vendus dans les farces et attrapes, mais ils sont tous aussi possibles à réaliser que leur version “normale”.

Une molécule chimique ? Il en existe beaucoup qui ont une forme différente de leur image dans le miroir. Par exemple le sucre existe sous forme de qui fait tourner le plan de polarisation de la lumière à droite et sous sa forme . La des molécules détermine donc parfois leur propriétés physiques, mais … tout reste cohérent vu dans un miroir.

Les effets de ces molécules peuvent être très différents selon leur forme dans le miroir : la catastrophe de la est due à l’énantiomère d’un bête calmant, et la L-métamphétamine débouche juste le nez, alors que la D- a d’autres effets…

D-méthamphétamine / L-méthamphétamine

La raison de ceci est que ces molécules interagissent différemment avec les molécules de notre organisme, qui ont elles-mêmes une certaine géométrie plutôt que leur image dans le miroir. Ainsi les êtres vivants sur Terre produisent ou consomme beaucoup plus de D-glucose (ou dextrose) que de L-glucose, et l’ADN présent dans tous les être vivants à la forme d’une double hélice tournant dans à droite. Mais il n’y a pas de raison fondamentale à ceci : la vie a probablement “préféré” une forme plutôt qu’une autre à ses débuts, et cette “brisure de symétrie” s’est propagée par contagion, mais une biochimie “dans le miroir” est parfaitement cohérente.

L’électromagnétisme alors ? Si on fait passer un courant électrique dans une bobine, on crée un champ magnétique avec un pôle Nord et un pôle Sud. Si la bobine est bobinée à l’envers, les pôles Nord et Sud sont inversés.

La main droite, pouce écarté, tient le solénoïde. Le courant sort par les doigts et le pouce oriente le vecteur champ mégnétique.

Oui… mais les notions de pôles magnétiques “Nord” et “Sud” sont tout à fait conventionnelles (jusqu’à ce qu’on trouve un ) : le schéma ci-dessus reste parfaitement cohérent vu dans un miroir.

Combien de fêlures dans les miroirs de la physique ?

Jusqu’en 1956, l’Univers observé dans un miroir était parfaitement cohérent. De fait, 3 des ont une parfaite. Mais en 1956, Mme démontra une concernant la 4ème force, l’ . Lors de désintégration β d’un noyau de Cobalt 60, un électron est émis dans une direction aléatoire. Mais il y en a statistiquement de plus qui part dans la direction opposée à celle du spin du noyau que dans la direction du spin (le spin indique le sens de rotation du noyau). En regardant l’expérience dans un miroir le spin change de sens et l’électron irait très légèrement plus souvent dans la direction du spin, ce qui est contraire à l’expérience. L’interaction faible “préfère” très légèrement la rotation à gauche et on pourrait donc expliquer aux extraterrestres notre convention gauche/droite en leur transmettant ce dessin:

Mais si par malheur nos extraterrestres vivent dans une Galaxie (hypothétique) formé d’ , on a un gros problème : l’antimatière peut également être considérée comme “vue dans un miroir”. Chaque particule de la physique possède son antiparticule dont toutes les caractéristiques sont les mêmes sauf la charge électrique, qui est inversée. Le “miroir” de la “ ” (C comme charge) est très semblable à celui de la symétrie P : toute la physique et la chimie est parfaitement identique avec de l’antimatière qu’avec de la matière, sauf pour l’interaction faible, exactement comme ci-dessus.

Autrement dit, si nos extraterrestres font l’expérience avec un noyau de ce que nous appellerions de l’anti-Cobalt 60 et observent la direction d’émission du , tout marchera parfaitement bien mais ils comprendront absolument tout à l’envers : la gauche et la droite, le signe des charges électriques, les pôles Nord/Sud magnétiques etc. Et la rencontre des deux civilisations fera des étincelles …

Le problème est que notre dessin implique en fait 2 miroirs, le C et le P qui inversent tous deux de la même manière l’expérience, et comme chacun sait, si on regarde notre reflet dans un miroir à l’aide d’un autre miroir, tout se remet en place.

"Two Mirrors" de Steven Scott

On appelle “ ” l’image de l’Univers qu’on obtient en inversant à la fois la gauche et la droite et les charges électriques, et cette symétrie était parfaite. Mais dans les années 1960, on a découvert une très légère brisure de la symétrie CP : la transformation d’un kaon en antikaon est 1 milliardième de fois plus rare que la transformation d’un antikaon en kaon.

Cette nanoscopique (10-9) fêlure a une conséquence pratique assez importante: nous existons.

En effet, c’est la violation de la symétrie CP qui fait que le Big Bang a eu la bonne idée de produire un milliardième de plus de matière “normale” que d’antimatière, et c’est ce milliardième qui ne s’est pas annihilé avec l’antimatière qui constitue tout ce qui nous entoure, sans quoi il n’y aurait pas eu grand chose après “que la lumière soit”.

Comment transformer une caméra vidéo en miroir temporel

Réponse : c’est très facile et amusant :

Même un extra terrestre très différent de nous devinerait assez vite qu’il regarde le film à l’envers parce que beaucoup de phénomènes macroscopiques ont une préférence pour le futur. Ce n’est pas le cas à petite échelle : toutes les interactions entre particules peuvent se produire “en sens inverse” : la mécanique quantique possède une “ ” que l’on retrouve dans les dont .

Voici donc un troisième miroir légèrement imparfait, qui peut se combiner avec les autres ! D’ailleurs, pour réaliser le film ci-dessus, je suppose que la demoiselle qui va “à l’endroit” regarde dans un miroir pour marcher à l’envers sans se heurter à la foule. En quelque sorte, la symétrie PT a permis de rendre le film plus réaliste qu’avec la symétrie T seule.

Mais à propos… pour la violation de la symétrie CP on a dit que la transformation d’un kaon en antikaon plus rare que son contraire, mais si on passe le film de l’expérience à l’envers ? On verra plus de kaons se transformer en antikaons, donc l’Univers observé dans les trois miroirs C,P et T sera parfaitement cohérent avec les observations dans l’Univers “normal”.

La “ ” est aujourd’hui considérée comme une loi fondamentale de la physique car c’est une des rares qui soit compatibles à la fois avec la mécanique quantique et la théorie de la relativité via le principe d’ . Mathématiquement, on a même réussi à montrer que la symétrie T était identique à la symétrie CP et donc que toute violation de la symétrie CP devait causer une violation de T équivalente, et vice-versa.

