Mathematiques-Simples | Dr. Goulu

Pour combien d’entiers $n$ les chiffres de $2^n$ peuvent être réarrangés pour obtenir une puissance de 5 ? Et pour obtenir une puissance de 7 ?

Sat, 31 Jan 2026 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Damned, Gemini IA répond aussi bien que Bernard Montavon, et beaucoup plus rapidement et subtilement que moi (qui aurais bêtement fait un programme Python…)

On est cuits.

Je résume la réponse de Gemini :

C’est une question de théorie des nombres fascinante, car elle touche à la structure même des puissances dans notre système décimal.

(j’aime bien “notre système décimal” pour une IA…)

En résumé : Dans les deux cas, la réponse est 1 (pour n = 0).

Souhaitez-vous que je développe la preuve mathématique utilisant les congruences modulo 9 pour ces deux cas ?

Comment expliquer simplement que n'importe quel nombre peut être la réponse à une suite de quelques nombres ?

Sun, 14 Nov 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

$1, 2, 3, 5, 8, 13$

Vous croyez que c’est la suite de Fibonacci ?

Peut-être, mais ce sont aussi les solutions de l équation

$x^6 - 32 x^5 + 376 x^4 - 2066 x^3 + 5575 x^2 - 6974 x + 3120 = 0$

que l’on peut factoriser ainsi :

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-8)(x-13)=0$

(oui vous avez deviné, j’ai fait l’inverse…)

Alors pour n’importe quel nombre “suivant” $a$ je peux vous fabriquer l’équation

$$x^7-(32+a)x^6 + (376+32 a) x^5 - (2066+376 a) x^4 + (5575+2066 a) x^3 - (6974+5575 a) x^2 + (3120+6974 a) x - 3120 a =0$$

dont les solutions sont $1, 2, 3, 5, 8, 13, a$

Et je peux recommencer à l’infini sans jamais faire référence à Fibonacci.