Sciences-Mathematiques | Dr. Goulu

À quoi sert le nombre de Graham ?

Mon, 10 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Voici un petit problème de maths:

Soit un de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un à $2^n$sommets. Si l’on colorie chacune des $2^{n–1}$arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que, pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet sur quatre sommets ?

On ne connaît pas la solution de ce problème, mais a montré en 1977 que n était inférieur à un nombre énorme , le “ , qui a longtemps été le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.

Depuis on a réduit le “majorant” pour le problème ci-dessus, mais d’autres problèmes comme le ont nécessité d’utiliser des nombres encore plus grands.

Sur les notations utilisées pour écrire ces nombres, voir

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est le , très mal exprimé.

Ma solution en python est:

def problem_030():
 """Find the sum of all the numbers that can be written as the sum of fifth powers of their digits."""
 candidates = range(2, 6*(9**5))
 return sum(n for n in candidates if sum(x**5 for x in digits(n)) == n)

la fonction digits étant dans ma librairie .

Pourquoi le système temporel est-il si compliqué ? Pourquoi n'est-il pas simplement en base 100 ?

Sat, 28 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Base 100 ? quelle drôle d’idée …

100 ne se divise que par 2,4,5,10,20,25 et 50 soit 7% des nombres inférieurs à 100,

alors que 60 se divise par 2,3,4,5,6,10,12,15,20 et 30, soit 16% des nombres inférieurs à 60, qui est un .

Grâce aux Babyloniens on économise plein de divisions compliquées : la Terre tourne de 360/24 = 15 degrés en une heure, donc de 1 degré en 4 minutes, et d’une minute d’arc en 4 secondes de temps. C’est là qu’ils se sont un peu plantés, en effet.

Ceci pour dire que la mesure du temps est historiquement et pratiquement liée à celle des angles.

Donc si vous proposez de mesurer le temps en base 10 ou 100, il faut faire de même pour les angles. Par exemple en divisant un tour en 400 et alors un jour pourrait durer 400 Meyhas, et la Terre tournera de 1 Grade en 1 Meyha.

Pourquoi pas, mais alors pourquoi ne pas faire un pas supplémentaire en ajoutant $\tau = 2\pi$ à la sauce ?

Les unités qui mettraient tout le monde d’accord sont:

Le qui vaut 1/6400 de tour, parce que la tangente de cet angle est très proche de 1/1000, un truc bien décimal comme vous aimez. (Et moi j’aime 6400 parce qu’il est un peu binaire aussi : 6400=2^{8 x 5}2 , donc on peut le diviser 8 fois en deux, donc faire un rapporteur en pliant du papier )
Le Goulu, nouvelle unité de temps valant 1/6400 de jour soit 13.5 secondes babyloniennes.

Comme ça la Terre tournera de 1 Mil / Goulu … On pourrait même pousser le bouchon plus loin en définissant une unité de longueur plus cohérente avec la vitesse de la lumière, en passant …

C’est décidé : j’ai toujours dit que si on inventait une machine à voyager dans le temps j’irais dans l’avenir voir ce qui se passe, mais je change d’avis : je vais dans le passé expliquer ce qui précède aux Babyloniens.

Notes de bas de page

Pourquoi les équations de physique théorique sont-elles si simples ?

Mon, 02 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Un aspect non (?) développé dans les autres réponses est que les formulations se simplifient avec le temps.

Le paragraphe suivant est tiré d’un ouvrage fondamental de la physique:

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et le sont dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. Si une force produit un mouvement quelconque, une force double de cette première produira un mouvement double, et une force triple un mouvement triple, soit qu’elle ait été imprimée en un seul coup, soit qu’elle l’ait été peu à peu et successivement, et que ce mouvement, étant toujours déterminé du même côté que la force génératrice, sera ajouté au mouvement que le corps est supposé avoir déjà, s’il conspire avec lui; ou en sera retranché s’il lui est contraire, ou bien sera retranché ou ajouté en partie, s’il lui est oblique; et de ces deux mouvements il s’en formera un seul, dont la détermination sera composée des deux premières.

Compris ? Pourtant c’est ainsi que Newton lui-même énonce sa dans ses en 1687 (la traduction française date de 1756). De nos jours, on résume ceci par $F = m.a$

Même le cancre interrogé sur “efégalema” ne parviendra pas à emberlificoter ses explications autant que le grand Newton, pour autant qu’elles soient justes. En 3 siècles, les 803 caractères de la formulation newtonienne destinée à l’élite intellectuelle de son temps ont été réduits à 5 symboles assénés à tous les ados du monde ou presque.

Et ce n’est pas un cas unique. Même $E=mc^2$ est un raccourci de l’article d’Einstein qui disait initialement ;

Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de $L/c^2$

Avec le temps, on développe des formulations “simples” de phénomènes qui ne le sont pas du tout.