Les conséquences de la symétrie CPT

Avertissement : dans ce paragraphe, je m’avance un peu en terrain dangereux, mais c’est pour mieux vous faire réagir si vous maîtrisez le sujet mieux que moi …

Une conséquence fondamentale de la symétrie CPT est qu’il est impossible de distinguer:

une particule qui se promène entre les points A et B
son antiparticule qui suivrait la même trajectoire entre A et B, filmée dans un miroir, et dont on passe le film à l’envers (où on la verrait donc aller de B en A)

Si on suppose que comme une , on peut aller un peu plus loin en disant que ces deux observations sont parfaitement indiscernables :

une particule qui se promène entre les points A et B
son antiparticule qui remonte le temps entre B et A, vue dans un miroir.

Donc lorsqu’on reçoit par exemple un sous forme d’un antiproton à haute énergie, ne devrait-on pas vérifier s’il ne s’agirait pas d’un proton généré par un événement futur et qui remonte le temps? Est-ce que des installations comme l’ ont un “miroir” permettant d’observer la brisure de symétrie P qui distingue les deux cas ?

Dans le même ordre d’idée, l’ est décrit par des phénomènes quantiques représentés par des diagrammes de Feynman ressemblant à la figure ci-contre, et qui surviennent des milliards de fois chaque seconde dans chaque millimètre cube de vide de tout l’Univers…

La lecture classique est que 2 particules virtuelles, dont l’une est l’antiparticule de l’autre apparaissent spontanément par les fluctuations du , et leur annihilation mutuelle un court instant plus tard restitue “l’énergie du vide” empruntée par les particules.

Mais là aussi, je me demande comment distinguer cette interprétation de celle d’une particule tournant “en rond” dans le temps : pendant sa phase de retour dans le passé, la particule nous apparait exactement comme son antiparticule allant vers le futur … Existe-t-il une expérience permettant de vérifier la symétrie P du phénomène pour exclure cette interprétation ?

Références:

" " sur le Webinet des Curiosités
Michel Thévoz “L ”
Tom Roud “ ”
Tom Roud “ ”
Tom Roud “ ”

Photomontages mathématiques

Thu, 12 Mar 2009 00:00:00 +0000

Comment faire des photos telles que celles-ci ?

Lost in Time par diogosousa sur flickr

"Gaby fountain drosted" par ocelotan sur flickr

C’est l’ , du nom de la marque de cacao hollandais qui l’utilisa sur ses publicités dès 1904. Il est très probable que le petit né aux Pays-Bas en 1898 l’ait remarqué puisqu’ dans ses oeuvres.

C’est pas facile à dessiner, alors à photographier … mais je viens de découvrir qu’un même logiciel permet de produire cet effet, mais aussi les “ ”, et bien d’autres trucages encore :

C’est un plugin pour , le “PhotoShop gratuit”. MathMap est développé par Mark Probst de l’Université de Vienne pour Linux et Mac OSX, mais il existe aussi Si vous avez un Mac, il existe une qui ne nécessite pas Gimp.

MathMap utilise un langage de script assez simple permettant de déformer une image en “mappant” les coordonnées de l’image de départ sur celle d’arrivée comme on le voit sur . Pour l’effet Droste, le est nettement plus compliqué, surtout pour permettre d’ajuster les paramètres en fonction de la photo à traiter.

Encore quelques liens utiles et vous pourrez transformer votre belle-mère en spirale diabolique:

la de Josh Summers sur flickr, avec son célèbre “ ”

Surfaces implicites

Wed, 04 Feb 2009 00:00:00 +0000

Les surfaces “explicites” sont faciles à représenter graphiquement : de nombreux logiciels sont capables d’évaluer des fonctions du type {x,y,z}=f(u,v) en balayant les paramètres u et v pour obtenir très rapidement de nombreux points de la surface, et les ordinateurs actuels disposent de cartes graphiques pouvant afficher le résultat sous n’importe quel angle en temps réel ( )

Surface de Boy (explicite) tracée par 3D-XplorMath. Les courbes noires correspondent à la paramétrisation {u,v}

Mais de nombreuses surfaces mathématiques ne peuvent pas être définies explicitement. La formulation la plus générale des surfaces, f(x,y,z)=0, est “implicite” : il faut chercher quels sont les points de l’espace à 3 dimensions appartiennent à la surface, puis “lisser” la représentation graphique de cet ensemble de points, ce qui est loin d’être simple. En fait c’est toujours un

Jusqu’à récemment, seuls les logiciels de maths comme Maple ou permettaient de représenter des surfaces implicites, mais l’esthétique n’était pas au rendez vous. Mais il existe désormais des logiciels gratuits produisant de magnifiques rendus de surfaces implicites obtenus par lancer de rayons (ray tracing).

Le plus avancé est “ ”, développé l’an passé en Allemagne, pays où 2008 fut décrété “année des mathématiques”. L’ présentait des par des artistes ou par les participants à un .

"Tülle", par Herwig Hauser, produit avec le logiciel Surfer

Surfer est disponible pour Windows et pour Linux (avec code source C++), mais aussi sous forme d’une .

est un logiciel plus ancien dont j’ai déjà parlé . Depuis sa récente version 10, il peut également représenter des surfaces implicites et il existe également une

Sextique de Barth faite avec 3X-XplorMath. Cette surface comporte de nombreuse singularités et est d’autant plus difficile à représenter.

Noeuds et surfaces de Seifert

Mon, 02 Feb 2009 00:00:00 +0000

Le noeud le plus simple que l’on puisse imaginer est la “ ”, et si l’on rejoint les deux bouts de la ficelle nouée, on obtient le “trêfle” ci-contre, un être mathématique étudié par la , une branche de la topologie aussi intéressante qu’esthétique.

Le logiciel permet d’explorer ce monde étonnant et de représenter en 3D des noeuds très complexes, comme celui ci-contre. KnotPlot est cependant complexe à utiliser, aussi son auteur a-t-il créé également un catalogue de noeuds “simples” que l’on peut visualiser en 3D de manière interactive. L’applet Java de KnotZoo permet aussi de visualiser des et de télécharger les modèles 3D des noeuds au format .OBJ

Pour certains noeuds comme notre “demi clé”, on peut créer une surface délimitée par la corde, un peu comme si on la trempait amidonnée dans de l’eau savonneuse pour créer une pellicule. Dans certains cas cette surface n’a qu’une face, comme un . Mais est-ce possible pour tous les noeuds ?

surface de Moebius	surface de Seifert
surface de Seifert	surface de Seifert

En 1934 le mathématicien allemand Herbert Seifert montra comment créer une surface à deux faces pour n’importe quel noeud. Ce résultat permet de caractériser un noeud à l’aide de sa qui peut être déformée selon les lois de la topologie.

