Dimensions | Dr. Goulu

Pourquoi 3 dimensions + 1 temps ?

Sun, 30 Jan 2011 00:00:00 +0000

Dans “ ", traite de la “question bête” d’un lecteur de son livre qui se demande à quoi ressemblerait l’univers si le temps avait plus d’une dimension, et plus généralement, si la vie serait imaginable dans un univers à N≠3 dimensions. Voici quelques idées qu’il y développe, additionnées des miennes sur ce sujet.

La vie dans un espace à 2 dimensions (+1 temps) a été imaginée dès 1884 dans “ ” , une allégorie purement géométrique dont a été tiré en 2007 :

Un siècle plus tard, A.K. Dewdney a traité de manière beaucoup plus “scientifique” la physique, la chimie et la biologie dans “ ” , répondant au passage à une objection de Dave Goldberg : oui, il est possible de croiser deux fils dans le Planivers, , donc de réaliser des ordinateurs en 2D, comme le montre également le “ ” qui est une machine “ ”

Un univers à N=1 dimension (+1 temps) n’est pas imaginable en physique, mais du point de vue artistique j’aime beaucoup “la Linea” de mon enfance, un dessin animé minimaliste en “1½ D” avec interventions ponctuelles d’un Créateur tridimensionnel :

A propos d’un univers à (+1 temps toujours), Dave Goldberg mentionne un fait que je n’avais pas réalisé : l’action des forces n’y diminue pas comme l’inverse du carré de la distance comme dans notre univers, mais comme l’inverse du cube de la distance. Ceci fait notamment qu’aucune planète à 4 dimensions ne peut décrire une orbite stable autour de son soleil hypersphérique. Le problème ne s’arrangeant pas en augmentant les dimensions il faut se rendre à l’évidence : un univers “fertile”, où la complexité peut se développer jusqu’à permettre des formes de vie ne peut avoir que N=3 dimensions, ou à la rigueur 2.

Plus une seule dimension de temps, toujours. Quelle que soit la “ ” on n’y coupe pas : au niveau macroscopique bien décrit par la relativité d’Albert, le , au sens mathématique des nombres complexes. Evidemment, sans temps un univers serait désespérément statique et sans intérêt.

Mais peut-on imaginer un temps à plus d’une dimension ? Mathématiquement ça ne pose pas trop de problèmes et les caractéristiques de tels univers ont été étudiées, notamment par . Son très intéressant article soulève la difficulté majeure posée par un univers à plusieurs dimensions de temps :

Si un observateur est capable d’utiliser sa conscience de soi et des capacités de traitement de l’information, les lois de la physique doivent être telles qu’il puisse faire au moins certaines prédictions. Plus précisément, au sein du cadre d’une théorie des champs, en mesurant diverses valeurs de champ à proximité, il faut qu’il ait la possibilité de calculer les valeurs de champ à certains points plus éloignés de l’espace-temps (ceux se trouvant le long de la ligne de son monde à venir sont particulièrement utiles) avec une marge d’erreur finie. Si ce type de causalité bien définie était absente, alors non seulement il n’y aurait aucune raison pour que cet observateur ait une conscience de soi, mais il semble très peu probable que des systèmes de traitement de l’information tels que les ordinateurs ou le cerveau puisse exister.

Or justement cette prédictibilité n’apparaît que si les équations de champ suivent des . Et Tegmark montre que ceci n’est le cas que dans les univers à une seule dimension de temps ou une seule dimension d’espace. S’il y en a plus, l’univers devient totalement imprévisible. Avec un temps à deux dimensions, il est par exemple impossible de donner un rendez-vous à quelqu’un, car si nous contrôlons nos déplacements dans l’espace et pouvons éventuellement les moduler de façon à nous retrouver à un certain moment t1 selon le “temps1” à l’endroit convenu, nous n’aurions pas le moyen de gérer simultanément le “temps2” : l’autre personne suivant une trajectoire dans l’espace-temps différente n’aurait aucun moyen d’arriver au rendez-vous à la fois à la même position spatiale et au au même temps (t1,t2)

