Dame | Dr. Goulu

Le Théorème de Noether a un siècle

Sat, 23 Jun 2018 00:00:00 +0000

Emmy Noether

Il y a pile un siècle, en 1918, la mathématicienne Emmy Noether publia un résultat si important pour la physique qu’Einstein le qualifia de “monument de la pensée mathématique”.

En deux mots, le théorème de Noether relie les lois de conservation à la symétrie des lois de la physique.

Les lois de conservation

Depuis quelques siècles, les scientifiques se sont aperçus que certaines propriétés d’un système physique restent constantes lors de ses transformations, donnant naissance à autant de .

La plus connue est certainement le :

… car rien ne se crée, ni dans les opérations de l’art, ni dans celles de la nature, et l’on peut poser en principe que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l’opération ; que la qualité et la quantité des principes est la même, et qu’il n’y a que des changements, des modifications.

mais il n’est pas exact. Il semblait très valable jusqu’à la découverte de la radioactivité et de la relativité, qui permettent à la masse de varier. Mais en y incorporant le fameux E=m.c² , c’est devenu le fameux principe de .

Le principe de conservation de la est encore plus ancien, déjà mentionné par Galilée au XVIIème siècle. On l’appelle plutôt “ actuellement : en l’absence de forces, les corps tendent à poursuivre leur trajectoire en ligne droite, à vitesse constante.

Le principe de est encore moins intuitif, mais tout aussi réel:

A ces trois lois de la mécanique classique s’ajoutent la et celle du en électromagnétisme, et en physique des particules, la et celles du et du décrivent les transformations “autorisées” des particules.

Ce paragraphe, mais aussi le jargon courant des physiciens, mélange allègrement les notions de “ ” et de “ ”. C’est un premier effet du théorème de Noether : historiquement un principe est une “loi apparente qu’aucune expérience n’a invalidée jusque-là bien qu’elle n’ait pas été démontrée.” Mais justement, Emmy Noether a démontré que ces principes découlent de la symétrie, et peuvent donc être considérés comme des lois.

La symétrie en physique

En mathématiques, la est une notion : elle inclut toutes les transformations qui préservent la “structure” d’un objet. En géométrie, les translations et rotations sont aussi des symétries, et comme l’avait pressenti en 1894, cette notion peut être étendue à la physique :

Je pense qu’il y aurait intérêt à introduire dans l’étude des phénomènes physiques les considérations sur la symétrie familières aux cristallographes.
\[…\]
Les physiciens utilisent souvent les conditions données par la symétrie, mais négligent généralement de définir la symétrie dans un phénomène.
\[…\]
Deux milieux de même dissymétrie ont entre eux un lien particulier, dont on peut tirer des conséquences physiques.

En effet, une symétrie correspond mathématiquement à un , qui est une généralisation d’une d’un ensemble dans lui-même. Quand cet ensemble est l’ , on retrouve les symétries géométriques, mais on peut aussi considérer comme ensemble le champ électrique ou l’ dans lequel les définissent des symétries.

Ainsi par exemple la “symétrie par translation dans le temps” est la façon scientifique de dire que si on ne lui fait rien subir pendant une seconde, une patate reste une patate.

Emmy et son théorème

Née en 1882, est la fille du mathématicien , très connu alors. Très douée, elle renonce à devenir enseignante de français ou d’anglais pour étudier les maths. Après une thèse en 1907, elle travaille bénévolement à l’Université d’Erlangen car les femmes ne peuvent y obtenir un poste. Repérée par LE (né à …), elle le rejoint à l’Université de Göttingen (où là non plus, elle n’est pas acceptée comme professeur(e)…) en 1915.

En fait Hilbert l’a invitée pour profiter de son expertise en pour l’aider à éclaircir certains aspects mathématiques de la d’Einstein, publiée également en 1915. Hilbert avait remarqué la relativité semblait violer le principe de la conservation de l’énergie, l’énergie gravitationnelle pouvant elle-même créer une force d’attraction*. Noether fournit une explication de ce paradoxe, et développa à cette occasion son fameux qu’elle en 1915, mais ne publia qu’en 1918 .