(texte partiellement tiré de )

Pourquoi le nombre d'or s'appelle-t-il ainsi ?

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Selon :

C’est durant ce siècle que les termes de « section dorée », puis « nombre d’or » apparaissent. On les trouve dans une réédition d’un livre de mathématiques élémentaires écrit par . L’expression est citée dans une note de bas de page : « Certains ont l’habitude d’appeler la division en deux telles parties une section d’or » Cette réédition fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche son origine est un mystère.

En fait c’est très facile de définir vous-mêmes un “nombre de bois” ou un “nombre de caoutchouc” que vous aimez bien. Mais pas de platine ou de scandium, parce que je l’ai déjà fait : . Donc voilà, Ohm a juste trouvé un nom qu’il trouvait joli.

Le nombre Pi est-il le fruit du hasard ?

Mon, 24 Jun 2019 00:00:00 +0000

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Absolument pas.

$\pi$ est aussi bien défini et déterminé que $2\sqrt{2}$ qui est le rapport du périmètre d’un carré par sa diagonale, et qui a aussi un développement décimal infini.

Une “preuve” est qu’on peut écrire un petit programme de 133 caractères en C:

int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

qui génère 15'000 décimales de pi*. Ca signifie qu’on peut “comprimer” pi d’un facteur 112 (au moins) alors qu’on ne peut pas comprimer une séquence aléatoire de chiffres.

note* : en n’utilisant que des nombres entiers ! voir

Existe-t-il une suite qui correspond aux nombres premiers ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

oui, elle s’appelle :-)

Et contrairement à ce que beaucoup de gens pensent, il existe une formule qui dit si un nombre est premier ou pas:

$f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2$

Par le , $n+1$ est premier si et seulement si $n!{\bmod {(}}n+1)=n$. Donc quand $n+1$ est premier, le premier facteur du produit vaut 1, et la formule produit le nombre premier $n+1$. Mais quand $n+1$ n’est pas premier, ce facteur devient 0 et la formule produit le nombre premier 2.

Cette formule n’est pas efficace du tout pour calculer les nombres premiers, mais elle existe …

Le fait qu'un nombre soit acratopège n'est-il pas une propriété en soi ?

Tue, 23 Apr 2019 00:00:00 +0000

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C’est la première question qui m’a été posée lorsque j’ai chassé les nombres acratopèges et, je crois, inventé l’expression ;-)

D’abord “ ” signifie “sans propriété particulière”, pas sans propriété du tout. D’ailleurs chaque entier est soit pair soit impair, donc il a au moins une propriété.

Encore que “impair” peut se comprendre comme “n’ayant pas la propriété d’être pair”, et il en va de même de beaucoup d’autres propriétés des nombres (premier ou composé, carré ou pas etc.)

Donc voilà : les nombres acratopèges ont des propriétés, mais ils en ont moins que leurs voisins. Ils se retrouvent donc au bas de la désormais célèbre figure du “Fossé de Sloane”

Notes de bas de page

Pourquoi le nombre d'or est-il si important dans nos vies ?

Sun, 07 Apr 2019 00:00:00 +0000

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Il ne l’est absolument pas. Même l’idée qu’il définit “des proportions qui plaisent à l’oeil” ne se vérifie pas expérimentalement. Lequel de ces rectangles vous paraît le mieux proportionné ? :

Si vous avez répondu 5, vous avez la même préférence que les 34% des participants à un sondage identique, mais ce n’est pas un rectangle d’or. Le rectangle d’or, c’est le 2, choisi par 18% des gens, mais aussi le 9, choisi par 5%, soit nettement moins que les 11% de moyenne.

Mais Léonard de Vinci, lui, s’y connaissait, n’est-ce pas ? Tout le monde sait que le nombre d’or se trouve dans son célèbre dessin:

Sauf que non : Les proportions que Vinci utilise pour son célèbre sont celles conseillées par l’architecte romain : 1/10, 1/4, 1/8 et 1/6. Pas trace de phi.

Et dans la nature ? Pas de nombre d’or non plus, désolé.

Où dans la nature peut-on trouver une séquence de Fibonacci ?

Sat, 23 Mar 2019 00:00:00 +0000

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On en trouve deux termes consecutifs en : des graines de tournesol aux pommes de pin, beaucoup de structures botaniques croissent en faisant de jolies spirales apparentes, les “parastiches”. Certaines tournent dans un sens et s’entrecroisent avec d’autres orientées en sens inverse, et le nombre de parastiches dans chaque sens correspond toujours à deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

Mais les plantes ne comptent pas : ces structures sont le résultat d’une optimisation qui se produit aussi avec des processus physiques :

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