Mathematiques | Dr. Goulu

Quelle est la classe de complexité de ce problème : trouver la $n$-ième décimale de $\pi$, et pourquoi ?

Wed, 12 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

En base 2 ou base 16, c’est $O(n.log(n)^3)$ en utilisant la fabuleuse

En base 10:

aucune formule réellement efficace n’a été découverte pour calculer le n-ième chiffre de π en base 10. a mis au point en décembre , à partir d’une très ancienne série de calcul de π basée sur les coefficients du , une méthode pour calculer les chiffres en base 10, mais sa complexité en $O(n^3.log(n))$ la rendait en pratique inutilisable. a bien amélioré l’algorithme pour atteindre une complexité en$O(n^2)$, mais cela n’est pas suffisant pour concurrencer les méthodes classiques de calcul de toutes les décimales.

À quoi sert le nombre de Graham ?

Mon, 10 Feb 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Voici un petit problème de maths:

Soit un de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un à $2^n$sommets. Si l’on colorie chacune des $2^{n–1}$arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que, pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet sur quatre sommets ?

On ne connaît pas la solution de ce problème, mais a montré en 1977 que n était inférieur à un nombre énorme , le “ , qui a longtemps été le plus grand nombre utilisé dans une démonstration mathématique.

Depuis on a réduit le “majorant” pour le problème ci-dessus, mais d’autres problèmes comme le ont nécessité d’utiliser des nombres encore plus grands.

Sur les notations utilisées pour écrire ces nombres, voir

Quel est le plus grand nombre qu’on peut faire avec 3 chiffres ?

Tue, 14 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Il vaut mieux limiter le nombre de caractères que le nombre de chiffres pour éviter les solutions à rallonge du type 999!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!…

Avec 5 caractères, j’ai 9→9→9 qui utilise la .

Mais à la réflexion $9\uparrow^{9}9$ en est colossalement plus grand, en 4 caractères seulement

Quelle est la définition scientifique de l'effet papillon ?

Fri, 03 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ça s’appelle une d’un .

Historiquement, l’ a été mentionné par Edward Lorenz lorsqu’il a établi les premiers modèles météorologiques. Il est tombé sur ce qu’on appelle : un système qui peut osciller de deux manières différentes (les deux “yeux”) mais la zone de bifurcation entre les deux à une géométrie très complexe, fractale en fait.

Ceci fait qu’une minuscule perturbation, si elle se produit au bon moment, peut faire “bifurquer” le système d’un mode à l’autre.

Certains travaux récents montrent cependant que la vraie météo est moins chaotique que les équations de Lorenz, et qu’en réalité un battement d’ailes de papillon ne suffit pas à déclencher un cyclone.

Pourquoi on n'a jamais inventé une constante surréelle telle que q = 1/0, tout comme i = sqrt(-1) est la constante imaginaire ?

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde d’un , car zéro (l’ de l’addition) est un pour la multiplication.

Donc on ne peut pas la définir sur un corps, et les forment un corps, donc c’est cuit.

En fait un ensemble autorisant la division par zéro n’est même plus un …

Ce qui s’en rapproche le plus est l’ensemble des qui

admettent des nombres « infiniment petits ». Dans ce domaine des mathématiques, un nombre infinitésimal (plus petit que tout réel positif, sauf 0) a pour inverse un « infiniment grand » (plus grand que tout réel).

Y a-t-il une différence entre le fait d'être bon avec les nombres et être bon en maths ?

Fri, 27 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les nombres sont le niveau 0 de la pyramide d’abstraction des mathématiques. Et elle est haute.

Au niveau 1 vous avez l’algèbre, au 2 les fonctions, la géométrie plane, au 3 l’analyse, le calcul et différentiel et intégral, etc.

Apparemment les matheux ont même réussi à formaliser les étages élevés de la pyramide :

Donc être bon avec les nombres, c’est un bon début, et être bon en maths, c’est très relatif…

Qui a inventé le cercle ?

Sat, 21 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Mon ancêtre Urgh, encore lui.

Un jour il avait capturé deux chèvres sauvages. Il en avait bouffé une le soir, et comme il n’avait plus faim il a attaché l’autre à un arbre avec une liane.

Quand il est revenu chercher son p’tit dej le matin suivant, il a remarqué que la chèvre avait fait un chemin bizarre tout autour de l’arbre en essayant de s’échapper dans toutes les directions, un chemin qui avait la même forme que celle du soleil ou de la lune. Il poussa un “Ron !” de surprise : le cercle était né.

En plus la chèvre avait été étonnamment propre, elle avait fait toutes ses crottes sur une pierre , une pierre carrée … Mais ça il ne parvenait pas à comprendre pourquoi, alors il a bouffé la chèvre.

Le carré de 12 est 144. L'inverse de 144 est 441, c'est à dire le carré de 21, c'est à dire l'inverse de 12. Est-ce un pur hasard ?

Mon, 09 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

A ma grande surprise, la suite définie par dans sa réponse ne figure pas encore dans .

Il y a déjà :

qui contient les carrés qui sont toujours carrés lus à l’envers
qui contient les nombres dont les carrés sont dans A061457.

donc j’ai soumis à l’OEIS la nouvelle série qui devrait s’appeler A330287 après validation. Edit : en fait la suite existait déjà, c’est qui a une définition très différente mais produit les même nombres pour une raison mystérieuse

et j’ai implanté tout ça dans mes :

A000290 = Sequence(None, lambda n: n * n, lambda n: is_square(n), 'squares') #existait déjà

A061457 = A000290.filter(lambda x:is_square(reverse(x)))
A061457.desc = "Numbers n such that n and its reversal are both squares."

A102859 = A061457.apply(isqrt,containf=lambda x:is_square(reverse(x * x)))
A102859.desc = "Numbers that when squared and written backwards give a square again"

A061457=A102859.filter(lambda x:reverse(x) in A102859)

Comment avons-nous découvert toutes les décimales de pi ?

Fri, 06 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Il y a des programmes informatiques qui les calculent de façon très efficace.

mon préféré est un algorithme incroyable qui travaille uniquement en nombres entiers !

