Theoreme-Des-Nombres-Premiers | Dr. Goulu

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si intéressants et stupéfiants ?

Fri, 08 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

La réponse de est tout à fait correcte, je voudrais juste y ajouter un élément que j’ai découvert au début de cette année seulement :

Les propriétés étonnantes des nombres premiers pourraient ne pas provenir d’eux-mêmes, mais de la notion de qui les produit.

Il existe en effet d’autres suites de nombres entiers comme les qui ont des propriétés très similaires, comme expliqué dans cet article:

Verna Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis and S. Ulam “On Certain Sequences of Integers Defined by Sieves” Mathematics Magazine Vol. 29, No. 3 (Jan. – Feb., 1956), pp. 117-122 DOI , zbMATH

En passant, l’utilisation des nombres premiers en cryptographie (voir pour une initiation) repose sur le fait qu’il est très rapide de déterminer si un grand nombre est premier ou non , mais très lent de le factoriser s’il ne l’est pas, ce qui revient à déterminer à quel moment le crible élimine ce nombre (il y a des algos plus rapides que le crible “naïf”, mais il faut quand même faire beaucoup d’opérations).

Notes de bas de page

Quelle est la proportion de nombres premiers dans les nombres naturels ?

Sat, 18 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le dit que:

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son . Soit

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$

donc autour d’un nombre x, la proportion de nombres premiers est d’environ 1/ln(x) . Par exemple pour la cryptographie on a besoin de nombres premiers de 512 bits soit 154 chiffres décimaux et comme or donne environ 0.003, environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc en trouver n’est absolument pas un problème.

Existe-t-il une suite qui correspond aux nombres premiers ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

oui, elle s’appelle :-)

Et contrairement à ce que beaucoup de gens pensent, il existe une formule qui dit si un nombre est premier ou pas:

$f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2$

Par le , $n+1$ est premier si et seulement si $n!{\bmod {(}}n+1)=n$. Donc quand $n+1$ est premier, le premier facteur du produit vaut 1, et la formule produit le nombre premier $n+1$. Mais quand $n+1$ n’est pas premier, ce facteur devient 0 et la formule produit le nombre premier 2.

Cette formule n’est pas efficace du tout pour calculer les nombres premiers, mais elle existe …