Nombres-Naturels | Dr. Goulu

À quoi sert le nombre de Graham ?

Mon, 10 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Voici un petit problème de maths:

Soit un de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un à $2^n$sommets. Si l’on colorie chacune des $2^{n–1}$arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que, pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet sur quatre sommets ?

On ne connaît pas la solution de ce problème, mais a montré en 1977 que n était inférieur à un nombre énorme , le “ , qui a longtemps été le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.

Depuis on a réduit le “majorant” pour le problème ci-dessus, mais d’autres problèmes comme le ont nécessité d’utiliser des nombres encore plus grands.

Sur les notations utilisées pour écrire ces nombres, voir

Quel est le plus grand nombre qu’on peut faire avec 3 chiffres ?

Tue, 14 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Il vaut mieux limiter le nombre de caractères que le nombre de chiffres pour éviter les solutions à rallonge du type 999!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!…

Avec 5 caractères, j’ai 9→9→9 qui utilise la .

Mais à la réflexion $9\uparrow^{9}9$ en est colossalement plus grand, en 4 caractères seulement

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est le , très mal exprimé.

Ma solution en python est:

def problem_030():
 """Find the sum of all the numbers that can be written as the sum of fifth powers of their digits."""
 candidates = range(2, 6*(9**5))
 return sum(n for n in candidates if sum(x**5 for x in digits(n)) == n)

la fonction digits étant dans ma librairie .

Soit K(n) le nombre de manières d'écrire l'entier n en somme de carrés non nuls. Comment grossit K(n) en fonction de n ?

Wed, 23 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Vous voulez dire ?

contient beaucoup d’informations sur cette suite intéressante,

notamment que la valeur moyenne des K(n), donc $\sum\limits_{n=1}^{\infty}K(n)/n = \pi$

Wow ! Surprenant, mais compréhensible si on réalise que c’est le nombre de points de coordonnées (x,y) entières placés sur un cercle de rayon entier n…

En fait les K(n) augmentent lentement, mais se diluent dans de plus en plus de zéros ( voir )

Comment montrer mathématiquement et proprement que la somme des entiers naturels vaut l'infini et pas -1/12 ?

Tue, 08 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on retrouve ce calcul en physique, notamment dans le calcul de l’ ! Donc ce n’est pas n’importe quoi.

Comme le montre dans son excellent article , ça dépend comment on définit la somme de suites infinies, et notamment :

En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de$\int x.dx$ qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. (…)

Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo $\int x.dx$

Edit après découverte lors de : Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la qui correspond exactement à ce qui précède !

Notes de bas de page

Quel est l'index du nombre de Fibonacci qui se termine par 314159265?

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

le premier est le 2769265 ème, qui a 578742 chiffres, commençant pas 642823662 et finissant par 314159265. Ce petit programme Python vous l’écrira en entier en 2 secondes environ:

n=314159265
m=10**int(len(str(n)))
from Goulib.math2 import fibonacci
i,a,b=2,1,1
while a!=n:
 a,b=(a+b)%m,a
 i+=1
print(i,n)
a=str(fibonacci(i))
print(len(a),a)

comme vous le voyez il calcule la suite de Fibonacci modulo m=10^9 (car il y a 9 chiffres dans 314159265), puisqu’on ne s’intéresse qu’aux derniers chiffres. Ca permet d’être rapide.

Ensuite il utilise ma fonction de calcul du ième terme par exponentiation rapide, décrite dans l’article ci-dessous pour l’afficher en entier.

Quelle est la proportion de nombres premiers dans les nombres naturels ?

Sat, 18 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le dit que:

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son . Soit

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$

donc autour d’un nombre x, la proportion de nombres premiers est d’environ 1/ln(x) . Par exemple pour la cryptographie on a besoin de nombres premiers de 512 bits soit 154 chiffres décimaux et comme or donne environ 0.003, environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc en trouver n’est absolument pas un problème.

Comment savoir si un nombre est premier ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Avec un . Il en existe deux types:

les “déterministes”, qui donnent un résultat sur et certain, mais demandent beaucoup de temps pour de grands nombres N. Le plus simple est d’essayer de diviser N par tous les nombres premiers jusqu’à $\sqrt{N}$
les “probabilistes” qui sont beaucoup, beaucoup plus rapides. Le plus simple est le . Plus moderne, le est couramment utilisé en cryptographie pour déterminer en une fraction de seconde si un nombre de centaines de chiffres est premier. Puisqu’ils sont “probabilistes” ces tests ont une toute petite probabilité de déclarer premier un nombre qui ne l’est pas. En pratique cette probabilité est plus basse que celle qu’un rayon cosmique fausse le résultat d’un test déterministe pendant son très long calcul, donc le test probabiliste est plus sur que le test déterministe !

Il y a aussi des tests spécialisés pour certains types de nombres, comme le qui est déterministe, mais ne marche que pour les nombres de Mersenne (raison pour laquelle le est toujours un nombre de Mersenne).

Le fait qu'un nombre soit acratopège n'est-il pas une propriété en soi ?

Tue, 23 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

C’est la première question qui m’a été posée lorsque j’ai chassé les nombres acratopèges et, je crois, inventé l’expression ;-)

D’abord “ ” signifie “sans propriété particulière”, pas sans propriété du tout. D’ailleurs chaque entier est soit pair soit impair, donc il a au moins une propriété.

Encore que “impair” peut se comprendre comme “n’ayant pas la propriété d’être pair”, et il en va de même de beaucoup d’autres propriétés des nombres (premier ou composé, carré ou pas etc.)

Donc voilà : les nombres acratopèges ont des propriétés, mais ils en ont moins que leurs voisins. Ils se retrouvent donc au bas de la désormais célèbre figure du “Fossé de Sloane”

Notes de bas de page