Cette version Python se trouve dans ma :

def pi_digits_gen():
''' generates pi digits as a sequence of INTEGERS ! using Jeremy Gibbons spigot generator
:see :http://www.cs.ox.ac.uk/people/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf '''
# code from http://davidbau.com/archives/2010/03/14/python_pipy_spigot.html
 q, r, t, j = 1, 180, 60, 2
 while True:
 u, y = 3*(3*j+1)*(3*j+2), (q*(27*j-12)+5*r)//(5*t)
 yield y
 q, r, t, j = 10*q*j*(2*j-1), 10*u*(q*(5*j-2)+r-y*t), t*u, j+1

A vrai dire, il ne calcule “que” 15'000 décimales correctes (incroyablement vite) mais il en existe d’autres qui vont beaucoup, beaucoup plus loin

Il existe même des méthodes pour obtenir la n-ième décimale sans calculer les précédentes !

Voir

Notes de bas de page

A partir de combien de décimales après la virgule du nombre Pi s'est-on rendu compte que ça ne servait à rien de continuer le calcul ?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

J’avais posé la question et obtenu une réponse intéressante mentionnant le dans lequel 9 décimales de pi interviennent.

D’autres réponses disent qu’avec 40 décimales on peut calculer la circonférence de l’univers observable avec la précision correspondant à un diamètre de proton.

En ingénierie il est rare d’avoir besoin de plus de 3 décimales, et je n’ai jamais vu qu’on ait besoin de plus de 6.

La somme de ces nombres est 1634 + 8208 + 9474 = 19316.Trouver la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est le , très mal exprimé.

Ma solution en python est:

def problem_030():
 """Find the sum of all the numbers that can be written as the sum of fifth powers of their digits."""
 candidates = range(2, 6*(9**5))
 return sum(n for n in candidates if sum(x**5 for x in digits(n)) == n)

la fonction digits étant dans ma librairie .

Peut-on scientifiquement démontrer que les décimales après la virgule du chiffre Pi sont infinies ?

Sat, 23 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui. a prouvé que est irrationnel en 1761.

Il a exposé un développement en de la . Il en déduit qu’un développement de tan(m/n), avec m et n entiers non nuls, s’écrit
$$\tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\cfrac {m}{n-{\cfrac {m^{2}}{3n-{\cfrac {m^{2}}{5n-{\cfrac {m^{2}}{7n-{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$$
Or — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par , cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du . L’une d’entre elles, due à , est très largement connu

(Wikipedia)

Notes de bas de page

Comment se fait-il que des nombres complexes soit utilisés en physique, donc pour décrire la nature, alors que les nombres complexes sont par définition des nombre qui ne sont pas réels ?

Tue, 12 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les non plus ne sont pas réels. Le réel est constitué d’un nombre entier de particules ayant une énergie égale à un nombre entier de , le tout se promenant dans un espace-temps qui semble de plus en plus être discret, constitué de “briques”. Bref, les nombres réels, ou du moins les irrationnels, ne correspondent probablement à rien en physique.

Les nombres complexes, ce ne sont que des paires de nombres réels qu’on manipule avec des règles particulières, et qui sont bien utiles pour simplifier certains calculs.

Le mot clé dans votre question, c’est “décrire” : en effet, les maths ont été inventées pour “décrire la nature”, ils ne font pas partie de la nature. Les prétendent que les nombres existent quelque part, mais je me sens plus proche de qui a dit “Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme”. J’ajouterais “et pour Dieu, je ne suis pas sûr…”

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si intéressants et stupéfiants ?

Fri, 08 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

La réponse de est tout à fait correcte, je voudrais juste y ajouter un élément que j’ai découvert au début de cette année seulement :

Les propriétés étonnantes des nombres premiers pourraient ne pas provenir d’eux-mêmes, mais de la notion de qui les produit.

Il existe en effet d’autres suites de nombres entiers comme les qui ont des propriétés très similaires, comme expliqué dans cet article:

Verna Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis and S. Ulam “On Certain Sequences of Integers Defined by Sieves” Mathematics Magazine Vol. 29, No. 3 (Jan. – Feb., 1956), pp. 117-122 DOI , zbMATH

En passant, l’utilisation des nombres premiers en cryptographie (voir pour une initiation) repose sur le fait qu’il est très rapide de déterminer si un grand nombre est premier ou non , mais très lent de le factoriser s’il ne l’est pas, ce qui revient à déterminer à quel moment le crible élimine ce nombre (il y a des algos plus rapides que le crible “naïf”, mais il faut quand même faire beaucoup d’opérations).

Notes de bas de page

Soit K(n) le nombre de manières d'écrire l'entier n en somme de carrés non nuls. Comment grossit K(n) en fonction de n ?

Wed, 23 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Vous voulez dire ?

contient beaucoup d’informations sur cette suite intéressante,

notamment que la valeur moyenne des K(n), donc $\sum\limits_{n=1}^{\infty}K(n)/n = \pi$

Wow ! Surprenant, mais compréhensible si on réalise que c’est le nombre de points de coordonnées (x,y) entières placés sur un cercle de rayon entier n…

En fait les K(n) augmentent lentement, mais se diluent dans de plus en plus de zéros ( voir )

Est-on enfin arrivé à comprendre les travaux mathématiques de l'indien Srinivasa Ramanujan ?

Fri, 11 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les célèbres sont assez faciles à comprendre, parfois un peu plus difficiles à vérifier, mais ce qui est vraiment étonnant c’est leur forme originale et la facilité avec laquelle Ramanujan les pondait.

Comme on le voit dans , Ramanujan avait de la peine à comprendre la nécessité de démontrer ses formules, pour lui il était évident qu’elles étaient justes.

Certains (dont moi…) pensent que le génie de Ramanujan est particulier car il a été isolé du monde académique et s’est focalisé sur certains aspects de la théorie des nombres qui étaient peu explorés. En fait environ 1/3 de ses formules étaient déjà connues mais il l’ignorait, il les a redécouvertes tout seul dans son coin d’Inde.