À la réception de son travail, Einstein écrivit à Hilbert :

J’ai reçu hier de Mademoiselle Noether un article fort intéressant sur les invariants. J’ai été impressionné par le degré de généralité apporté par cette analyse. La vieille garde à Göttingen devrait prendre des leçons de Mademoiselle Noether ; elle semble maîtriser le sujet !

Après ça, elle a finalement été nommée , mais toujours pas professeur(e) …

Alors que dit-il finalement, ce fameux théorème ? Il dit :

À toute transformation infinitésimale qui laisse le d’un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Autrement dit : si une transformation ne change pas les lois de la physique (qui peuvent s’écrire sous la forme d’un **), alors il existe une valeur mesurable qui reste constante quelle que soit cette transformation.

Le théorème de Noether démontre donc mathématiquement l’équivalence entre le fait que les lois de la physique restent constantes selon certaines transformations et l’existence de lois de conservation correspondantes !

Par exemple, puisque nous pouvons faire des expériences qui donnent le même résultat quelle que soit notre orientation dans l’espace (c’est le cas car l’espace est , alors il existe une grandeur qui se conserve lorsqu’un système est en rotation. Cette grandeur bien connue des patineuses est le

Voici toutes les lois de conservation et leurs symétries correspondantes:

Propriété du	Symétrie	Invariant
Espace homogène	Invariance par dans l’espace	Conservation de l’ ,
Espace isotrope	Invariance par rotation dans l’espace
Système indépendant du temps	Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps)
Pas d’identité propre des particules	Permutation de particules identiques	,
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées	Invariance par changement de phase	Conservation de la

L’héritage

Chassée par les nazis, Emmy Noether a poursuivi sa carrière aux Etats-Unis où elle décède en 1935 déjà, à 53 ans, des suites d’une opération. Elle n’a donc pas vu la notoriété de son résultat augmenter spectaculairement dès les années 1970. Comme souvent, il faut quelques temps aux travaux géniaux pour être reconnus :

Nombre de mentions d’Emmy Noether dans la littérature (Google NGrams)

C’est que le théorème de Noether est devenu un outil fondamental de la physique théorique, non seulement à cause de l’éclairage qu’il apporte aux lois de conservation, mais aussi comme une méthode de calcul effective. De plus, il facilite l’étude de nouvelles théories : si une telle théorie possède une symétrie, le théorème garantit l’existence d’un invariant, lequel doit être expérimentalement observable.

Pour “la vie de tous les jours” la leçon à retenir est qu’Emmy Noether a démontré que ! “L’énergie pure”, ça n’existe pas. L’ est juste un nombre qui reste constant lors de toutes les transformations possibles d’un système, et ce nombre existe parce que les lois de la physique ne varient pas dans le temps (= “invariance par translation dans le temps”).

Voilà donc une 4ème et excellente raison de et à tous les doux rêveurs de systèmes “surunitaires” qui produiraient (conditionnel) plus d’énergie qu’ils en consomment (présent):

Si ! Le est démontré depuis un siècle, et par une dame en plus !

Notes :

* j’ai repris plusieurs passages de n’ayant pas pu mieux dire…

** le théorème de Noether a été “facilement” étendu aux plus utilisés en mécanique quantique, physique statistique etc.

Références

Lavoisier, Traité élémentaire de chimie , 1789
Pierre Curie, « Sur la symétrie dans les phénomènes physiques : Symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique », Journal de Physique théorique et appliquée, 3e série, vol. 3,‎ septembre 1894, p. 393-417 DOI>
Noether, E.. “Invariante Variationsprobleme.” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1918 (1918): 235-257. .
Kosman-Schwarzbach, Y. (2004). Les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXe siècle (avec une traduction de l’article original : “ Invariante Variationsprobleme ”). _Book. Éd. de l’École polytechnique. Retrieved from
Noether, E., & Tavel, M. A. (2005). Invariant Variation Problems. DOI>
Kosmann-Schwarzbach, Y. (2011). The Noether Theorems. (J. Z. Buchwald, J. L. Berggren, C. Fraser, T. Sauer, & A. Shapiro, Eds.), _Book. Springer.DOI>
Philippe Etchecopar, “Emmy Noether, mathématicienne (1882-1935)”
Irène, “ ” sur Podcast Science