Pour explorer cet univers surprenant, le logiciel est très simple d’emploi et ne demande aucune installation. Il permet aussi d’explorer les , un domaine connexe aux noeuds.

Bathsheba, un sculpteur réalise même de basées sur les surfaces de Seifert

Référence

Bestiario

Fri, 10 Oct 2008 00:00:00 +0000

est une petite, jeune et très dynamique entreprise créant des “espaces digitaux pour la création collective de connaissance”. Autour du slogan “rendre le complexe compréhensible”, ils combinent art et science pour créer des sites interactifs en Flash utilisant la théorie des graphes, la topologie, la simulation physique et la visualisation géométrique et géographique.

Voici quelques unes de leurs réalisations (cliquez sur les images pour lancer le site interactif correspondant) :

SPISI : visualisation de données en spirale

SPISI permet de rechercher des périodicités dans des données. En bougeant un curseur, on agit sur le nombre de données par tour de spirale. Les données à explorer sont :

le nombre de diviseurs des nombre entiers. En approchant le curseur de 24 (ou 12…), on voit apparaitre la “ ”
les variations de la température de notre belle planète, mesurée sur 422766 ans grâce à une carotte de glace antarctique. avec le curseur sur 100'000, on voit apparaitre 3 cycles assez clairement.
l’index Dow Jones. Là on a beau chercher des cycles …

videosphère : toutes les vidéos du TED reliées

Videosphère permet de découvrir les fantastiques , (si vous ne connaissez pas, voyez au moins ). On peut évidemment trouver les conférences sur des thèmes donnés, mais aussi naviguer vers des conférences sur des sujets similaires en explorant un graphe liaant les vidéos représentées sur une sphère. simple, efficace, et beau.

drinkMe : un zoom de 10^36 dans un graphe

Si vous n’êtes pas impressionné par DrinkMe (drôle de nom) , c’est que vous n’êtes pas informaticien. Cette démonstration au graphisme primitif permet de zoomer dans des données un peu comme le film “ ” à travers l’Univers. Pour passer de façon continue d’une visualisation macroscopique à un microscope avec un grossissement de 1'000'000'000'000'000'000'000'000'000'000'000'000 x , il faut une certaine maitrise de la programmation…

J’aurais souhaité décrire ici toutes les autres réalisations de , mais ce serait trop long. Sachez qu’elles valent toutes la peine d’être vues ou expérimentées : ces gars là font du très beau travail. à suivre.

source: , un blog à suivre si vous vous intéressez à la représentation des données et la communication visuelle.

Dimensions

Sun, 05 Oct 2008 00:00:00 +0000

" " est un film sur la géométrie et en particulier sur la notion clé de dimension.

Diffusé sous licence “Creative Commons” et donc disponible gratuitement, vous pouvez soit le soit le regarder directement .

“ ” est divisé en 9 chapitres permettant d’aborder progressivement des notions de plus en plus avancées.

Ca avec la cartographie et la notion de projection : comment représenter la sphère terrestre sur un plan
On avec Escher, artiste géomètre ( ) et , qui permet d’illustrer la notion de dimension supérieure en décrivant ce que verraient des êtres à 2 dimensions si un objet à 3 dimensions traversait leur univers.
Les chapitres 3 et 4 présentent la 4ème dimension d’une façon plus complète et mieux illustrée que . J’y ai surtout appris l’existence d’un illustre compatriote de plus : et découvert la puissance insoupçonnée de la projection stéréographique.
Les nombres complexes font l’objet des , peu intéressants si vous maitrisez déjà le sujet. Dans ce cas sautez au milieu du chapitre 6 ou on présente les transformations, puis la “dynamique holomorphe” qui donne naissance aux célèbres fractales de Julia et Mandelbrot, entre autres.
Les présentent quelques notions de topologie, dont la fibration de Hopf. Là par contre, le contenu est très dense, il faudra que je revoie ce sujet au ralenti pour pouvoir prétendre avoir tout compris… Heureusement, j’ai pu me raccrocher aux et aux
Le est un peu particulier : il traite de la preuve en mathématiques et démontre de façon illustrée mais rigoureuse la propriété essentielle de la projection stéréographique : elle transforme un cercle tracé sur la sphère, qui ne passe pas par le pôle nord en un cercle tracé dans le plan tangent au pôle sud.

“ ” est un film très instructif et bien fait, à voir pour réviser vos bases de géométrie ou pour les développer un peu.

Le GPS pour les nuls : Satellites et Signaux

Sat, 27 Sep 2008 00:00:00 +0000

Les GPS sont ces appareils “magiques” apparus il y a 15 ans sur les bateaux, puis sur les avions, les voitures de luxe, les taxis et les camions il y a 5 ou 6 ans, et qui se répandent maintenant dans les voitures et les téléphones voire les appareils photos.

Bref, ça n’épate plus personne de savoir où on est à quelque mètres près dans une ville inconnue et d’être dirigé vers son hôtel de façon fiable par une douce voix féminine qui reste parfaitement calme même si on ne suit pas le chemin tracé. Mais si on sait comment ça marche, le GPS apparait comme l’une des 7 merveilles du monde technologique*

Ce premier article présente la partie “Satellites et Signaux” de cette extraordinaire réalisation .

Le principe est tout simple : 24 satellites tournent autour de la Terre sur des orbites précises, en faisant “bip-bip”. En tout point de la planète, on peut recevoir les signaux de 6 à 10 satellites.

On pourrait se dire que 3 satellites suffisent:

si on sait quels satellites ont émis les bips reçus, on peut savoir où ils se trouvent sur leur orbite
et si on sait combien de temps le “bip” à mis pour aller du satellite à l’endroit où on se trouve à la vitesse de la lumière

alors on sait qu’on se trouve à l’intersection de 3 sphères centrées sur les satellites, et dont les rayons correspondent à la distance parcourue par chaque “bip”, et il n’y a que 2 tels points, dont l’un n’est probablement pas à la surface de la Terre, donc nous nous trouvons à l’autre.

La principale difficulté et de mesurer avec une grande précision le temps mis par les bips pour parcourir la distance entre le satellite et le récepteur.