Pour le reste, il a développé ses propres outils comme la * qui est aujourd’hui comprise, connue et utilisée. D’ailleurs à l’époque, Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la , ce qui change tout…

Note * : ce qui me rappelle la … est-ce que les génies définissent leur propre sommation ?)

Quel est le chiffre des unités de 3 puissances 2018 ?

Fri, 11 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Pourquoi juste les unités quand python donne tout ?

>>> 3**2018
677161135051431778991104490684361569753388377593697091377866863548933848687355255199021951691858519881975735651477493471062055468626054703343762984723662244436421350148612822834832926233059263120590623204729215224760332138827098851720891795982810886859309158523382331282407926949646665881275141192489734584140762737587955216229949627214324281031537649012771419515463456525901834482521024204754047428765646387335947247212605494339676845631153382700390594187354840083828595286373145776065549367301296900494205161955277480621905416291299368886379067768672753726384194895710526727101954329416810674832708144326577072531136370554238333774252970065478420723942407992508469955674808192495316171411693972674315218072385465350352282597909474141984493873748178925962899222007637200553538639071229537795773090534333493000517042299191880948874568775218256327736335073228234557926417113950037041143816636828677700048229457617143524251455486312209728762316906440984125192580489

Ca finit bien par 9.

Comment montrer mathématiquement et proprement que la somme des entiers naturels vaut l'infini et pas -1/12 ?

Tue, 08 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on retrouve ce calcul en physique, notamment dans le calcul de l’ ! Donc ce n’est pas n’importe quoi.

Comme le montre dans son excellent article , ça dépend comment on définit la somme de suites infinies, et notamment :

En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de$\int x.dx$ qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. (…)

Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo $\int x.dx$

Edit après découverte lors de : Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la qui correspond exactement à ce qui précède !

Notes de bas de page

Quelle est la suite logique à : 2-3-5-7-11-13-17 ?

Tue, 08 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Parmi l’infinité possible, il y a

1 ( )
19 ( et beaucoup d’autres)
23 ( )
31 ( )
37 ( )
107 ( )
etc.

Ceci pour vous attirer sur , un site merveilleux.

Quel est le nombre suivant dans cette séquence : 2, 4, 8, 16, __?

Mon, 07 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

16 ( OEIS)
20 ( )
22 ( OEIS)
23 ( )
30 ( )
31 ( )
32
40 ( OEIS)
77 ( OEIS)
212 ( OEIS)

Et une infinité d’autres puisque par N points on peut faire passer une infinité de courbes

Quel est votre sentiment sur les mauvais nombres ?

Sun, 29 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les nombres mauvais ( ) sont ceux qui ont un nombre pair de 1 dans leur représentation binaire: ( )

0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, 101, 102, 105, 106, 108, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 123, 125, 126, 129 etc

Je n’ai absolument aucun sentiment sur eux.

Pourquoi le système temporel est-il si compliqué ? Pourquoi n'est-il pas simplement en base 100 ?

Sat, 28 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Base 100 ? quelle drôle d’idée …

100 ne se divise que par 2,4,5,10,20,25 et 50 soit 7% des nombres inférieurs à 100,

alors que 60 se divise par 2,3,4,5,6,10,12,15,20 et 30, soit 16% des nombres inférieurs à 60, qui est un .

Grâce aux Babyloniens on économise plein de divisions compliquées : la Terre tourne de 360/24 = 15 degrés en une heure, donc de 1 degré en 4 minutes, et d’une minute d’arc en 4 secondes de temps. C’est là qu’ils se sont un peu plantés, en effet.

Ceci pour dire que la mesure du temps est historiquement et pratiquement liée à celle des angles.

Donc si vous proposez de mesurer le temps en base 10 ou 100, il faut faire de même pour les angles. Par exemple en divisant un tour en 400 et alors un jour pourrait durer 400 Meyhas, et la Terre tournera de 1 Grade en 1 Meyha.

Pourquoi pas, mais alors pourquoi ne pas faire un pas supplémentaire en ajoutant $\tau = 2\pi$ à la sauce ?

Les unités qui mettraient tout le monde d’accord sont:

Le qui vaut 1/6400 de tour, parce que la tangente de cet angle est très proche de 1/1000, un truc bien décimal comme vous aimez. (Et moi j’aime 6400 parce qu’il est un peu binaire aussi : 6400=2^{8 x 5}2 , donc on peut le diviser 8 fois en deux, donc faire un rapporteur en pliant du papier )
Le Goulu, nouvelle unité de temps valant 1/6400 de jour soit 13.5 secondes babyloniennes.

Comme ça la Terre tournera de 1 Mil / Goulu … On pourrait même pousser le bouchon plus loin en définissant une unité de longueur plus cohérente avec la vitesse de la lumière, en passant …

C’est décidé : j’ai toujours dit que si on inventait une machine à voyager dans le temps j’irais dans l’avenir voir ce qui se passe, mais je change d’avis : je vais dans le passé expliquer ce qui précède aux Babyloniens.

Notes de bas de page

Le problème mathématique dans Will Hunting était-il si difficile ?

Tue, 24 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

J’avais oublié le problème, mais en fait il y en a deux, décrits avec solution dans

Le premier problème concerne ce graphe:

et les questions sont :

donner la de ce graphe.
donner la matrice donnant le nombre de chemins de longueur 3 entre les noeuds i,j
donner la fonction génératrice des chemins de i à j
donner la fonction génératrice de 1 à 3

La question 1 est vraiment facile si on sait ce qu’est la matrice d’adjacence d’un graphe . La 2 et la 3 sont un peu plus dures (= je n’y arriverais plus aujourd’hui sans aide…), mais sans problème pour un étudiant en maths niveau universitaire. La 4 est une application numérique de la 3.

Le second problème, que le professeur dit avoir mis deux ans à résoudre est:

combien y’a-t-il d’arbres avec n noeuds numérotés ?
tracer tous les arbres homomorphiquement irréductibes pour n=10

En fait le problème concerne la , connue depuis 1860. La difficulté (relative) est de la démontrer, mais ce n’est pas demandé. En réfléchissant un peu pour de petits n, on arrive assez facilement à la retrouver. Ensuite, tracer toutes les formes d’arbres différents est un petit casse-tête…

En ce qui me concerne je trouve ce second problème plus simple que le premier, je pense que je m’en serais sorti aussi bien que Will …

Donc non, ces problèmes ne sont pas très difficiles.

