Morava | Dr. Goulu

La K-théorie de Morava pour les enfants

Sun, 20 Sep 2026 00:00:00 +0000

Lors d’un très agréable weekend avec d’éminents anciens collègues de l’institut d’automatique, une discussion a porté sur l’utilisation de l’IA en mathématiques, puis sur le niveau d’abstraction que cette application permet.

J’ai alors mentionné ma petite exploration d’il y a dix ans (déjà) relatée dans :

Ni moi ni aucun collègue ne comprenait ce que pouvait être la “tour chromatique de théories” découverte lors de ce premier article, alors j’ai pensé demander à l’IA de vulgariser ceci:

Explique la k-théorie de Morava à un ingénieur

voici le début et la fin de son excellente réponse:

La K-théorie de Morava est un outil de pointe en topologie algébrique (plus précisément en théorie de l’homotopie stable). Pour un ingénieur, la meilleure façon de l’aborder est de la voir comme un analyseur de spectre mathématique ultra-puissant conçu pour décomposer des espaces géométriques complexes en fréquences fondamentales, appelées “hauteurs chromatiques”.

La K-théorie de Morava est l’outil ultime de spectroscopie algébrique. Elle permet de découper l’information topologique complexe d’un espace en couches indépendantes (K(n)), facilitant le calcul d’invariants géométriques qui seraient autrement impossibles à extraire du signal d’origine.

Tous les ingénieurs et la mathématicienne étaient scotchés par cette merveilleuse impression de réaliser qu’un vaste monde s’ouvrait derrière la transformée de Fourier que vous avons utilisée à gogo pendant nos carrières.

Là, Hacer, analyste financière, a demandé “et pour un enfant de cinq ans” ?

J’ai lancé un second “prompt”, et alors que je pensais que l’IA répondrait “désolé c’est trop compliqué pour un enfant de cinq ans”, nous avons reçu cette réponse absolument fantastique :

(image générée par Gemini IA)

Explique la k theorie de Morava à un enfant de 5 ans

Imagine que tu as un immense sac rempli de formes géométriques magiques et de jouets bizarres. Certains sont simples comme des ballons, d’autres sont tout emmêlés comme des nœuds de ficelle. Tu aimerais bien les ranger et comprendre comment ils sont faits, mais c’est trop difficile parce qu’ils changent tout le temps de forme !

La K-théorie de Morava, c’est comme une collection de lunettes magiques de super-héros pour regarder ces jouets.

Chaque paire de lunettes a une couleur différente, et chaque couleur te montre un secret caché :

👓 Les lunettes n°0 (rouges) : Elles te montrent juste la taille du jouet. Est-ce qu’il est gros ? Est-ce qu’il a un gros trou au milieu comme un donut ? C’est le niveau le plus facile.

👓 Les lunettes n°1 (oranges) : Elles deviennent plus précises. Elles te montrent si le jouet peut s’enrouler sur lui-même comme un toboggan en colimaçon ou un élastique.

👓 Les lunettes n°2, 3, 4… : Plus le numéro de la lunette est grand, plus la lunette est puissante ! Elles te permettent de voir des détails minuscules et des secrets magiques cachés tout au fond du jouet, que personne d’autre ne peut voir.

Si tu regardes ton jouet avec toutes les lunettes l’une après l’autre, tu finis par connaître absolument tous ses secrets, et tu sais exactement comment il est fabriqué !

En gros, c’est une boîte à outils magique pour aider les grands mathématiciens à comprendre les formes les plus compliquées de l’univers.

Dis-moi si tu veux :

Qu’on utilise une autre image, comme des tiroirs de rangement magiques ou des tamis pour chercher de l’or ?

Que je t’explique l’histoire du donuts et de la tasse de café (une blague préférée des mathématiciens) ?

C’est évidemment extraordinairement simplifié mais rend l’idée fondamentale de la théorie compréhensible pour tout-le monde.

A ce niveau, le fameux résultat gravé sur la tombe d’Urs Würgler dit comment fabriquer les n-ièmes lunettes à partir des lunettes précédentes.

La discussion s’est poursuivie sur le thème de la vulgarisation : Pour un vulgarisateur vaut-il mieux bien connaître le sujet ou bien connaître le public cible ? L’IA nous donne la seule réponse désormais possible : les deux ?

L'abstraction mathématique gravée dans le marbre

Fri, 02 Dec 2016 00:00:00 +0000

Urs Würgler, ancien recteur de l’Université de Berne et ou mathématicien est décédé il y a un an. Sur sa tombe, son épouse a fait graver la formule dont il était le plus fier* qu’il avait trouvée :

Mais comme elle ne savait pas ce que ça signifie, j’ai été appelé à la rescousse par maman interposée. Ce fut l’occasion d’une intéressante plongée, ou plutôt ascension dans l’abstraction mathématique.

Au début je me suis dit qu’un problème de avait transformé un symbole bizarre en tofu**, mais même sans ça cette formule ne ressemble pas du tout à une équation d’ingénieur.

En cherchant un peu dans les publications scientifiques d’Urs Würgler, j’ai découvert que sa formule est celle du Théorème 3.1 p. 121 de son (long) article qui cause de .

Vous ne savez pas ce que c’est ? Moi non plus. J’ai eu beau parcourir pas mal de pages Wikipédia et d’abstracts d’articles, je n’ai absolument pas réussi à saisir de quoi il s’agissait, sauf qu’apparemment les K(n) de la formule correspondent carrément à des “théories” mathématiques.