Certaines pages du web prétendent que les signaux émis par les 3 satellites contiennent l’heure exacte de l’émission. C’est faux et ça serait inutile, car il faudrait aussi une horloge ultra précise au récepteur. Les satellites sont effectivement équipés d’horloges atomiques ultra précises, mais il serait beaucoup trop cher d’en mettre dans chaque récepteur.

Le truc, c’est de tenir compte d’un quatrième satellite et de calculer l’intersection de 4 sphères au lieu de 3, mais dans l’ , en tenant compte du temps : il n’existe qu’un seul endroit à un seul moment extrêmement précis où les décalages entre les bips des 4 satellites donnés peuvent correspondre aux mesures. Le GPS fournit donc non seulement la position géographique, mais aussi l’heure exacte en prime.

Reste encore quelques petits détails techniques à résoudre.

D’abord, les bips-bips doivent être reconnaissables, pour qu’on sache quel satellite l’a émis. On pourrait les émettre sur 24 fréquences différentes, mais ça ferait des récepteurs compliqués. Donc ils sont tous émis sur la même fréquence, mais alors ils doivent être clairement distincts : des bip-bips, des bop-bops, des bap-baps etc.

Ensuite, le satellite émet avec une puissance de 25W qui arrose presque la moitié de la surface de la Terre. Sur Terre, un récepteur reçoit 0.000178 pW .

\[pW\]

c’est “picoWatt”, un millième de milliardième de Watt, la puissance d’un muscle de puceron. Cette puissance reçue est 45 fois inférieure (16 décibels) à la puissance du bruit thermique dans la gamme de fréquence du GPS. Pour éviter d’avoir à détecter des “bip-bips” minuscules noyés dans un CHCHCHCHCHCHCHCH continu, il y avait une solution : mettre sur chaque GPS une douzaine d’antennes paraboliques de 1m de diamètre, motorisées et tourniquant dans tous les sens pour suivre les satellites.

Les concepteurs du GPS ont trouvé une solution heureusement plus simple et carrément géniale. Ils se sont dit qu’en fait, la seule information qui devait réellement être transmise depuis les satellites, c’était une horloge. Un “tic-tac” plutôt qu’un “bip-bip”. Et pour que le récepteur puisse distinguer les “tic-tacs” des différents satellites, chaque horloge est émise sous forme d’un “signal binaire pseudo-aléatoire” différent, une suite de 0 et de 1 comme celle-ci par exemple :

Le récepteur reçoit une dizaine de tels signaux superposés, décalés et noyés dans du bruit. Comment débrouiller tout ça ? “Facile” : en générant des signaux identiques dans le récepteur et en tentant de les “corréler” avec celui qu’on reçoit de l’espace. La corrélation consiste à comparer les bits qu’on a cru reconnaitre dans le bruit avec ceux générés dans le récepteur, puis à décaler légèrement le signal généré et à recommencer. Si pour un certain décalage on trouve un nombre statistiquement significatif de bits correspondants, on sait:

que l’on reçoit effectivement le signal du satellite dont la séquence pseudo aléatoire correspond à celle recréée dans le récepteur
que l’on a synchronisé l’horloge du récepteur avec celle du satellite.

Tout ceci prend un peu de temps, c’est pourquoi un GPS peut mettre plusieurs minutes à s’initialiser à la mise sous tension. Il peut aussi perdre un peu la boule quelques secondes lorsqu’un satellite disparait à l’horizon, avant d’en retrouver un autre, c’est pourquoi la plupart des GPS modernes sont capables de suivre 5,6,7 satellites voire plus et de choisir ceux donnant le meilleur signal voire de les combiner pour améliorer la précision de la mesure.

Mais tant que le récepteur peut identifier 4 satellites et les décalages entre leurs signaux, il peut :

déterminer l’heure exacte
consulter la position des satellites sur leur orbite grâce à une tabelle interne,
calculer la position de l’observateur à la surface de la terre (latitude et longitude)
et éventuellement son altitude, pour un avion ça peut servir.

Génial, non ?

Références:

sur la Wikipedia
le , une page très complète sur le sujet
le , avec formules et code Matlab

Note* : pour rappel, les autres merveilles du monde technologique sont le , le télescope , le du CERN, , et le .

Le temps dans les constantes universelles

Thu, 12 Jun 2008 00:00:00 +0000

En répondant à un sur , je me suis aperçu que le mètre et la seconde apparaissaient ensemble dans toutes les unités des :

Nom	Symbole	Unité
dans le vide	c	m/s
	μ0	kg·m / A2·s2
	ε0	A2·s4 /kg·m3
	Z0	kg·m2 / A2·s3
	ℎ	kg·m2/s

Albert et Max (Einstein et Planck)

Or, comme expliqué dans “ ”, la relativité d’Albert lie le temps et l’espace par la vitesse de la lumière : actuellement, est d’ailleurs basée sur , mais dans cet “espace-temps” ( ) , le temps est une dimension “imaginaire” au sens mathématique du terme :

\[s\]

= i. 300'000'000

\[m\]

, où i est l’ telle que i2=-1

En introduisant la seconde comme équivalente, à un facteur près, à des mètres imaginaires dans les unités des constantes universelles on obtient :

Nom	Symbole	Unité
dans le vide	c	-i
	μ0	-kg / A2·m
	ε0	A2·m /kg
	Z0	i. kg / A2·m
	ℎ	-i.kg·m

N’est-ce pas merveilleux ? non seulement la vitesse de la lumière devient une constante purement géométrique, mais les “constantes du vide” retrouvent leur parenté oubliée…

Le plus amusant dans ce petit jeu, c’est de voir ce que devient l’unité d’énergie, le avec cette manipulation :

1 J = 1 kg·m2/s2 ≈ -1 kg

L’énergie, c’est une masse négative ! Ah, me direz vous, mais Albert a dit que E=m.c2, donc que (beaucoup) d’énergie était équivalent à (un peu) de masse ! Oui, mais c est proportionnel au nombre imaginaire i, donc c2 ≈ i2 = -1, donc c’est bien ça : l’énergie correspond à de la masse négative.

Pour demain, démontrez que : E+m = 0, donc qu’avec un peu d’imagination, la somme de tout ce qui existe pourrait être rigoureusement nulle ;-)

Références:

“ ” sur Wikipedia
“ ” sur Wikipedia

Si on jouait à plier des protéines ?