Deux droites parallèles se croiseront nécessairement un jour dans notre cosmos et sa structure en espace/temps ?

Wed, 18 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ah c’est une bonne question !

Mais comment tracez vous les droites parallèles, d’abord ?

Deux fils à plomb bien verticaux ? Leur prolongement se croise déjà au centre de la Terre…

Deux lasers avec un système d’interferometrie pour les positionner à un kilomètre de distance à un nanomètre près ? Ils auront un angle de 10-¹² radians entre eux et seront courbés par la gravité terrestre ou solaire si vous essayez dans l’espace, plus l’ en prime..

Vous voyez, les “droites parallèles” c’est un idéal de matheux. En physique, ça n’existe pas : les droites ne sont jamais droites, et encore moins parallèles.

Ce qui s’en approche le plus, ce sont les s empruntés par les “rayons” lumineux. Mais là idem, je ne vois aucun moyen d’émettre deux photons parallèles. On en reçoit à quelques centimètres de distance dans nos télescopes, émis par une étoile à quelques milliers d’années lumière, ou par une galaxie à quelques millions, ou même un quasar a des milliards, mais ils ont probablement été émis à des milliers, millions, milliards de mètres les un des autres, à des moments différents, et ont peut être même suivi des chemins assez différents via .

Avec l’expansion de l’Univers en prime, j’aurais plutôt tendance à dire que la probabilité que deux géodésiques quasi parallèles dans un espace peu courbé se croisent est faible.

Pourquoi les équations de physique théorique sont-elles si simples ?

Mon, 02 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Un aspect non (?) développé dans les autres réponses est que les formulations se simplifient avec le temps.

Le paragraphe suivant est tiré d’un ouvrage fondamental de la physique:

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et le sont dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. Si une force produit un mouvement quelconque, une force double de cette première produira un mouvement double, et une force triple un mouvement triple, soit qu’elle ait été imprimée en un seul coup, soit qu’elle l’ait été peu à peu et successivement, et que ce mouvement, étant toujours déterminé du même côté que la force génératrice, sera ajouté au mouvement que le corps est supposé avoir déjà, s’il conspire avec lui; ou en sera retranché s’il lui est contraire, ou bien sera retranché ou ajouté en partie, s’il lui est oblique; et de ces deux mouvements il s’en formera un seul, dont la détermination sera composée des deux premières.

Compris ? Pourtant c’est ainsi que Newton lui-même énonce sa dans ses en 1687 (la traduction française date de 1756). De nos jours, on résume ceci par $F = m.a$

Même le cancre interrogé sur “efégalema” ne parviendra pas à emberlificoter ses explications autant que le grand Newton, pour autant qu’elles soient justes. En 3 siècles, les 803 caractères de la formulation newtonienne destinée à l’élite intellectuelle de son temps ont été réduits à 5 symboles assénés à tous les ados du monde ou presque.

Et ce n’est pas un cas unique. Même $E=mc^2$ est un raccourci de l’article d’Einstein qui disait initialement ;

Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de $L/c^2$

Avec le temps, on développe des formulations “simples” de phénomènes qui ne le sont pas du tout.

(texte partiellement tiré de )

Comment les ingénieurs conçoivent-ils des modèles mathématiques de problèmes ?

Sun, 01 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

C’est leur métier. Ça s’apprend tout comme vous avez appris votre propre métier.

Le prof d’un de mes profs disait :

L’ingénieur, c’est un type qui sait ce qu’il peut négliger.

Avec presque une carrière de recul, je dirai que c’est une excellente définition. L’essentiel est de savoir ce qui vaut la peine d’être modélisé, calculé, conçu, et ce qui ne va pas poser de problème.

On procède souvent de manière itérative : on fait un modèle tout simple, on compare ses prédictions à des tests, et on raffine le modèle pour tenir compte des écarts.

Pourquoi le nombre d'or s'appelle-t-il ainsi ?

Mon, 19 Aug 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Selon :

C’est durant ce siècle que les termes de « section dorée », puis « nombre d’or » apparaissent. On les trouve dans une réédition d’un livre de mathématiques élémentaires écrit par . L’expression est citée dans une note de bas de page : « Certains ont l’habitude d’appeler la division en deux telles parties une section d’or » Cette réédition fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche son origine est un mystère.

En fait c’est très facile de définir vous-mêmes un “nombre de bois” ou un “nombre de caoutchouc” que vous aimez bien. Mais pas de platine ou de scandium, parce que je l’ai déjà fait : . Donc voilà, Ohm a juste trouvé un nom qu’il trouvait joli.

Existe-t-il toujours une méthode pour trouver les racines d'un polynôme de degré n (pour n un entier naturel donné)?

Sat, 17 Aug 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les racines des polynômes du , du , de et de s’expriment à l’aide des quatre opérations usuelles et des . Hors cas particuliers, ceci ne se généralise pas aux degrés supérieurs, selon le . Pour la solution générale d’ fait intervenir des . Pour les équations de degrés supérieurs, sauf dans quelques cas particuliers, il ne reste que le , qui est d’ailleurs utile même pour les plus petits degrés.

Comment démontre-t-on qu'un nombre est univers ?

Sat, 10 Aug 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Selon on ne connaît pas de méthode générale. Les nombres univers (plus généraux que les normaux) connus le sont par construction.

Il semblerait que Borel, É. “Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.” Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909. Démontre que presque tous les nombres sont normaux à l’aide de la .

Ce que j’ai de la peine à accepter est que la normalité d’un nombre dépende de la base dans laquelle il est exprimé. Ainsi pi à été démontré normal en base 2 et en base 16, mais pas encore en base 10…

En mathématiques, ma naissance ou une quelconque naissance humaine était-elle statistiquement possible ?