Le tableau suivant résume les caractéristiques des univers selon leurs dimensions spatiales et temporelles selon Tegmark:

Notre univers n’est donc pas le résultat d’une expérience menée par des êtres à 4 dimensions, ou de dieux pour lesquels notre temps ne serait qu’une dimension parmi beaucoup d’autres. Nous ne sommes pas manipulés comme “La Linea”, ça soulage…

Le tableau exhibe aussi une jolie symétrie entre entre dimensions spatiales et dimensions temporelles, ce qui laisse espérer un autres univers intéressant, notre “symétrique” à une dimension spatiale et “temps cubique”. Dans cet univers, la physique des particules n’autorise que l’existence de , des particules très hypothétiques dans notre univers mais liées à la théorie des cordes, laquelle postule l’existence de dimensions “bouclées” à très petite échelle en plus des dimensions spatiales. Dès qu’on vérifie leur existence expérimentalement j’écris un article là dessus, promis.

Références:

Dave Goldberg, Jeff Blomquist (2010). A User's Guide to the Universe: Surviving the perils of black holes, time paradoxes, and quantum uncertainty. Wiley.
Edwin Abbott Abbott (1885). Flatland: A Romance of Many Dimensions. Roberts brothers. (texte intégral en )
A.K. Dewdney (1985). le Planivers: Contact informatique avec un monde à deux dimensions. Londreys.
Max Tegmark, “ ”, 1997, , DOI

Dimensions

Sun, 05 Oct 2008 00:00:00 +0000

" " est un film sur la géométrie et en particulier sur la notion clé de dimension.

Diffusé sous licence “Creative Commons” et donc disponible gratuitement, vous pouvez soit le soit le regarder directement .

“ ” est divisé en 9 chapitres permettant d’aborder progressivement des notions de plus en plus avancées.

Ca avec la cartographie et la notion de projection : comment représenter la sphère terrestre sur un plan
On avec Escher, artiste géomètre ( ) et , qui permet d’illustrer la notion de dimension supérieure en décrivant ce que verraient des êtres à 2 dimensions si un objet à 3 dimensions traversait leur univers.
Les chapitres 3 et 4 présentent la 4ème dimension d’une façon plus complète et mieux illustrée que . J’y ai surtout appris l’existence d’un illustre compatriote de plus : et découvert la puissance insoupçonnée de la projection stéréographique.
Les nombres complexes font l’objet des , peu intéressants si vous maitrisez déjà le sujet. Dans ce cas sautez au milieu du chapitre 6 ou on présente les transformations, puis la “dynamique holomorphe” qui donne naissance aux célèbres fractales de Julia et Mandelbrot, entre autres.
Les présentent quelques notions de topologie, dont la fibration de Hopf. Là par contre, le contenu est très dense, il faudra que je revoie ce sujet au ralenti pour pouvoir prétendre avoir tout compris… Heureusement, j’ai pu me raccrocher aux et aux
Le est un peu particulier : il traite de la preuve en mathématiques et démontre de façon illustrée mais rigoureuse la propriété essentielle de la projection stéréographique : elle transforme un cercle tracé sur la sphère, qui ne passe pas par le pôle nord en un cercle tracé dans le plan tangent au pôle sud.

“ ” est un film très instructif et bien fait, à voir pour réviser vos bases de géométrie ou pour les développer un peu.

Le temps, une 4ème dimension imaginaire

Wed, 07 Feb 2007 00:00:00 +0000

photo d’arrigoceramista sur flickr

Dans “ ”, je montre comment un cube peut aider à se représenter une 4ème dimension spatiale facilement.

Ce deuxième article explique pourquoi le temps, la 4ème dimension de l’ dans lequel nous vivons, n’est pas une dimension spatiale comme les 3 autres, mais une dimension , au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !

