Theorie-Analytique-Des-Nombres | Dr. Goulu

À quoi sert le nombre de Graham ?

Mon, 10 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Voici un petit problème de maths:

Soit un de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un à $2^n$sommets. Si l’on colorie chacune des $2^{n–1}$arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que, pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet sur quatre sommets ?

On ne connaît pas la solution de ce problème, mais a montré en 1977 que n était inférieur à un nombre énorme , le “ , qui a longtemps été le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.

Depuis on a réduit le “majorant” pour le problème ci-dessus, mais d’autres problèmes comme le ont nécessité d’utiliser des nombres encore plus grands.

Sur les notations utilisées pour écrire ces nombres, voir

Soit K(n) le nombre de manières d'écrire l'entier n en somme de carrés non nuls. Comment grossit K(n) en fonction de n ?

Wed, 23 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Vous voulez dire ?

contient beaucoup d’informations sur cette suite intéressante,

notamment que la valeur moyenne des K(n), donc $\sum\limits_{n=1}^{\infty}K(n)/n = \pi$

Wow ! Surprenant, mais compréhensible si on réalise que c’est le nombre de points de coordonnées (x,y) entières placés sur un cercle de rayon entier n…

En fait les K(n) augmentent lentement, mais se diluent dans de plus en plus de zéros ( voir )

Comment démontre-t-on qu'un nombre est univers ?

Sat, 10 Aug 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Selon on ne connaît pas de méthode générale. Les nombres univers (plus généraux que les normaux) connus le sont par construction.

Il semblerait que Borel, É. “Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.” Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909. Démontre que presque tous les nombres sont normaux à l’aide de la .

Ce que j’ai de la peine à accepter est que la normalité d’un nombre dépende de la base dans laquelle il est exprimé. Ainsi pi à été démontré normal en base 2 et en base 16, mais pas encore en base 10…

Existe-t-il une formule efficace qui peut aboutir au prochain (suivant) nombre premier ou le suivant ?

Wed, 12 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Non, mais il existe:

des formules qui donnent des nombres premiers plus souvent qu’en tirant au hasard (ou en suivant) par exemple les nombres de la forme p=3×2^{n-1 (
) ou p = 2}n-1 où n est premier ( )
des méthodes très rapides pour savoir si ces “candidats” sont premiers ou non. Le est le plus utilisé en pratique (= en cryptographie pour générer des clés)
avec ce qui précède, du code assz efficace comme ou

(voir )

En passant, il semblerait que les propriétés étonnantes des nombres premiers soient plus liées au principe de base du crible qu’à leur absence de diviseurs. Voir

Quelle est la proportion de nombres premiers dans les nombres naturels ?

Sat, 18 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le dit que:

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son . Soit

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$

donc autour d’un nombre x, la proportion de nombres premiers est d’environ 1/ln(x) . Par exemple pour la cryptographie on a besoin de nombres premiers de 512 bits soit 154 chiffres décimaux et comme or donne environ 0.003, environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc en trouver n’est absolument pas un problème.

Existe-t-il une suite qui correspond aux nombres premiers ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

oui, elle s’appelle :-)

Et contrairement à ce que beaucoup de gens pensent, il existe une formule qui dit si un nombre est premier ou pas:

$f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2$

Par le , $n+1$ est premier si et seulement si $n!{\bmod {(}}n+1)=n$. Donc quand $n+1$ est premier, le premier facteur du produit vaut 1, et la formule produit le nombre premier $n+1$. Mais quand $n+1$ n’est pas premier, ce facteur devient 0 et la formule produit le nombre premier 2.

Cette formule n’est pas efficace du tout pour calculer les nombres premiers, mais elle existe …