Wed, 21 May 2008 00:00:00 +0000

Si vous aimez les casse-tête et les jeux bien fichus, dépêchez-vous d’essayer . C’est génial, 100% gratuit et ça peut rapporter gros. Il s’agit de déformer une molécule affichée en 3D à l’écran pour qu’elle prenne une forme bien compacte :

Après quelques molécules simples où on vous explique le principe et les diverses manipulations possibles, vous pourrez commencer à affronter les autres joueurs pour tenter d’obtenir le meilleur score sur des molécules de plus en plus complexes. Le jeu est très prenant et devient progressivement très difficile.

Exemple : situation de départ et d’arrivée du Pro Peptide no 48

De plus, jouer à ce jeu est utile à la science. En effet l’étude de la géométrie des protéines et de leur “pliage” en différentes formes est la clé de la compréhension des plusieurs maladies et de la conception de nouveaux médicaments. Mais cette étude demande des puissances de calcul colossales pour simuler les mouvements et déformations possibles. Outre des fonctionnant sur ce sujet, il existe plusieurs projets de comme auquel vous pouvez contribuer en installant sur votre ordinateur un programme qui va faire quelque chose d’utile pendant que vous ne l’utilisez pas.

FoldIt va plus loin en : l’être humain est capable de “voir” en 3D et d’ “imaginer” des solutions beaucoup plus facilement qu’un ordinateur, qui lui est bon pour calculer et simuler. L’idée derrière FoldIt est donc que des humains assistés et interconnectés pourraient arriver à plier “pour le plaisir” des protéines qui ont un intérêt scientifique à être étudiées en détail. .

Alors, Erika et les millions d’autres, par pitié arrêtez de jouer au Solitaire de Windows et ne perdez plus votre temps quand vous voulez passer le temps : jouez à FoldIt !

Si vous devenez accro, rejoignez le groupe de l’ , j’y suis.

source : Rémi Sussan “ ” sur internet actu

La bonne manière de calculer des trucs

Thu, 11 Oct 2007 00:00:00 +0000

est une page pour informaticiens dans mon genre : elle contient des petits “snippets” de code utile pour contourner certains pièges tendus par les maths et la géométrie.

Par exemple, si on veut calculer sin(x)/x, il faut faire attention à ce qui se passe pour x=0, sinon on obtiendra une erreur de “division by zero” au lieu du résultat attendu, qui est 1. Un bon programmeur prévoira le coup en écrivant (en C++) :

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (x == 0.) return 1. else return sin(x)/x;

\[/sourcecode\]

mais ce n’est peut-être pas suffisant. Si x est très petit, la division de deux nombres très petits approximés par nos chers ordinateurs a des chances d’être assez fausse. Pour des raisons expliquées en détail sur la page, il faut s’assurer en fait que x2 est encore un nombre numériquement assez grand par rapport à 1, donc un très bon programmeur écrira ceci :

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (1. + x*x == 1.) return 1. else return sin(x)/x;

\[/sourcecode\]

ce qui parait mathématiquement absurde puisqu’on imagine pas que 1+x2 puisse valoir 1 pour x≠0. Mais informatiquement, c’est très possible.

L’article donne ainsi une série de recettes pour calculer des expressions dangereuses, par exemple :

1-cos(x) → 2*sin(x/2)2
acos(1-x) → 2*asin(sqrt(x/2))
et bien d’autres

Mais les recettes les plus intéressantes (en tout cas pour moi) concernent la géométrie.

Pour calculer l’angle entre 2 vecteurs u et v, l’ “approche pachyderme” comme disait Burgi consiste à évaluer acos(dot(u,v)), dot étant la fonction renvoyant le produit scalaire des 2 vecteurs. mais si u ou v ne sont pas parfaitement normalisés et que dot renvoie un résultat un pouillème plus grand que 1 : crash.

une deuxième approche est: 2*atan2(abs(u-v),abs(u+v)). Pas mal mais couteux en temps de calcul. La meilleure implémentation est

\[sourcecode lang="cpp"\]

if (dot(u,v) < 0.) return M_PI - 2*asin(abs(-v-u)/2) else return 2*asin(abs(v,u)/2);

\[/sourcecode\]

La partie vraiment intéressante concerne l’ . (Comme c’est assez spécifique à la 3D, je publie aussi ce qui suit )

L’orientation d’un corps dans l’espace à 3 dimension est défini par 3 angles tout comme la position d’un objet posé sur une sphère est définie par les 2 angles de latitude et de longitude, plus un angle définissant l’orientation de l’objet

Le problème consistant à faire tourner “en douceur” un objet dans l’espace pour l’amener dans une orientation déterminée est appelé “interpolation sphérique linéaire” parce qu’il est équivalent à celui consistant à se déplacer “en douceur” sur une sphère pour atteindre une position et une orientation donnée. Le problème n’est pas trivial pour 2 raisons:

comme les angles sont définis “modulo 360°”, il faut que l’interpolation en tienne compte : si on va par exemple de la longitude -179° à la longitude +179°, il faut faire 2° dans le sens négatif et pas 358° dans le sens positif.
quelle que soit la manière dont on définit les 3 angles, il existe des “singularités” aux point analogues aux pôles : à la lattitude 90°, la longitude n’a plus d’importance mais si on passe par le pôle, il faut “se rappeler” de notre dernière longitude pour pouvoir continuer “tout droit” dans la longitude augmentée de 180° (modulo 360°), et simultanément éviter qu’une mauvaise description de l’angle d’orientation nous fasse faire brusquement un demi-tout sur nous mêmes en passant par le pôle pour conserver un angle par rapport au nord …

“ ” décrit la fonction “slerp” qui définit l’interpolation sphérique linéaire entre 2 vecteurs unitaires v0, v1 ainsi:

sin((1-t)*a) sin(t*a) slerp(v0,v1,t) = ______________*v0 + __________*v1 sin(a) sin(a)

où a est l’angle entre v0 et v1 calculé comme indiqué plus haut. Mais il est clair que pour des angles tels que sin(a) est nul ou très petit, des problèmes numériques vont survenir. En travaillant un peu la fonction slerp peut s’écrire:

sin_over_x((1-t)*a) sin_over_x(t*a) slerp(v0,v1,t) = ____________________*(1-t)*v0 + ________________*t*v1 sin_over_x(a) sin_over_x(a)

où sin_over_x est la fonction sin(x)/x calculée de façon robuste, toujours comme indiqué plus haut

Reste à traiter le cas ou a est proche de 180°, ce qui revient à retourner un objet, ou à aller aux antipodes du point où on se trouve sur le globe. Il y a alors une infinité de trajets possibles, et il faut bien en choisir un plutôt que de laisser l’ordinateur se planter…

