Nombres-Mathematiques | Dr. Goulu

Quelle est la classe de complexité de ce problème : trouver la $n$-ième décimale de $\pi$, et pourquoi ?

Wed, 12 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

En base 2 ou base 16, c’est $O(n.log(n)^3)$ en utilisant la fabuleuse

En base 10:

aucune formule réellement efficace n’a été découverte pour calculer le n-ième chiffre de π en base 10. a mis au point en décembre , à partir d’une très ancienne série de calcul de π basée sur les coefficients du , une méthode pour calculer les chiffres en base 10, mais sa complexité en $O(n^3.log(n))$ la rendait en pratique inutilisable. a bien amélioré l’algorithme pour atteindre une complexité en$O(n^2)$, mais cela n’est pas suffisant pour concurrencer les méthodes classiques de calcul de toutes les décimales.

Quel est le plus grand nombre qu’on peut faire avec 3 chiffres ?

Tue, 14 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Il vaut mieux limiter le nombre de caractères que le nombre de chiffres pour éviter les solutions à rallonge du type 999!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!…

Avec 5 caractères, j’ai 9→9→9 qui utilise la .

Mais à la réflexion $9\uparrow^{9}9$ en est colossalement plus grand, en 4 caractères seulement

Le carré de 12 est 144. L'inverse de 144 est 441, c'est à dire le carré de 21, c'est à dire l'inverse de 12. Est-ce un pur hasard ?

Mon, 09 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

A ma grande surprise, la suite définie par dans sa réponse ne figure pas encore dans .

Il y a déjà :

qui contient les carrés qui sont toujours carrés lus à l’envers
qui contient les nombres dont les carrés sont dans A061457.

donc j’ai soumis à l’OEIS la nouvelle série qui devrait s’appeler A330287 après validation. Edit : en fait la suite existait déjà, c’est qui a une définition très différente mais produit les même nombres pour une raison mystérieuse

et j’ai implanté tout ça dans mes :

A000290 = Sequence(None, lambda n: n * n, lambda n: is_square(n), 'squares') #existait déjà

A061457 = A000290.filter(lambda x:is_square(reverse(x)))
A061457.desc = "Numbers n such that n and its reversal are both squares."

A102859 = A061457.apply(isqrt,containf=lambda x:is_square(reverse(x * x)))
A102859.desc = "Numbers that when squared and written backwards give a square again"

A061457=A102859.filter(lambda x:reverse(x) in A102859)

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est le , très mal exprimé.

Ma solution en python est:

def problem_030():
 """Find the sum of all the numbers that can be written as the sum of fifth powers of their digits."""
 candidates = range(2, 6*(9**5))
 return sum(n for n in candidates if sum(x**5 for x in digits(n)) == n)

la fonction digits étant dans ma librairie .

Quel est votre sentiment sur les mauvais nombres ?

Sun, 29 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les nombres mauvais ( ) sont ceux qui ont un nombre pair de 1 dans leur représentation binaire: ( )

0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, 101, 102, 105, 106, 108, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 123, 125, 126, 129 etc

Je n’ai absolument aucun sentiment sur eux.

Quelle est votre manière la plus avancée et la plus compliquée de transformer un nombre en 420.69?

Wed, 17 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

utiliser le génial “ ” pour trouver la formule la plus compliquée pour un nombre ayant les décimales entre 420685 et 420695 .
Il y a sum(1/(17/6n^3-33/2n^2+107/3*n-13)C(3n,n)),n=1..inf) qui me plait bien… dans ça donne :

on voit qu’il faut multiplier par 10'000 pour obtenir la valeur cherchée

pour que la valeur soit exactement égale à 420.69, il faudrait prendre la valeur entière supérieure à 100x cette formule, et diviser l’entier ainsi obtenu par 100, je vous laisse ça en exercice …

Pour ceux qui ne connaissent pas C(3n, n), c’est la , qu’on pourrait évidemment aussi développer en factorielles pour compliquer encore la formule …

Comment et pourquoi pi est-il devenu si important ?

Fri, 24 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Excellente question, parce que le rapport “normal” que l’on trouve partout dans la nature pour les sphères, en physique etc, est le rapport entre la circonférence du cercle et son rayon : tau

Tau correspond simplement à un angle d’un dans un espace eucliden à n dimensions.

Notes de bas de page

Qu'est-ce qu'un algorithme utile pour générer des décimales de π?

Sun, 14 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

le plus incroyable est le “spigot”, en 133 caractères de C :

int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

il génère 15000 décimales correctes de pi, et si vous le regardez bien vous verrez qu’il ne travaille qu’avec des nombres entiers !

description et explication ici :

Jeremy Gibbons “ ” (2006), The American Mathematical Monthly 4 (113) p. 318-328 DOI>