Formules-Mathematiques | Dr. Goulu

Existe-t-il une formule efficace qui peut aboutir au prochain (suivant) nombre premier ou le suivant ?

Wed, 12 Jun 2019 00:00:00 +0000

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Non, mais il existe:

des formules qui donnent des nombres premiers plus souvent qu’en tirant au hasard (ou en suivant) par exemple les nombres de la forme p=3×2^{n-1 (
) ou p = 2}n-1 où n est premier ( )
des méthodes très rapides pour savoir si ces “candidats” sont premiers ou non. Le est le plus utilisé en pratique (= en cryptographie pour générer des clés)
avec ce qui précède, du code assz efficace comme ou

(voir )

En passant, il semblerait que les propriétés étonnantes des nombres premiers soient plus liées au principe de base du crible qu’à leur absence de diviseurs. Voir

Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?

Tue, 11 Jun 2019 00:00:00 +0000

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La méthode la plus rapide et qui ne fait pas intervenir les nombres réels (et leur perte de précision numérique en informatique) est d’utiliser l’idée d’un certain Brenner en 1951: écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle.

La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice

$$Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant $log_2(n)$ multiplications de matrices 2×2, ce qui est hyper rapide.

En utilisant cette combine, mon permet de calculer le 10^19 ème terme de Fibonacci en un pouillème de seconde (ok, modulo quelque chose…)

Existe-t-il des relations mathématiques qui définissent les formes rencontrées dans la nature ?

Fri, 26 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Qui définissent, non. Qui décrivent, oui.

Avant de revenir à la question, laissez-moi dire pourquoi cette distinction est importante. Si vous dites que les relations mathématiques “définissent” des phénomènes naturels, alors ces relations mathématiques doivent être “écrites” quelque part et la nature doit avoir une manière de les “lire” et de les exécuter.

Or à part peut-être l’ADN, il n’y a strictement rien dans la nature qui ressemble à des informations qu’un système peut lire et exécuter. Un atome radioactif n’a pas de fonction random(time/halflife) pour décider quand se désintégrer, la Lune ne calcule pas sa force de gravitation universelle avec la Terre pour savoir où aller, un tournesol n’a pas de programme calculant la séquence de Fibonacci pour savoir comment arranger ses graines, etc.

Par contre nous, humains, mathématiciens, physiciens, et probablement toute autre espèce intelligente, sommes capables de décrirece que nous observons sous forme de “modèles”, de regrouper ces “modèles” par similitude (par exemple la ) pour en tirer des “lois” plus générales, et, grâce aux mathématiques, de faire des calculs prévisionnels : quand aura lieu le prochain solstice, à quel angle incliner le canon pour zigouiller l’ennemi, combien de personnes faut-il vacciner pour éradiquer la variole etc.

Mais là, les relations mathématiques sont dans nos bouquins, dans nos cerveaux et nos ordinateurs. La nature n’en a rien à battre, elle continue à faire ce qu’elle a toujours fait et que je ne peux justement pas décrire sans utiliser les “relations mathématiques” ci-dessus puisque c’est justement à ça qu’elles servent : décrire.

Par exemple, plein de gens s’émerveillent de ce que la coquille du Nautile suive une (et pas forcément une en passant.. )

C’est vrai que c’est beau, mais c’est le contraire : c’est la spirale logarithmique qui suit la coquille du Nautile !

Le Nautile ne fait que grandir dans sa coquille et l’agrandit en utilisant le moins de matière possible, en évitant de créer des discontinuités de courbure qui fragiliseraient sa coquille. C’est nous qui, en observant le Nautile, avons compris qu’il est un gros flemmard qui minimise l’énergie comme nous tous et même pratiquement tout dans l’Univers (“loi plus générale” obtenue en regroupant de nombreuses observations distinctes) et que ceci conduit à l’apparition de spirales logarithmiques.

Vous saisissez la nuance ? Alors je vous ai converti au :-)

Et un de moins, un !

voir aussi :