Imaginez qu’un cube de côté égal à 1 mètre surgisse du néant devant vous et disparaisse tout aussi soudainement 1 seconde plus tard. Le cube a donc été “étiré” dans la dimension du temps sur une distance de 1 seconde, et si vous êtes un “dieu” pour qui le temps est une dimension comme les autres, vous verriez cet événement comme un hypercube flottant dans un espace à 4 dimensions tel que décrit dans .

Mais le temps est-il une dimension “comme les autres” ? Le fait qu’on mesure le temps en secondes et les distances en mètres nous met sur la piste d’une différence fondamentale, qui tient à la manière dont on mesure les distances dans un espace.

Comment faire si une dimension ne se mesure pas dans les mêmes unités que les autres ? L’idéal serait de trouver un moyen de convertir les secondes en mètres. Et c’est ce qu’a fait Albert Einstein entre autres, en montrant que la vitesse de la lumière appelée “c” est une constante absolue, parce que justement elle mesure le rapport entre l’espace et le temps en chaque point de l’Univers : 1 seconde vaut 300'000 km.

Autrement dit, le"dieu à 4 dimensions" verrait le cube de tout à l’heure immensément allongé dans la direction du temps. Pour qu’il lui apparaisse comme parfaitement hypercubique, il n’aurait du apparaître que pendant 1/300'000'000 de seconde.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que le temps soit une dimension “comme les autres”. Les 2 dimensions d’une feuille de papier, tout comme les 3 dimensions de l’espace sont parce qu’on peut mesurer les distances entre des points par le théorème de Pythagore. Vous savez, celui qui dit que la carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.

la diagonale de notre carré à 2 dimensions de côté 1 vaut \(\sqrt{1²⁺¹2} = \sqrt{2}\)
la diagonale de notre cube à 3 dimensions de côté 1 vaut \(\sqrt{1²⁺¹2+1^2} = \sqrt{3}\)
mais la diagonale de l’hypercube unité dans l’espace temps vaut-elle vraiment \(\sqrt{1²⁺¹2+1²⁺¹2}\), soit 2 ?

Cela revient à la question “comment mesurer la distance entre deux points distincts dans l’espace et le temps ?”

Pour y répondre, nous allons nous intéresser aux cercles et aux sphères plutôt qu’aux cubes, parce que tous les points sur un cercle ont la particularité d’être à la même distance du centre, comme d’ailleurs tous ceux à la surface d’une sphère. C’est même la définition mathématique de ces objets.

Commençons par remarquer que cette distance est toujours positive : le carré de l’hypoténuse ne peut jamais être un nombre négatif.

Maintenant, imaginons une ampoule située sur la Lune à une distance d=300'000 km d’ici et qui s’allume là bas exactement … top ! maintenant. Elle nous paraîtra s’allumer exactement en même temps qu’une ampoule allumée ici t=1 seconde plus tard, autrement dit la “distance à 4 dimensions” d entre les 2 allumages d’ampoules et le “top” est la même.

Disons que le “top” est aux coodonnées (0,0,0,0), l’ampoule qui s’allume sur la Lune est aux coordonnées (x,y,z,0), et l’ampoule dans le labo aux coordonnées (0,0,0, c.t), c étant la vitesse de la lumière et t le temps après lequel on voit l’ampoule s’allumer, 1 seconde dans l’exemple.

On a donc:

\[mathjax\]

\(d= c.t =\sqrt{ x^2+y2+z^{2}\), soit: \(d}2= c^2.t2 = x^2+y2+z^{2\), ce qui donne la relation : \(\boldsymbol{x}2+y^2+z2-c^2.t2 = 0}\)

Plus généralement, la distance d entre deux événements situés en (x,y,z,t) et en (x’,y’,z’,t’) dans l’espace-temps s’écrit

d2=(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2 - c2.(t-t’)2

Ce n’est pas une distance euclidienne à cause du signe “moins”, donc le temps n’est pas une dimension “comme les autres”, même après l’avoir transformé en distance grâce à la vitesse de la lumière. L’espace-temps n’est donc pas un , mais un .

