Theorie-Des-Ensembles | Dr. Goulu

Comment un ensemble de nombres infinis peut-il être plus grand qu'un autre ensemble infini ?

Fri, 31 Mar 2023 00:00:00 +0000

Réponse publiée

facilement.

Prenez l’ensemble N* des nombres entiers positifs, sans le 0.

N* est infini.

Maintenant appliquez la fonction f(n)=1/n à tous les nombres de N, n=(1,2,3,4…). Tous les f(n) vont constituer un ensemble de nombres (1, 1/2, 1/3, 1/4, …) tout aussi infini que N*, mais :

limité à l’intervalle ]0,1], un tout petit morceau de l’ensemble Z* des rationnels positifs non nuls qui est donc beaucoup plus grand que N*. Par exemple il n’existe aucun n entier tel que 1/n = 4/3
plein de trous, parce qu’une infinité de nombres rationnels dans l’intervalle ]0,1] ne peuvent pas être écrits sous la forme 1/n avec n entier. Par exemple 2/3.

Et pourtant, l’ensemble Z* des rationnels (nombres de la forme a/b avec a et b entiers) est un ensemble tout aussi “dénombrable” que N* parce qu’on peut définir des fonctions comme

$f(a,b) = \frac{(a+b)^2+a+b}{2}+a$

qui vont faire correspondre à chaque élément a/b de l’ensemble Z* un et un seul élément de N*. Autrement dit, on peut numéroter chaque fraction a/b avec un seul nombre entier.

Par contre l’ensemble R des nombres réels n’est pas dénombrable, donc il est vraiment infiniment plus grand que les ensembles N ou Z.

voyez pour une jolie illustration de ceci

Est-ce que l'infinité est égale à elle-même ?

Fri, 10 Sep 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

si vous aviez demandé “Est-ce qu’une infinité est égale à elle-même ?” j’aurais dit oui, mais votre question suggère qu’il n’y a qu’une infinité, alors non.

Par exemple dans : $\lim_{x \rightarrow 0} 1/x = \lim_{x \rightarrow 0} 1/x$

on a la“même infinité” des deux côtés du signe égal.

Mais en maths il y a plein d’infinités différentes et par exemple $\lim_{x \rightarrow 0} 1/x \neq \lim_{x \rightarrow 0} 1/x^2$

et même des infinités infiniment plus grandes que d’autres. Regardez ça, vous verrez l’infini qu’un autre oeil après :

La théorie des ensembles ZF ou ZFC a-t-elle servit à quelque chose et c'est quoi cette chose ?

Sun, 07 Feb 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui, elles ont servi à éviter les paradoxes de la logique découverts au début du 20ème siècle, et à reformaliser les mathématiques sur des bases plus solides.

définit les axiomes de la théorie des ensembles sur laquelle sont construites les mathématiques usuelles, notamment en introduisant l'

(qui donne la théorie ZFC).

Cette revolution des bases des maths a ouvert la voie à des résultats fondamentaux comme les

Si ce sujet vous intéresse, je vous recommande

Comment caractériser le plus grand réel positif qui n'est naturellement pas infini ?

Sun, 24 Jan 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Grâce à mon génial prof de maths Zinzin qui comptait " 0, 1, e, pi, 1548, beaucoup" , je l’appelle “beaucoup”.

Ca me parait suffisamment clair, et moins perturbant que l’infini : combien y-a-t ‘il de photons dans l’Univers ? Beaucoup. Quel est le rayon de l’Univers observable en longueurs de Planck ? Beaucoup.

Sinon il y a des notations spécialement adaptées à l’écriture de nombres contenant beaucoup de chiffres, donc encore plus grands que beaucoup, voir

Notes de bas de page

La théorie des infinis de Cantor est-elle prise au sérieux par les philosophes et mathématiciens modernes ?

Sun, 30 Aug 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Pour les matheux :

Au xxie siècle, la valeur des travaux de Cantor n’est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de , à l’exception d’une partie du qui s’inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé

( Wikipédia)

Les philosophes, on s’en tape. Une fois de plus la rigueur scientifique a mis fin à leur verbiage sur un sujet qui leur a tenu la grappe pendant des siècles sans resultat.