Tue, 30 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Etant donné quoi ? Les probabilités d’événements non triviaux (genre pile ou face) sont toutes des s s : on calculé la probabilité qu’un évènement arrive sachant que d’autres sont arrivés.

Probabilité que vous soyez né sachant que vos parents se sont mariés dans le but d’avoir des enfants : très élevée, peut-être 90%

Probabilité que cet enfant soit génétiquement vous : environ 1/2^23 soit 1/8388608 étant donné que chacune de vos 23 paires de chromosomes est obtenue par tirage à pile ou face de ceux de vos parents

Probabilité d’une naissance humaine sachant qu’il y a des humains : 100% puisque c’est la définition même d’une espèce.

Probabilité d’apparition d’une espèce de primates très légèrement plus intelligente que les autres sachant qu’il y a des primates déjà assez malins et que l’intelligence est un avantage évolutif : je dirais assez élevée, peut-être 50%

Vous voyez le truc ? Si vous voulez une réponse précise, votre question doit l’être aussi.

Pourquoi les mathématiciens n'ont-ils pas créé une unité permettant de diviser par zéro ?

Wed, 24 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Ils ont essayé, mais la accepter la détruit la multiplication et l’addition :

la division par zéro n’a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais plus généralement dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis-à-vis de l’addition et de la multiplication (ce qu’on appelle un ). Il n’y a donc pas d’espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l’inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la de –1), sauf si l’on accepte de perdre des propriétés essentielles du calcul algébrique usuel (notamment la distributivité de la multiplication sur l’addition).

Quelle est votre manière la plus avancée et la plus compliquée de transformer un nombre en 420.69?

Wed, 17 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

utiliser le génial “ ” pour trouver la formule la plus compliquée pour un nombre ayant les décimales entre 420685 et 420695 .
Il y a sum(1/(17/6n^3-33/2n^2+107/3*n-13)C(3n,n)),n=1..inf) qui me plait bien… dans ça donne :

on voit qu’il faut multiplier par 10'000 pour obtenir la valeur cherchée

pour que la valeur soit exactement égale à 420.69, il faudrait prendre la valeur entière supérieure à 100x cette formule, et diviser l’entier ainsi obtenu par 100, je vous laisse ça en exercice …

Pour ceux qui ne connaissent pas C(3n, n), c’est la , qu’on pourrait évidemment aussi développer en factorielles pour compliquer encore la formule …

Pourquoi pense-t-on que la conjecture de Syracuse est correcte ?

Sat, 06 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

La version courte, c’est qu’on a vérifié la par ordinateur. Il n’y a pas beaucoup de conjectures sur les nombres qui ont été autant vérifiées et se sont révélées fausses ensuite.

Il y a eu jusqu’ici, mais toutes ont échoué au point qu’on se demande aujourd’hui si ce n’est pas un problème “ ”, qu’on ne peut ni démontrer ni infirmer rigoureusement …

Pourquoi est-ce que je ne peux pas comprendre les mathématiques derrière le Machine Learning ?

Fri, 05 Jul 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Les mathématiques derrière l’ ne sont pas simples. Ce sont des recherches universitaires récentes qui ont permis à ces techniques d’émerger. Il faut de bonnes bases en algèbre linéaire, statistiques, systèmes dynamiques pour aborder ce domaine. Si vous les avez, vous pouvez les rafraîchir avec un MOOC comme par exemple. Si vous ne les avez pas, ce sera dur…

Cela dit, il n’y a pas forcément besoin de savoir comment fonctionne un moteur pour conduire une voiture. Si vous ne voulez pas développer vos propres algos mais utiliser ceux existant, il vous faut principalement connaitre les avantages et inconvénients de chacun

Le nombre Pi est-il le fruit du hasard ?

Mon, 24 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Absolument pas.

$\pi$ est aussi bien défini et déterminé que $2\sqrt{2}$ qui est le rapport du périmètre d’un carré par sa diagonale, et qui a aussi un développement décimal infini.

Une “preuve” est qu’on peut écrire un petit programme de 133 caractères en C:

int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

qui génère 15'000 décimales de pi*. Ca signifie qu’on peut “comprimer” pi d’un facteur 112 (au moins) alors qu’on ne peut pas comprimer une séquence aléatoire de chiffres.

note* : en n’utilisant que des nombres entiers ! voir

Puis-je devenir un bon programmeur sans connaissances en mathématiques et en algorithmes ?

Sun, 16 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Sans connaissances en mathématiques éventuellement, si vous évitez les sujets qui en nécessitent (3D, simulation, traitement d’image, cryptographie,…)

S ans connaissances en algorithmes, non. La connaissance des algorithmes est indispensable pour choisir une solution au problème posé, savoir quoi coder et quoi réutiliser, et anticiper les performances de votre programme.

Connaissance ne veut pas forcément dire maîtrise totale au point de les réécrire, mais vous devez savoir qu’un tri est n.log(n) et que le voyageur de commerce est NP.

Existe-t-il une formule efficace qui peut aboutir au prochain (suivant) nombre premier ou le suivant ?

Wed, 12 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Non, mais il existe:

des formules qui donnent des nombres premiers plus souvent qu’en tirant au hasard (ou en suivant) par exemple les nombres de la forme p=3×2^{n-1 (
) ou p = 2}n-1 où n est premier ( )
des méthodes très rapides pour savoir si ces “candidats” sont premiers ou non. Le est le plus utilisé en pratique (= en cryptographie pour générer des clés)
avec ce qui précède, du code assz efficace comme ou

(voir )

En passant, il semblerait que les propriétés étonnantes des nombres premiers soient plus liées au principe de base du crible qu’à leur absence de diviseurs. Voir

Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?

Tue, 11 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

La méthode la plus rapide et qui ne fait pas intervenir les nombres réels (et leur perte de précision numérique en informatique) est d’utiliser l’idée d’un certain Brenner en 1951: écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle.

La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice

$$Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant $log_2(n)$ multiplications de matrices 2×2, ce qui est hyper rapide.

En utilisant cette combine, mon permet de calculer le 10^19 ème terme de Fibonacci en un pouillème de seconde (ok, modulo quelque chose…)

Quelle est votre énigme mathématique préférée que la plupart des personnes sont incapables de résoudre ?