A moins que l’on puisse remplacer c par quelque chose qui deviendrait négatif en l’élevant au carré, mais le carré de tous les nombres réels est positif … On ne peut faire intervenir que le nombre imaginaire i, tel que i2=-1 par convention.

Avec cette astuce, la distance devient “euclidienne” parce qu’on peut l’écrire : **d=dx2+dy2+dz2 + c2(**i.dt)2

Mais ceci montre que le temps est une dimension très spéciale car, tout en étant “perpendiculaire” à l’espace, on doit accepter qu’une distance mesurée entre deux événements dans le temps, au carré, correspond à une surface négative : le temps est donc une dimension “imaginaire” de l’espace-temps.

Références:

Voir en 4 dimensions

Tue, 06 Feb 2007 00:00:00 +0000

Cette petite animation montre un “hypercube” à 4 dimensions :

Elle donne un peu le tournis, mais montre que la 4ème dimension est accessible, avec un petit effort d’imagination

Sur cette image, on voit la logique de la construction d’un cube à 0,1,2,3 et 4 dimensions :

Dans un espace à 0 dimensions, il ne peut exister qu’un point.

Un espace à une dimension, c’est une ligne droite. Disons que notre point est à la position “0” de cette droite et étirons le le long de la droite sur une distance que nous appellerons “1”. Nous obtenons un “segment”. Notez que, si on regarde notre ligne depuis “dessus”, on ne voit que le point correspondant à l’espace à 0 dimensions.

Prenons notre segment et étirons le perpendiculairement sur une distance 1 dans un espace désormais à 2 dimensions. Nous obtenons le carré, dont les 4 angles sont aux coordonnées (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1). Notez que si on regarde le carré dans le plan, selon la direction “x” ou selon la direction “y”, le carré nous apparaît comme un segment de l’espace à 1 dimension.

Etirons notre carré dans la direction “z” perpendiculaire à la feuille, nous obtenons le cube à 3 dimensions de côté 1. Pour obtenir les coordonnées des 8 sommets du cube, nous ajoutons simplement la coordonnée z=0 aux 4 sommets du carré dessiné sur la feuille : (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0) et (1,1,0) et ajoutons les 4 sommets qui ont les mêmes coordonnées x et y, mais la coordonnée z=1 pour le carré tiré hors de la feuille : (0,0,1), (0,1,1), (1,0,1) et (1,1,1). Sur l’image, qui est en “2D” nous avons du ajouter un effet de perspective pour “voir” le cube, car le cube vu dans les directions x, y ou z appraitrait comme un carré à 2 dimensions.

Continuons sans nous poser de questions pour la “4ème dimension” : prenons le cube et étirons le dans une direction “t” perpendiculaire aux 3 directions x,y et z : nous allons obtenir une figure composée d’une cube à la coordonnée t=0 et d’un autre à la coordonnée t=1, chacun des 8 sommets du cube initial étant relié au sommet correspondant de l’autre cube. Les 16 sommets ont les coordonnées (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,1) (1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1). Ces coordonnées correspondent aux nombres de 0 à 15 écrits en binaire, et les arêtes de l’hypercube à 4 dimensions relient 2 points si seul “1 bit” diffère entre leurs coordonnées. C’est la même règle que pour les dimensions 1,2 et 3.

Il reste à faire un peu de perspective pour projeter l’hypercube dans un espace à 3 dimensions, sinon on ne verrait qu’un cube, et à projeter cette projection dans un espace à 3 dimensions pour l’afficher dans une image ou un film.

Reste à se demander à quoi peut correspondre cette “4 ème dimension”. Les physiciens considèrent que le temps est la 4ème dimension de “l’espace-temps” dans lequel nous vivons. Comme je le montrerai dans un , cette dimension n’est pas dans la même direction que la 4ème dimension “cartésienne” utilisée dans l’hypercube, mais elle peut faire l’affaire d’une manière intuitive.