La première boucle

Sun, 26 Jun 2016 00:00:00 +0000

Comme d’autres sources fort sérieuses, Sirtin a récemment fait remonter l’origine de l’informatique aux métiers à tisser Jacquard, “programmables” par cartes perforées au tout début du XIXème siècle déjà . Pour ma part je n’adhère pas à cette filiation car les métiers Jacquard ne connaissaient pas la notion de : si on voulait qu’ils tissent 123 fois un motif, il fallait répéter 123 fois la même séquence de petits trous sur les cartes perforées. Autrement dit ces cartes perforées ne contenaient pas un programme mais des données pour un lecteur qui ne faisait que commander des éléments mécaniques indépendants.

Une idée fondatrice de la programmation, c’est de pouvoir coder “répète 123 fois ceci:”, et que la machine ait un moyen de compter jusqu’à 123, ce qui implique l’existence d’une mémoire dont le contenu est modifié par les instructions du programme. Comme l’a très bien exprimé Alan Perlis dans un de ses :

Un programme sans boucle et sans structure de données ne vaut pas la peine d’être écrit.

Ada, en tenue de geek de 1836

Alors qui a écrit le premier programme valant la peine d’être écrit, la première boucle ? C’est . Parfaitement : une femme . Et ceci bien avant qu’ ne propose sa , dont l’intérêt est surtout théorique.

Au contraire, Ada Lovelace a travaillé avec sur un problème bien pratique : établir des tables nautiques, astronomiques et mathématiques exactes en automatisant leur calcul, car à l’époque ces tables calculées à la main étaient truffées d’erreurs. Des comme la ou la “multiplicatrice” de facilitaient déjà le travail, mais Babbage voulut construire une “ ” capable de produire des tables en évaluant des polynômes de manière itérative. Tout en la construisant, il se lança dans la conception d’une “ ” réellement programmable, et dotée notamment d’une mémoire et d’un mécanisme de qui permettait l’exécution de boucles. Un hardware au sens propre : tout en rouages et cames propulsées à la vapeur…

Et c’est Ada Lovelace qui s’est attaquée au “software”. Imaginez que vous soyez à sa place et que vous disposiez de la première et unique calculatrice programmable de l’histoire, qui coûte des millions de livres de l’époque et dont la fiabilité précaire rend chaque opération précieuse. Que proposez-vous comme programme qui “vaut la peine d’être écrit” ? Certainement pas for i=1 to 100:print i; ni les nombres de Fibonacci ou les nombres premiers qu’on connait déjà. Ce qu’Ada a choisi pour le premier programme de l’histoire, c’est de calculer les dont je vous ai . Pourquoi ? Parce qu’avec eux et la on peut calculer plein de tables et d’intégrales utiles.

Lady Ada a donc écrit le premier programme utile de l’histoire, que voici , :

Les boucles sont indiquées par les accolades dans les premières colonnes et par le texte “here follows a repetition of Operations thirteen to twenty-three”. La fameuse “Note G” rédigée par Ada Lovelace au base de montre clairement qu’elle a inventé les notions de variables et de boucle en programmation:

It will be perceived that every unit added to n in B2_n_-1, entails an additional repetition of operations (13…23) for the computation of B2_n_-1. Not only are all the operations precisely the same however for every such repetition, but they require to be respectively supplied with numbers from the very_same pairs of columns_; with only the one exception of Operation 21, which will of course need B5 (from V23) instead of B3 (from V22). This identity in the columns which supply the requisite numbers must not be confounded with identity in the values those columns have upon them and give out to the mill. Most of those values undergo alterations during a performance of the operations (13…23), and consequently the columns present a new set of values for the next performance of (13…23) to work on

fonction de calcul des nombres de Bernoulli en Javascript langage ADA, par S. Goodwin [4)

Et accessoirement que Madame Lovelace commentait son code en prose intelligible, une habitude qui se perd. Exemple : le code ci-contre qui calcule les nombres de Bernoulli en et hélas pas en , baptisé ainsi en l’honneur de la première véritable programmeuse de l’histoire.

