Theorie-Des-Nombres-Premiers | Dr. Goulu

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si intéressants et stupéfiants ?

Fri, 08 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

La réponse de est tout à fait correcte, je voudrais juste y ajouter un élément que j’ai découvert au début de cette année seulement :

Les propriétés étonnantes des nombres premiers pourraient ne pas provenir d’eux-mêmes, mais de la notion de qui les produit.

Il existe en effet d’autres suites de nombres entiers comme les qui ont des propriétés très similaires, comme expliqué dans cet article:

Verna Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis and S. Ulam “On Certain Sequences of Integers Defined by Sieves” Mathematics Magazine Vol. 29, No. 3 (Jan. – Feb., 1956), pp. 117-122 DOI , zbMATH

En passant, l’utilisation des nombres premiers en cryptographie (voir pour une initiation) repose sur le fait qu’il est très rapide de déterminer si un grand nombre est premier ou non , mais très lent de le factoriser s’il ne l’est pas, ce qui revient à déterminer à quel moment le crible élimine ce nombre (il y a des algos plus rapides que le crible “naïf”, mais il faut quand même faire beaucoup d’opérations).

Notes de bas de page

Soit K(n) le nombre de manières d'écrire l'entier n en somme de carrés non nuls. Comment grossit K(n) en fonction de n ?

Wed, 23 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Vous voulez dire ?

contient beaucoup d’informations sur cette suite intéressante,

notamment que la valeur moyenne des K(n), donc $\sum\limits_{n=1}^{\infty}K(n)/n = \pi$

Wow ! Surprenant, mais compréhensible si on réalise que c’est le nombre de points de coordonnées (x,y) entières placés sur un cercle de rayon entier n…

En fait les K(n) augmentent lentement, mais se diluent dans de plus en plus de zéros ( voir )

Existe-t-il une formule efficace qui peut aboutir au prochain (suivant) nombre premier ou le suivant ?

Wed, 12 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Non, mais il existe:

des formules qui donnent des nombres premiers plus souvent qu’en tirant au hasard (ou en suivant) par exemple les nombres de la forme p=3×2^{n-1 (
) ou p = 2}n-1 où n est premier ( )
des méthodes très rapides pour savoir si ces “candidats” sont premiers ou non. Le est le plus utilisé en pratique (= en cryptographie pour générer des clés)
avec ce qui précède, du code assz efficace comme ou

(voir )

En passant, il semblerait que les propriétés étonnantes des nombres premiers soient plus liées au principe de base du crible qu’à leur absence de diviseurs. Voir

Quelle est la proportion de nombres premiers dans les nombres naturels ?

Sat, 18 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le dit que:

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son . Soit

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$

donc autour d’un nombre x, la proportion de nombres premiers est d’environ 1/ln(x) . Par exemple pour la cryptographie on a besoin de nombres premiers de 512 bits soit 154 chiffres décimaux et comme or donne environ 0.003, environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc en trouver n’est absolument pas un problème.

Comment savoir si un nombre est premier ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Avec un . Il en existe deux types:

les “déterministes”, qui donnent un résultat sur et certain, mais demandent beaucoup de temps pour de grands nombres N. Le plus simple est d’essayer de diviser N par tous les nombres premiers jusqu’à $\sqrt{N}$
les “probabilistes” qui sont beaucoup, beaucoup plus rapides. Le plus simple est le . Plus moderne, le est couramment utilisé en cryptographie pour déterminer en une fraction de seconde si un nombre de centaines de chiffres est premier. Puisqu’ils sont “probabilistes” ces tests ont une toute petite probabilité de déclarer premier un nombre qui ne l’est pas. En pratique cette probabilité est plus basse que celle qu’un rayon cosmique fausse le résultat d’un test déterministe pendant son très long calcul, donc le test probabiliste est plus sur que le test déterministe !

Il y a aussi des tests spécialisés pour certains types de nombres, comme le qui est déterministe, mais ne marche que pour les nombres de Mersenne (raison pour laquelle le est toujours un nombre de Mersenne).

Existe-t-il une suite qui correspond aux nombres premiers ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

oui, elle s’appelle :-)

Et contrairement à ce que beaucoup de gens pensent, il existe une formule qui dit si un nombre est premier ou pas:

$f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2$

Par le , $n+1$ est premier si et seulement si $n!{\bmod {(}}n+1)=n$. Donc quand $n+1$ est premier, le premier facteur du produit vaut 1, et la formule produit le nombre premier $n+1$. Mais quand $n+1$ n’est pas premier, ce facteur devient 0 et la formule produit le nombre premier 2.

Cette formule n’est pas efficace du tout pour calculer les nombres premiers, mais elle existe …