Mon, 10 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le “temple de la logique pure” :

Dans un monastère retiré vivent les Adeptes de la Logique Pure. Leur vie est vouée à la réflexion et à l’étude de la Logique, et de la Logique seule. Les Adeptes méprisent la communication, illogique, et donc ne se parlent ni ne s’écrivent, ni même n’échangent de l’information d’aucune manière. Leur vie sociale n’est rythmée que par le seul et unique repas qu’ils prennent quotidiennement en commun, dans un silence absolu.

Un jour cependant apparaît au beau milieu du repas la Logique elle-même, divinité éthérée et courroucée : “Certains d’entre vous ont failli à leur vœu et ont commis des actes aussi illogiques qu’impurs. J’ai marqué les coupables d’une marque indélébile sur le front. Ceux qui se sauront marqués feront pénitence en sautant un repas.” Sur ce, elle disparaît rejoindre Aristote, Boole, Gödel et les autres.

Evidemment, chaque Adepte est interloqué et dévisage les autres, comptant les marques de ses acolytes. Mais “comment savoir si l’on est soi-même marqué ?”, se demande chacun en se retirant dans sa sobre cellule, où tout miroir est évidemment proscrit. Ainsi s’achève ce qu’il est convenu d’appeler le jour zéro.

Le lendemain, tous les adeptes viennent manger, aucun n’ayant pu se convaincre qu’il est lui-même marqué. De même le second jour, puis le troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième jour, tous les adeptes sont là.

Mais le septième jour soudain, tous les pécheurs manquent à l’appel. Combien y’en a-t-il ? Et comment ont-ils su qu’ils étaient marqués ?

Qu'est-ce que le nombre d'or ?

Sun, 09 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

C’est un nombre qu’on ne retrouve dans aucune loi physique, pas du tout dans la nature, et pas même dans l’homme de Vitruve de Vinci (qui contient les proportions de Vitruve…). Il correspond à la suite de Fibonacci, mais elle non plus n’est pas dans la nature.

L’angle d’or lui a une réalité, mais ce n’est qu’une conséquence d’une optimisation physique.

Bref le est principalement un mythe métaphysique.

Quel est l'index du nombre de Fibonacci qui se termine par 314159265?

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

le premier est le 2769265 ème, qui a 578742 chiffres, commençant pas 642823662 et finissant par 314159265. Ce petit programme Python vous l’écrira en entier en 2 secondes environ:

n=314159265
m=10**int(len(str(n)))
from Goulib.math2 import fibonacci
i,a,b=2,1,1
while a!=n:
 a,b=(a+b)%m,a
 i+=1
print(i,n)
a=str(fibonacci(i))
print(len(a),a)

comme vous le voyez il calcule la suite de Fibonacci modulo m=10^9 (car il y a 9 chiffres dans 314159265), puisqu’on ne s’intéresse qu’aux derniers chiffres. Ca permet d’être rapide.

Ensuite il utilise ma fonction de calcul du ième terme par exponentiation rapide, décrite dans l’article ci-dessous pour l’afficher en entier.

Comment et pourquoi pi est-il devenu si important ?

Fri, 24 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Excellente question, parce que le rapport “normal” que l’on trouve partout dans la nature pour les sphères, en physique etc, est le rapport entre la circonférence du cercle et son rayon : tau

Tau correspond simplement à un angle d’un dans un espace eucliden à n dimensions.

Notes de bas de page

Quelle est la proportion de nombres premiers dans les nombres naturels ?

Sat, 18 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Le dit que:

Le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers +∞, au quotient de x par son . Soit

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\ (x\to +\infty )$

donc autour d’un nombre x, la proportion de nombres premiers est d’environ 1/ln(x) . Par exemple pour la cryptographie on a besoin de nombres premiers de 512 bits soit 154 chiffres décimaux et comme or donne environ 0.003, environ 3 nombres de 154 chiffres sur 1000 sont premiers, donc en trouver n’est absolument pas un problème.

Comment savoir si un nombre est premier ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Avec un . Il en existe deux types:

les “déterministes”, qui donnent un résultat sur et certain, mais demandent beaucoup de temps pour de grands nombres N. Le plus simple est d’essayer de diviser N par tous les nombres premiers jusqu’à $\sqrt{N}$
les “probabilistes” qui sont beaucoup, beaucoup plus rapides. Le plus simple est le . Plus moderne, le est couramment utilisé en cryptographie pour déterminer en une fraction de seconde si un nombre de centaines de chiffres est premier. Puisqu’ils sont “probabilistes” ces tests ont une toute petite probabilité de déclarer premier un nombre qui ne l’est pas. En pratique cette probabilité est plus basse que celle qu’un rayon cosmique fausse le résultat d’un test déterministe pendant son très long calcul, donc le test probabiliste est plus sur que le test déterministe !

Il y a aussi des tests spécialisés pour certains types de nombres, comme le qui est déterministe, mais ne marche que pour les nombres de Mersenne (raison pour laquelle le est toujours un nombre de Mersenne).

Existe-t-il une suite qui correspond aux nombres premiers ?

Tue, 14 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

oui, elle s’appelle :-)

Et contrairement à ce que beaucoup de gens pensent, il existe une formule qui dit si un nombre est premier ou pas:

$f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2$

Par le , $n+1$ est premier si et seulement si $n!{\bmod {(}}n+1)=n$. Donc quand $n+1$ est premier, le premier facteur du produit vaut 1, et la formule produit le nombre premier $n+1$. Mais quand $n+1$ n’est pas premier, ce facteur devient 0 et la formule produit le nombre premier 2.

Cette formule n’est pas efficace du tout pour calculer les nombres premiers, mais elle existe …

Est-ce que les calculs (mathématiques) ne sont que du virtuel et non une réalité ?

Fri, 10 May 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Les mathématiques ont été développées initialement pour décrire le réel, puis se sont révélées capables de décrire d’autres univers possibles… ou pas.