Références:

Ken Shoemake, Animating rotation with quaternion curves, SIGGraph ‘85 proceeding

Maths et Art

Wed, 19 Sep 2007 00:00:00 +0000

Les maths, ça peut être très beau. Si si. Il y a même des artistes qui utilisent des logiciels de calcul d’objets géométriques pour réaliser des oeuvres étonnantes comme celle-ci par exemple:

Cette image est une combinaison de surfaces calculées avec la géniale formule mathématique des “ ” dont je reparlerai très bientôt, puisque mon projet projet “ ” commencé en 2004 a repris avec

En admirant les autres oeuvres de , je suis tombé sur celle-ci, montrant d’autres objets mathématiques intéressants :

Ces objets ont été calculés avec le logiciel avant d’êtres “mis en scène” et rendus avec un autre logiciel (Alias Wavefront). 3D-XplorMath est un programme gratuit, permettant de calculer beaucoup de surfaces intéressantes du point de vue artistique, regroupées dans un avec par exemple:

des surfaces minimum, correspondant à la surface “choisie” par une pellicule de savon pour s’accrocher à une armature de fil de fer donnée, ce qui donne par exemple la surface de ci-contre:
des surfaces “sphériques” et “pseudosphériques” obtenues en déformant des sphères, comme la très belle surface de que l’on reconnait dans l’oeuvre de Luc Benard.

le propose également une comme :

Grossman , qui crée et vend des sculptures d’objets mathématiques, dont les Il fait aussi de magnifiques
Brian Johnston, qui considère les maths comme un prolongement de son microscope dans où il décrit en détail le moyen de produire des images comme celle-ci :
, dont le site hyper surchargé et illisible cache des centaines de merveilles, à tel point que j’ai envie de lui en créer un nouveau rien que pour lui …

Les centres du triangle

Mon, 25 Jun 2007 00:00:00 +0000

Combien de centres a un triangle ? J’en connaissais autant que les Grecs : 4 :

le centre de gravité, intersection des médianes	le centre du cercle inscrit, intersection des bissectrices
le centre du cercle circonscrit, intersection des médiatrices	l’orthocentre, intersection des hauteurs

Et voilà que les mathématiciens se sont récemment demandés ce que ces 4 points ont en commun et ont défini les propriétés que toutes les 4 “ ” ci-dessus satisfont.

Mais alors, depuis 1994 un certain Klark Kimberling s’est mis à répertorier toutes les “fonctions centre de triangle” satisfaisant les propriétés dans son “ ” qui en contient désormais plus de 3000!

Quelques centaines de “ ”

Je doute que tous ces points trouvent un jour une utilité, mais j’aime bien la “pensée différente” des mathématiciens comme Kimberling : une fois qu’on a généralisé un savoir millénaire dans une petite formule, l’utiliser à l’envers pour découvrir un monde ignoré. Joli, non ?

Paillasson Ambigramme

Thu, 15 Mar 2007 00:00:00 +0000

Il est pas magnifique ce paillasson ? en entrant, vos visiteurs lisent un message de bien venue : “Come In”, entrez. Et en partant “Go away”, foutez le camp :-)

Ces textes qui se lisent dans plusieurs sens s’appellent des . Ils sont beaucoup utilisés en plublicité, comme le célèbre logo de “New Man”. Vous pouvez en trouver d’autres:

sur le , un génie de l’ambigramme, qui n’a malheureusement plus l’air d’y ajouter de nouvelles créations
sur
dans le roman “ ” de Dan Brown
sur ce fantastique , vous pourrez créer vos propres ambigrammes et consulter une impressionnante liste d’autres sites sur ce sujet

Belle illusion d’optique

Wed, 07 Mar 2007 00:00:00 +0000

Une des plus surprenantes que j’aie vue depuis longtemps:

si si, les points sont soigneusement alignés verticalement et horizontalement …

Le temps, une 4ème dimension imaginaire

Wed, 07 Feb 2007 00:00:00 +0000

photo d’arrigoceramista sur flickr

Dans “ ”, je montre comment un cube peut aider à se représenter une 4ème dimension spatiale facilement.

Ce deuxième article explique pourquoi le temps, la 4ème dimension de l’ dans lequel nous vivons, n’est pas une dimension spatiale comme les 3 autres, mais une dimension , au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !

Imaginez qu’un cube de côté égal à 1 mètre surgisse du néant devant vous et disparaisse tout aussi soudainement 1 seconde plus tard. Le cube a donc été “étiré” dans la dimension du temps sur une distance de 1 seconde, et si vous êtes un “dieu” pour qui le temps est une dimension comme les autres, vous verriez cet événement comme un hypercube flottant dans un espace à 4 dimensions tel que décrit dans .

Mais le temps est-il une dimension “comme les autres” ? Le fait qu’on mesure le temps en secondes et les distances en mètres nous met sur la piste d’une différence fondamentale, qui tient à la manière dont on mesure les distances dans un espace.

Comment faire si une dimension ne se mesure pas dans les mêmes unités que les autres ? L’idéal serait de trouver un moyen de convertir les secondes en mètres. Et c’est ce qu’a fait Albert Einstein entre autres, en montrant que la vitesse de la lumière appelée “c” est une constante absolue, parce que justement elle mesure le rapport entre l’espace et le temps en chaque point de l’Univers : 1 seconde vaut 300'000 km.

Autrement dit, le"dieu à 4 dimensions" verrait le cube de tout à l’heure immensément allongé dans la direction du temps. Pour qu’il lui apparaisse comme parfaitement hypercubique, il n’aurait du apparaître que pendant 1/300'000'000 de seconde.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que le temps soit une dimension “comme les autres”. Les 2 dimensions d’une feuille de papier, tout comme les 3 dimensions de l’espace sont parce qu’on peut mesurer les distances entre des points par le théorème de Pythagore. Vous savez, celui qui dit que la carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.

la diagonale de notre carré à 2 dimensions de côté 1 vaut $\sqrt{1²⁺¹2} = \sqrt{2}$
la diagonale de notre cube à 3 dimensions de côté 1 vaut $\sqrt{1²⁺¹2+1^2} = \sqrt{3}$
mais la diagonale de l’hypercube unité dans l’espace temps vaut-elle vraiment $\sqrt{1²⁺¹2+1²⁺¹2}$, soit 2 ?

Cela revient à la question “comment mesurer la distance entre deux points distincts dans l’espace et le temps ?”

