Infini-Mathematiques | Dr. Goulu

Pourquoi on n'a jamais inventé une constante surréelle telle que q = 1/0, tout comme i = sqrt(-1) est la constante imaginaire ?

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde d’un , car zéro (l’ de l’addition) est un pour la multiplication.

Donc on ne peut pas la définir sur un corps, et les forment un corps, donc c’est cuit.

En fait un ensemble autorisant la division par zéro n’est même plus un …

Ce qui s’en rapproche le plus est l’ensemble des qui

admettent des nombres « infiniment petits ». Dans ce domaine des mathématiques, un nombre infinitésimal (plus petit que tout réel positif, sauf 0) a pour inverse un « infiniment grand » (plus grand que tout réel).

Peut-on scientifiquement démontrer que les décimales après la virgule du chiffre Pi sont infinies ?

Sat, 23 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui. a prouvé que est irrationnel en 1761.

Il a exposé un développement en de la . Il en déduit qu’un développement de tan(m/n), avec m et n entiers non nuls, s’écrit
$$\tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\cfrac {m}{n-{\cfrac {m^{2}}{3n-{\cfrac {m^{2}}{5n-{\cfrac {m^{2}}{7n-{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$$
Or — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par , cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du . L’une d’entre elles, due à , est très largement connu

(Wikipedia)

Notes de bas de page

Comment montrer mathématiquement et proprement que la somme des entiers naturels vaut l'infini et pas -1/12 ?

Tue, 08 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on retrouve ce calcul en physique, notamment dans le calcul de l’ ! Donc ce n’est pas n’importe quoi.

Comme le montre dans son excellent article , ça dépend comment on définit la somme de suites infinies, et notamment :

En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de$\int x.dx$ qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. (…)

Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo $\int x.dx$

Edit après découverte lors de : Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la qui correspond exactement à ce qui précède !

Notes de bas de page

Pensez-vous qu'une aiguille d'horloge tournant à une vitesse infinie se transforme en disque ?

Tue, 23 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Non. D’abord une vitesse infinie pour un observateur au repos ça n’existe pas. La pointe de l’aiguille ne peut pas dépasser .

Outre le fait qu’aucun matériau ne serait capable de supporter la traction à des vitesses relativistes, il y a un autre truc encore plus embêtant : le . En gros à des vitesses relativistes le rapport entre la longueur de l’aiguille et le cercle décrit par la pointe ne vaut plus 2pi car l’espace se tord, ou se plie, ou se déforme. Bref, la relativité est incompatible avec les corps solides …

La lumière avance-t-elle tout droit à l'infini ?

Mon, 08 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Tout droit dans un espace courbé par les masses, mais oui.

image © Alain Riazuelo /IAP janvier 2008 La voûte céleste telle que la verrait un observateur situé près d’un hypothétique trou noir devant le centre de notre galaxie. À cause de la déflexion de la lumière passant près du trou noir, l’image de la Voie lactée n’est plus rectiligne, et les principales constellations sont très déformées. Une image secondaire de toute la voûte céleste se trouve enroulée dans un cercle à proximité immédiate de la silhouette du trou noir.