J ‘ai écrit ce petit texte sur ce sujet, avec un exemple vécu relativement simple :

Dans les exemples plus avancés, il y a les fameuses , qui décrivent des univers statistiques, en expansion, en contraction, en rotation et bien d’autres encore. Le notre est l’un de ceux là, et les autres sont très utiles en science-fiction ou en religion.

Comment peut-on visualiser l'espace en 4 dimensions ?

Fri, 26 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

C’est assez facile si on considère qu’un cube est un carré étiré dans la 3ème dimension, alors un hypercube (ou “tesseract”) est un cube étiré dans la 4ème:

Notez que dans illustration ci-dessus le cube est projeté sur le plan à 2 dimensions de l’écran selon un certain angle (45°), et le tesseract à 4 dimensions est aussi projeté sur le même plan selon 2 angles (+45° et -45°)

Si on fixe un de ces deux angles et qu’on fait varier l’autre avec un petit effet de perspective pour simuler la 3D, on voit un tesseract tourner dans l’espace à 3 dimensions:

(cf )

Maintenant si vous considérez le temps comme la 4ème dimension, ce n’est pas ça du tout car l’espace-temps n’est pas un espace euclidien. C’est un , dans lequel le temps est une dimension “imaginaire” au sens mathématique du terme . C’est beaucoup plus dur à visualiser …

Existe-t-il des relations mathématiques qui définissent les formes rencontrées dans la nature ?

Fri, 26 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Qui définissent, non. Qui décrivent, oui.

Avant de revenir à la question, laissez-moi dire pourquoi cette distinction est importante. Si vous dites que les relations mathématiques “définissent” des phénomènes naturels, alors ces relations mathématiques doivent être “écrites” quelque part et la nature doit avoir une manière de les “lire” et de les exécuter.

Or à part peut-être l’ADN, il n’y a strictement rien dans la nature qui ressemble à des informations qu’un système peut lire et exécuter. Un atome radioactif n’a pas de fonction random(time/halflife) pour décider quand se désintégrer, la Lune ne calcule pas sa force de gravitation universelle avec la Terre pour savoir où aller, un tournesol n’a pas de programme calculant la séquence de Fibonacci pour savoir comment arranger ses graines, etc.

Par contre nous, humains, mathématiciens, physiciens, et probablement toute autre espèce intelligente, sommes capables de décrirece que nous observons sous forme de “modèles”, de regrouper ces “modèles” par similitude (par exemple la ) pour en tirer des “lois” plus générales, et, grâce aux mathématiques, de faire des calculs prévisionnels : quand aura lieu le prochain solstice, à quel angle incliner le canon pour zigouiller l’ennemi, combien de personnes faut-il vacciner pour éradiquer la variole etc.

Mais là, les relations mathématiques sont dans nos bouquins, dans nos cerveaux et nos ordinateurs. La nature n’en a rien à battre, elle continue à faire ce qu’elle a toujours fait et que je ne peux justement pas décrire sans utiliser les “relations mathématiques” ci-dessus puisque c’est justement à ça qu’elles servent : décrire.

Par exemple, plein de gens s’émerveillent de ce que la coquille du Nautile suive une (et pas forcément une en passant.. )

C’est vrai que c’est beau, mais c’est le contraire : c’est la spirale logarithmique qui suit la coquille du Nautile !

Le Nautile ne fait que grandir dans sa coquille et l’agrandit en utilisant le moins de matière possible, en évitant de créer des discontinuités de courbure qui fragiliseraient sa coquille. C’est nous qui, en observant le Nautile, avons compris qu’il est un gros flemmard qui minimise l’énergie comme nous tous et même pratiquement tout dans l’Univers (“loi plus générale” obtenue en regroupant de nombreuses observations distinctes) et que ceci conduit à l’apparition de spirales logarithmiques.

Vous saisissez la nuance ? Alors je vous ai converti au :-)

Et un de moins, un !

voir aussi :

Le fait qu'un nombre soit acratopège n'est-il pas une propriété en soi ?

Tue, 23 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

C’est la première question qui m’a été posée lorsque j’ai chassé les nombres acratopèges et, je crois, inventé l’expression ;-)

D’abord “ ” signifie “sans propriété particulière”, pas sans propriété du tout. D’ailleurs chaque entier est soit pair soit impair, donc il a au moins une propriété.

Encore que “impair” peut se comprendre comme “n’ayant pas la propriété d’être pair”, et il en va de même de beaucoup d’autres propriétés des nombres (premier ou composé, carré ou pas etc.)

Donc voilà : les nombres acratopèges ont des propriétés, mais ils en ont moins que leurs voisins. Ils se retrouvent donc au bas de la désormais célèbre figure du “Fossé de Sloane”

Notes de bas de page

Comment les mathématiciens ont-ils compris que π est irrationnel ?

Fri, 19 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

L’ était suspectée depuis au moins le 9ème siècle, mais ce n’est qu’en 1761 que la prouve en développant la en (détails )

Pi n’est pas seulement irrationnel, il est aussi En 1873, Hermite prouve que le est transcendant. En 1882, généralise son raisonnement en un théorème (le ) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors e^xest transcendant. Or e^iπ est algébrique (puisqu’il est égal à –1). Par , iπ est transcendant, donc comme i est algébrique, π est transcendant.

Qu'est-ce qu'un algorithme utile pour générer des décimales de π?

Sun, 14 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

le plus incroyable est le “spigot”, en 133 caractères de C :

int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

il génère 15000 décimales correctes de pi, et si vous le regardez bien vous verrez qu’il ne travaille qu’avec des nombres entiers !

description et explication ici :

Jeremy Gibbons “ ” (2006), The American Mathematical Monthly 4 (113) p. 318-328 DOI>

Comment calculer la racine carrée de Pi ?

Fri, 12 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

avec une calculatrice ;-)

Pi étant transcendant, sa racine l’est aussi, il n’y a donc pas de formule “simple” qui donne $\sqrt{\pi}$mais beaucoup de suites (infinies) convergent vers cette valeur et permettent donc d’implanter un algorithme qui calcule cette valeur de plus en plus précisément, comme pour pi.

Certaines de ces suites se trouvent au bas de

Pourquoi le nombre d'or est-il si important dans nos vies ?