Pour y répondre, nous allons nous intéresser aux cercles et aux sphères plutôt qu’aux cubes, parce que tous les points sur un cercle ont la particularité d’être à la même distance du centre, comme d’ailleurs tous ceux à la surface d’une sphère. C’est même la définition mathématique de ces objets.

Commençons par remarquer que cette distance est toujours positive : le carré de l’hypoténuse ne peut jamais être un nombre négatif.

Maintenant, imaginons une ampoule située sur la Lune à une distance d=300'000 km d’ici et qui s’allume là bas exactement … top ! maintenant. Elle nous paraîtra s’allumer exactement en même temps qu’une ampoule allumée ici t=1 seconde plus tard, autrement dit la “distance à 4 dimensions” d entre les 2 allumages d’ampoules et le “top” est la même.

Disons que le “top” est aux coodonnées (0,0,0,0), l’ampoule qui s’allume sur la Lune est aux coordonnées (x,y,z,0), et l’ampoule dans le labo aux coordonnées (0,0,0, c.t), c étant la vitesse de la lumière et t le temps après lequel on voit l’ampoule s’allumer, 1 seconde dans l’exemple.

On a donc:

\[mathjax\]

$d= c.t =\sqrt{ x^2+y2+z^{2}$, soit: $d}2= c^2.t2 = x^2+y2+z^{2$, ce qui donne la relation : $\boldsymbol{x}2+y^2+z2-c^2.t2 = 0}$

Plus généralement, la distance d entre deux événements situés en (x,y,z,t) et en (x’,y’,z’,t’) dans l’espace-temps s’écrit

d2=(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2 - c2.(t-t’)2

Ce n’est pas une distance euclidienne à cause du signe “moins”, donc le temps n’est pas une dimension “comme les autres”, même après l’avoir transformé en distance grâce à la vitesse de la lumière. L’espace-temps n’est donc pas un , mais un .

A moins que l’on puisse remplacer c par quelque chose qui deviendrait négatif en l’élevant au carré, mais le carré de tous les nombres réels est positif … On ne peut faire intervenir que le nombre imaginaire i, tel que i2=-1 par convention.

Avec cette astuce, la distance devient “euclidienne” parce qu’on peut l’écrire : **d=dx2+dy2+dz2 + c2(**i.dt)2

Mais ceci montre que le temps est une dimension très spéciale car, tout en étant “perpendiculaire” à l’espace, on doit accepter qu’une distance mesurée entre deux événements dans le temps, au carré, correspond à une surface négative : le temps est donc une dimension “imaginaire” de l’espace-temps.

Références:

Voir en 4 dimensions

Tue, 06 Feb 2007 00:00:00 +0000

Cette petite animation montre un “hypercube” à 4 dimensions :

Elle donne un peu le tournis, mais montre que la 4ème dimension est accessible, avec un petit effort d’imagination

Sur cette image, on voit la logique de la construction d’un cube à 0,1,2,3 et 4 dimensions :

Dans un espace à 0 dimensions, il ne peut exister qu’un point.

Un espace à une dimension, c’est une ligne droite. Disons que notre point est à la position “0” de cette droite et étirons le le long de la droite sur une distance que nous appellerons “1”. Nous obtenons un “segment”. Notez que, si on regarde notre ligne depuis “dessus”, on ne voit que le point correspondant à l’espace à 0 dimensions.

Prenons notre segment et étirons le perpendiculairement sur une distance 1 dans un espace désormais à 2 dimensions. Nous obtenons le carré, dont les 4 angles sont aux coordonnées (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1). Notez que si on regarde le carré dans le plan, selon la direction “x” ou selon la direction “y”, le carré nous apparaît comme un segment de l’espace à 1 dimension.

Etirons notre carré dans la direction “z” perpendiculaire à la feuille, nous obtenons le cube à 3 dimensions de côté 1. Pour obtenir les coordonnées des 8 sommets du cube, nous ajoutons simplement la coordonnée z=0 aux 4 sommets du carré dessiné sur la feuille : (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0) et (1,1,0) et ajoutons les 4 sommets qui ont les mêmes coordonnées x et y, mais la coordonnée z=1 pour le carré tiré hors de la feuille : (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1) et (1,1,1). Sur l’image, qui est en “2D” nous avons du ajouter un effet de perspective pour “voir” le cube, car le cube vu dans les directions x, y ou z appraitrait comme un carré à 2 dimensions.

Continuons sans nous poser de questions pour la “4ème dimension” : prenons le cube et étirons le dans une direction “t” perpendiculaire aux 3 directions x,y et z : nous allons obtenir une figure composée d’une cube à la coordonnée t=0 et d’un autre à la coordonnée t=1, chacun des 8 sommets du cube initial étant relié au sommet correspondant de l’autre cube. Les 16 sommets ont les coordonnées (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,1) (1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1). Ces coordonnées correspondent aux nombres de 0 à 15 écrits en binaire, et les arêtes de l’hypercube à 4 dimensions relient 2 points si seul “1 bit” diffère entre leurs coordonnées. C’est la même règle que pour les dimensions 1,2 et 3.

Il reste à faire un peu de perspective pour projeter l’hypercube dans un espace à 3 dimensions, sinon on ne verrait qu’un cube, et à projeter cette projection dans un espace à 3 dimensions pour l’afficher dans une image ou un film.

Reste à se demander à quoi peut correspondre cette “4 ème dimension”. Les physiciens considèrent que le temps est la 4ème dimension de “l’espace-temps” dans lequel nous vivons. Comme je le montrerai dans un , cette dimension n’est pas dans la même direction que la 4ème dimension “cartésienne” utilisée dans l’hypercube, mais elle peut faire l’affaire d’une manière intuitive.

comment placer N points “régulièrement” sur une sphère ?

Wed, 31 Jan 2007 00:00:00 +0000

Cette question est cruciale pour la conception de balles de golf, mais aussi pour certaines fraises, de boules à facettes de discothèque. Et une fois qu’on sait y répondre pour une sphère, on peut s’attaquer aux surfaces quelconques, par exemple pour recouvrir de diamants une montre ou un bijou …

D’abord, il faut définir ce qu’on appelle “régulièrement”. Plusieurs définitions sont possibles, chacune correspondant à un problème et à des méthodes distinctes pour le résoudre :

le “covering” consiste à recouvrir complètement la sphère par des disques de même rayon, appelé “rayon de couverture” (“covering radius” en anglais). Les disques sont donc forcés de se recouvrir partiellement. Mathématiquement on “minimise la distance maximale ’d’ de tout point de la sphère à son voisin le plus proche”. (définition corrigée grâce à )
le “packing” est une petite nuance consistant à “maximiser la distance minimale entre les points”. Autrement dit, l’optimum est atteint lorsqu’on ne peut plus écarter les deux points les plus proches car l’un se rapprocherait davantage d’un troisième point.
le “convex hull” consiste à maximiser le volume du solide convexe défini par les N sommets
la “minimisation de l’énergie potentielle” consiste à minimiser la somme de l’énergie qui serait accumulée dans des ressorts liant chaque paire de points. Les ressorts peuvent être soit linéaire (d’ordre 1), soit quadratiques (ordre 2) ce qui correspond au cas de la répulsion électrostatique de points supposés chargés électriquement.