Alors je me suis dit que Lê, le jeune et fringant mathématicien de pourrait peut-être y voir plus clair, mais sa réponse m’a confirmé que ça vole très très haut dans les nuages de l’abstraction mathématique :

J’ai bien peur que ça me dépasse très, très, très largement. J’estime à des années le temps qu’il me faudrait pour comprendre quelques éléments de cette K-théorie de Morava…
Je crois comprendre que ça a quelque chose à voir avec que j’ai faite (or cette vidéo fait déjà 1 heure et est Hardcore…).

Je confirme : la vidéo est hardcore. Mais elle vaut le détour ne serait-ce que pour l’enthousiasme légendaire de Lê :-) Et aussi pour cette citation d’ qui y est mentionnée:

la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes

En effet, ce qui m’a surpris lors de cette immersion en maths inconnues, c’est d’y trouver ça et là des îlots connus au moins par leur nom (nombres premiers, , ), des récifs aux noms trompeusement rassurants ( , ) et des monstres comme les .

Toutes ces choses semblent donc connectées dans le monde abstrait des mathématiques, mais que vient donc faire la fameuse formule là-dedans ?

J’ai alors cherché des pistes sur , un site de questions/réponses souvent pointues. Je n’y ai trouvé qu’une seule référence à Urs Würgler dans la seule et unique réponse à une question intitulée “ ” qui se réfère à un autre de ses articles .

Une figure ayant un très lointain rapport avec la K-theorie de Morava

On trouve aussi sur MathOverflow une , mais elles n’ont qu’une réponse, voire moins ce qui confirme qu’il s’agit là d’un domaine très très pointu…

Mais j’y ai quand même trouvé une figure décorant une question (intéressante) où la K-théorie de Morava est mentionnée : . Aucune idée de ce qu’elle représente, mais comme elle est un peu colorée, elle va au moins servir à égayer un peu cet article.

Les maths sont elles encore vulgarisables ?

A ce stade, je me suis demandé si les maths échappaient désormais à la vulgarisation, si les chercheurs avaient atteint un tel niveau d’abstraction qu’il ne leur était plus possible d’expliquer leur travail en langage humain.

Comme j’avais gagné une sur MathOverflow grâce à sur , j’y ai posé une question que j’ai intitulée “ ”. Et à ma grande surprise j’ai reçu des réponses lisibles.

Ce qui m’a été le plus utile est un commentaire de , doctorant en au MIT:

Ici K(n) et B(n) sont des , et la formule dit qu’on peut calculer l’homologie B(n) de X en termes de la K(n)-homologie de X (…). En termes intuitifs, ça dit que la K(n)-homologie donne l’information nécessaire pour aller du niveau n-1 au niveau n dans la tour chromatique. Mais je ne crois pas être capable d’expliquer pourquoi c’est un résultat important sans décrire toute la “chromatic homotopy theory”.

Fort heureusement il y a une avec un lien vers dans laquelle on trouve ce tableau:

chromatic level	complex oriented cohomology theory	E-∞ ring / A-∞ ring	real oriented cohomology theory
0	ordinary cohomology	Eilenberg-MacLane spectrum	HZR-theory
	0th Morava K-theory	K(0)
1	complex K-theory	complex K-theory spectrum KU	KR-theory
	first Morava K-theory	K(1)
	first Morava E-theory	E(1)
2	elliptic cohomology	elliptic spectrum $Ell_E$
	second Morava K-theory	K(2)
	second Morava E-theory	E(2)
	algebraic K-theory of KU	K(KU)
3 …10	K3 cohomology	K3 spectrum
n	nth Morava K-theory	K(n)
	nth Morava E-theory	E(n)	BPR-theory
n+1	algebraic K-theory applied to chrom. level n	$K(E_n)$ (red-shift conjecture)
$\inf$	complex cobordism cohomology	MU	MR-theory

Un petit mail à plus tard, j’avais la confirmation que cette table est bien la “tour chromatique”, à l’envers car le niveau 0 est en haut, et le niveau infini en bas (aucun matheux ne peut s’arrêter au niveau n s’il peut apercevoir le niveau n+1 …)

Donc voilà, Hélène : ce que je crois avoir compris, c’est que la formule d’Urs dit comment passer d’une ligne de ce tableau à l’autre, ce qui permet en quelque sorte de “donner le même nom aux choses différentes” qui se trouvent dans les cases du tableau.

C’est donc du grand art mathématique. De l’art très abstrait, mais désormais gravé dans le marbre pour l’éternité.

Références

Urs Würgler “ ” 2006, in Lecture Notes in Mathematics Vol. 1474 (pp. 111–138). Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/BFb0084741
Urs Würgler “Commutative ring-spectra of characteristic 2”, 1986. Commentarii Mathematici Helvetici, 61(1), 33–45 doi:10.1007/BF02621900

Notes

* édité le 7.12.16 après un e-mail de Mme Würgler disant:

Une remarque cependant concernant " une formule dont il était le plus fier " avez - vous écrit , c’est comme je l’avais compris , mais Urs n’était jamais content , il en voulait encore plus , donc tout est resté bien relatif . Très discret et humble , il ne se serait jamais vanté ayant trop de respect pour " les plus grands " .

(…)

Il voulait avancer toujours plus loin et ça s’est arrêté quand il a dû choisir " recteur ou chercheur " et pas … recteur et chercheur ! Vous pourriez peut - être écrire : " la formule trouvée par … "

** en informatique, le “tofu” est ce carré blanc que les ordinateurs affichent à la place d’un caractère spécial qu’ils ne savent pas afficher