Sun, 07 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Il ne l’est absolument pas. Même l’idée qu’il définit “des proportions qui plaisent à l’oeil” ne se vérifie pas expérimentalement. Lequel de ces rectangles vous paraît le mieux proportionné ? :

Si vous avez répondu 5, vous avez la même préférence que les 34% des participants à un sondage identique, mais ce n’est pas un rectangle d’or. Le rectangle d’or, c’est le 2, choisi par 18% des gens, mais aussi le 9, choisi par 5%, soit nettement moins que les 11% de moyenne.

Mais Léonard de Vinci, lui, s’y connaissait, n’est-ce pas ? Tout le monde sait que le nombre d’or se trouve dans son célèbre dessin:

Sauf que non : Les proportions que Vinci utilise pour son célèbre sont celles conseillées par l’architecte romain : 1/10, 1/4, 1/8 et 1/6. Pas trace de phi.

Et dans la nature ? Pas de nombre d’or non plus, désolé.

Est-ce que le fait que la séquence de Fibonacci soit présente partout dans la nature est scientifiquement prouvée ou est-ce que ce sont juste les humains qui créent des modèles ?

Fri, 29 Mar 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Je conteste “le fait que la séquence de Fibonacci soit présente partout dans la nature”. Justement ce n’est pas un fait.

D’abord, les jolies spirales publiées dans la réponse d’Alistair Riddoch traduite par et ailleurs ne sont pas des spirales de Fibonacci mais des . Cet article de la Wikipédia utilise d’ailleurs les mêmes illustrations :-)

Une spirale de Fibonacci est formée de quarts de cercles, or aucunprocessus physique ou biologique ne fait ça, alors que la spirale logarithmique apparaît très naturellement dans des processus du genre “plus c’est grand, plus ça grandit”, pour faire simple.

Ensuite, il n’y a aucunprocessus naturel ou biologique qui additionne deux nombres, en mémorise un et recommence. Par contre il y en a beaucoup qui minimisent l’énergie dépensée, ou maximisent celle collectée comme c’est le cas de la , qui produit les feuilles, graines etc qui résultenten jolies spirales et, parfois, quelques petits termes consécutifs de la suite.

L’expérience de Douady et Couder en 1992 montre ceci très bien:

En résumé, la séquence de Fibonacci n’est pas du tout présente dans la nature, à la rigueur 2 ou 3 de ses petits termes se retrouvent comme effet secondaires d’une optimisation très naturelle, elle, et qui résulte en spirales logarithmiques entre autres.

Je dirais donc que ce ne sont pas leshumains, mais deshumains peu curieux qui ont créé ce pattern.

Où dans la nature peut-on trouver une séquence de Fibonacci ?

Sat, 23 Mar 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

On en trouve deux termes consecutifs en : des graines de tournesol aux pommes de pin, beaucoup de structures botaniques croissent en faisant de jolies spirales apparentes, les “parastiches”. Certaines tournent dans un sens et s’entrecroisent avec d’autres orientées en sens inverse, et le nombre de parastiches dans chaque sens correspond toujours à deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

Mais les plantes ne comptent pas : ces structures sont le résultat d’une optimisation qui se produit aussi avec des processus physiques :

Plus de détails sur

Comment effectuer une distribution uniforme de n points à la surface d'une sphère ?

Tue, 19 Mar 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Ah ça c’est une question intéressante… Qu’entendez-vous par “uniforme” ?

vous voulez recouvrir complètement la sphère par des n disques de même rayon? Les disques sont donc forcés de se recouvrir partiellement. Mathématiquement on “minimise la distance maximale ‘d’ de tout point de la sphère à son voisin le plus proche”. C’est le problème du “covering”.
le “packing” est une petite nuance consistant à “maximiser la distance minimale entre les points”. Autrement dit, l’optimum est atteint lorsqu’on ne peut plus écarter les deux points les plus proches car l’un se rapprocherait davantage d’un troisième point.
le “convex hull” consiste à maximiser le volume du solide convexe défini par les N sommets
la “minimisation de l’énergie potentielle” consiste à minimiser la somme de l’énergie qui serait accumulée dans des ressorts liant chaque paire de points. Les ressorts peuvent être soit linéaire (d’ordre 1), soit quadratiques (ordre 2) ce qui correspond au cas de la répulsion électrostatique de points supposés chargés électriquement.

Cela dit, pour certaines valeurs de N ces 4 problèmes fusionnent et il existe une solution exacte, voir

Si vous ne cherchez pas l’optimum absolu il existe plusieurs heuristiques qui donnent rapidement des résultats très acceptables ( voir ). La méthode de la spirale d’or est celle que j’utilise dans la libraire Python

À quoi ressembleraient les hommes s'ils étaient en 4 dimensions ?

Mon, 18 Mar 2019 00:00:00 +0000

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Ils ne ressembleraient pas à des hommes, ni à rien de connu tant la physique, la chimie et la biologie seraient différentes, si tant est qu’elles puissent exister.

Car avec 4 dimensions spatiales et une de temps, les équations de champ n’ont pas de solutions stables : aucune hyperplanète ne peut orbiter un hypersoleil. Et si cet univers a plus d’une dimension temporelle alors les équations deviennent “ultra hyperboliques” et il devient impossible d’effectuer une prédiction dans cet univers. Et des lors l’intelligence n’est pas un avantage évolutif.

Quand quelqu'un calcule 31 trillions de décimales de $\pi$, comment peut-il savoir qu'il a raison ?

Fri, 15 Mar 2019 00:00:00 +0000

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le “quelqu’un” est un ordinateur qui exécute un algorithme prouvé mathématiquement correct.

Celà dit, la probabilité qu’un rayon cosmique vienne modifier un bit et fausser le résultat d’un si gros calcul n’est en effet pas négligeable.

Mais en réalité on s’en fiche. Il n’y a aucun besoin de connaître plus d’une dizaine de décimales de pi, voir

Voir aussi pour un exemple d’algorithme qui calcule en n’utilisant que des nombres entiers !

La version Python est ici :