Mais on l’a longtemps oubliée car son code n’a hélas jamais pu être exécuté : la machine analytique de Babbage avait trop de frottements, trop d’imprécisions mécaniques, elle n’a jamais fonctionné…

Le premier calculateur réellement programmable ayant fonctionné est, n’en déplaise aux cow-boys, allemand. Le de a été construit en 1941 et détruit lors d’un bombardement en 1943, mais entre deux il a été utilisé pour calculer des choses et donné naissance au premier “vrai” langage de programmation de l’histoire : . Cependant, le Z3 ne permettait pas le qui semble aujourd’hui indispensable à toute boucle utile. Mais comme expliqué dans et , le Z3 était bel et bien grâce à deux horribles magouilles:

on pouvait assigner le résultat binaire d’un test à une variable, par exemple if i>123 then t=0 else t=1; puis utiliser cette variable pour coder les deux “branches” correspondant au “then” et au “else” en codant des formules comme a=t*x+(1-t)*y; qui fait a=x ou a=y selon la valeur de t
on pouvait effectuer une boucle infinie en scotchant la fin de la bande perforée au début pour qu’elle tourne en rond, et rendre la boucle finie avec un code du genre a=a/t qui ne faisait rien tant que t=1, et provoquait une erreur “division par zéro” quand t=0, ce qui arrêtait la machine. Beark! Mais efficace.

C’est sans aucun doute Konrad Zuse qui a fait tourner la première boucle conditionnelle de l’histoire, mais hélas on ne sait plus quel était le premier programme à utiliser cette possibilité.

page de programme ENIAC par Klara von Neumann

Comme ce sont les vainqueurs qui écrivent l’histoire, je termine en mentionnant tout de même l’ , qui fut la première machine Turing-complète électronique. Conçue par selon l’architecture qui est toujours celle des ordinateurs actuels. Cette machine est la première a être programmable au sens moderne du terme avec mémoire, branchements conditionnels, boucles, et femmes.

En effet, avant chaque calcul, les différentes unités de l’ENIAC doivent être reconfigurées par câblage, une tâche dévolue aux 6 “ ” Kay McNulty, Betty Jennings, Betty Snyder, Marlyn Wescoff, Fran Bilas et Ruth Lichterman. Elles aussi longtemps oubliées par l’histoire, un récent reportage leur rend un hommage mérité. J’en ai retenu une phrase :

“The ENIAC was a son of a bitch to program”

On dit souvent que l’ENIAC a servi au calcul de la bombe atomique. Ca dépend laquelle : , Hiroshima et Nagasaki ont eu lieu en 1945, avant qu’ENIAC soit opérationnelle en 1946. Mais ENIAC a effectivement été utilisée pour le développement des armes nucléaires américaines dans les années 1950. Par exemple le petit bout de code ci-contre provient d’un programme de calcul par la des neutrons diffusés lors de la fission nucléaire. Et ce code est du à , la femme de John. Oui, encore une femme.

Qui ose encore prétendre que l’informatique est un truc de mecs ?

Références

“Le tissage à l’origine de l’informatique ?” , et chez Sirtin
Christian Braesch “ ”
Anne-Marie Kermarrec “ ”, 2015, Binaire, Le Monde
Steven Goodwin “
Eugene Eric Kim, Betty Alexandra Toole, “Lady Ada et le premier ordinateur”, 1999, Pour la science No 261,p 64‑69. (
L. F. Menebrea, “ ” Bibliothèque Universelle de Genève, Octobre 1842, No. 82, ( )
Bram Bruines “ ”, 2010
sur StackOverflow
Raul Rojas" ", 1998
sur
Len Shustek “ ”, 2016