Intuitivement on “sent” que certaines de ces méthodes devraient donner les mêmes résultats, mais ce n’est pas le cas sauf dans des cas très particuliers.

Solutions exactes

icosaèdre (image Wikipedia)

Le seul problème pour lequel il existe des solutions exactes est le “covering” car en 1943 (seulement….) Fejes Tóth a trouvé la borne du “rayon de couverture” d en fonction de N (voir ) . Il a ainsi enfin été prouvé que :

pour N=4, la disposition optimale correspond aux sommets d’un tétraèdre régulier
pour N=6, aux sommets d’un octaèdre
pour N=8, ce ne sont pas les sommets d’un cube, mais de l’
pour N=12, ce sont les sommets d’un . L’icosaèdre (ci-contre) est formé de 20 triangles équilatéraux égaux
pour N=20, on peut donc projeter sur la sphère les centres des 20 faces de l’icosaèdre, ce qui va avoir de l’importance dans la suite

de plus :

pour N=5, on ne peut pas faire mieux que d’enlever un point de l’octaèdre (N=6)
pour N=7, il faut dessiner sur la sphère des d’angle = 80° (étonnant, 2/9èmes de 360° …)
pour N=9, les triangles sphériques doivent avoir un angle tel que cos(angle)=1/4

et c’est tout pour les solutions démontrées comme optimales ! Les solutions du “packing” et du “convex hull” pour les mêmes valeurs de N semblent être les mêmes, mais on ne l’a jamais prouvé formellement !

Pour toutes les autres valeurs de N, les solutions ne peuvent pas être construites géométriquement, mais seulement par des méthodes approximatives.

Solutions icosahédriques

Pour certaines valeurs de N, on peut construire de “jolis” arrangements “presque” optimaux en utilisant l’intéressante propriété de l’icosaèdre d’être optimal et d’avoir des faces triangulaires équilatérales. En subdivisant une face (qui est un triangle équilatéral) en plus petits triangles équilatéraux puis en projetant les sommets sur la sphère, et en appliquant la “symétrie icosahédrale” consistant à recopier ces points pour chacune des 20 faces de l’icosahèdre, on obtient les formes en “ ” bien connues dans la construction

La page fournit ce type de solutions pour N=60, 72, 80, 90 … 78032. (l’applet n’a plus l’air de marcher, mais il y a du code C permettant de générer les solutions)

Les balles de golf

Pour des raisons aérodynamiques, les ont entre 300 et 450 petites cavités (“dimples” en anglais). C’est le règlement du golf qui impose qui doivent être réparties les plus régulièrement possible, alors que la stabilisation de la balle en vol pourrait être mieux assurée par une balle du type “polara”, ayant des cavités différentes le long d’un équateur.

La plupart des balles de golf existantes sont donc construites par symétrie icosahédrale, en veillant à ce qu’il n’y ait pas de cavité le long d’une ligne pour permettre la réalisation de moules “simples”. Comme on le voit ci-dessous, on peut remplir les faces triangulaires de l’icosaèdre de nombreuses façons, et même jouer sur la dimension des “dimples” pour tenter de compenser des irrégularités :

(illustration tirée du brevet US 4,560,168)

vend un CD contenant plus de 800 brevets relatifs aux balles de golf, la plupart relatifs à la disposition des dimples (images ci-contre) ! Ceci prouve qu’il n’existe pas un N clairement optimal, ni une façon optimale de répartir les points.

Méthodes “empiriques”

présente 3 méthodes qui permettent de placer très rapidement des points à une distance à peu près égale à d les uns des autres, mais il n’est pas garanti que l’on arrive à en placer le nombre N souhaité. Il faut apparemment faire plusieurs essais avec des N’>N pour obtenir éventuellement un nombre N précis. Ces méthodes sont illustrées ci dessous pour N=124, qui ne permet pas une symétrie icosahédrique:

Une consiste à placer les points le long de l’équateur (ou de chaque côté de l’équateur) à une distance d les uns des autres, puis le long de “latitudes” séparées d’une distance d.
la méthode de : elle consiste à placer les points à distance d les uns des autres le long d’une spirale qui va d’un pôle de la sphère à l’autre.
une variante de la précédente basée sur une spirale utilisant le nombre d’or pour éviter toute régularité apparente. Je n’ai pas tout compris, mais cette méthode donne le meilleur résultat “visuel”

La couleur rouge permet de comparer les méthodes : les disques sont réduits jusqu’à être tangents entre eux, et on colore en rouge la différence entre chaque diamètre et le diamètre le plus faible. On constate que la première méthode est systématiquement meilleure que les 2 autres, mais on “voit” qu’elle est encore loin de l’optimum

Référence :

Comment faire 4 triangles équilatéraux avec 6 allumettes ?

Fri, 26 Jan 2007 00:00:00 +0000

“Il faut penser différemment” écrit dans “Les Fourmis” quand il propose ce petit casse-tête.

Quand vous serez convaincu qu’il faut casser les allumettes (interdit!) , reprenez le problème à zéro en chronométrant combien de temps il vous faut pour “penser différemment” .

Le plaisir de l’éclair “haha” combiné à une certaine honte m’avaient frappé après environ 2 minutes. Et vous ?

Vous pouvez aussi lire directement la suite dans laquelle figure la solution, mais ça serait dommage…

\[expand title="cliquer la langue au chat..."\]

Très peu de gens pensent immédiatement en 3D et trouvent la solution : le tétraèdre. La majorité abordent le problème “à plat”, et ne parviennent pas à élargir leur approche et à penser dans l’espace.

Même certains, expérience faite, dont le boulot consiste à convaincre les ingénieurs de quitter leurs outils de dessin 2D pour passer aux outils de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) en 3D …

\[/expand\]