A quoi ressemblerait une réflexion philosophique (qui ne serait pas fantasmagorique) à propos de la sommation de Ramanujan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donnant −1/12 ?

Wed, 18 Jan 2023 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est totalement hors de portée de la philosophie parce qu’il faut être très clair sur les termes utilisés, et les utiliser avec un formalisme rigoureux.

La version la plus “grand public” est à mon avis celle donnée par à la fin de son article sur Science étonnante :

1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo ∫x.dx

Un philosophe capable de comprendre que la différence entre une somme infinie d’entiers et une divergente peut être finie s’appelle un mathématicien.

Pourquoi la somme des nombres à l'infini est-elle égale à -1/12?

Thu, 11 Nov 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ce n’est pas la somme “normale” des entiers qui donne -1/12 mais leur , que Ramanujan avait noté $(\Re)$ dans ses carnets, sans expliquer ce que c’était tant c’étai évident pour lui :

$$\sum_{k=1}^xf(k) = C + \int_0^x f(t)\,{\rm d}t + \frac12f(x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k - 1)}(x)$$

si vous regardez l’équation pour la fonction identité f(x)=x, vous voyez qu’elle lie la somme des entiers à l’intégrale des entiers.

Comme le montre à la fin de son super article, cette relation (que l’on retrouve en physique ! ) a une signification profonde :

la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de ∫xdx qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. Dans le cas de Casimir, il s’agit bien d’ailleurs du niveau énergétique « de base », quand les plaques sont très éloignées. Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo ∫xdx.

Serie-Divergente | Dr. Goulu

A quoi ressemblerait une réflexion philosophique (qui ne serait pas fantasmagorique) à propos de la sommation de Ramanujan 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donnant −1/12 ?

Pourquoi la somme des nombres à l'infini est-elle égale à -1/12?