Equations-Mathematiques | Dr. Goulu

Pourquoi on n'a jamais inventé une constante surréelle telle que q = 1/0, tout comme i = sqrt(-1) est la constante imaginaire ?

Wed, 01 Jan 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde d’un , car zéro (l’ de l’addition) est un pour la multiplication.

Donc on ne peut pas la définir sur un corps, et les forment un corps, donc c’est cuit.

En fait un ensemble autorisant la division par zéro n’est même plus un …

Ce qui s’en rapproche le plus est l’ensemble des qui

admettent des nombres « infiniment petits ». Dans ce domaine des mathématiques, un nombre infinitésimal (plus petit que tout réel positif, sauf 0) a pour inverse un « infiniment grand » (plus grand que tout réel).

Pourquoi les équations de physique théorique sont-elles si simples ?

Mon, 02 Sep 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Un aspect non (?) développé dans les autres réponses est que les formulations se simplifient avec le temps.

Le paragraphe suivant est tiré d’un ouvrage fondamental de la physique:

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et le sont dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. Si une force produit un mouvement quelconque, une force double de cette première produira un mouvement double, et une force triple un mouvement triple, soit qu’elle ait été imprimée en un seul coup, soit qu’elle l’ait été peu à peu et successivement, et que ce mouvement, étant toujours déterminé du même côté que la force génératrice, sera ajouté au mouvement que le corps est supposé avoir déjà, s’il conspire avec lui; ou en sera retranché s’il lui est contraire, ou bien sera retranché ou ajouté en partie, s’il lui est oblique; et de ces deux mouvements il s’en formera un seul, dont la détermination sera composée des deux premières.

Compris ? Pourtant c’est ainsi que Newton lui-même énonce sa dans ses en 1687 (la traduction française date de 1756). De nos jours, on résume ceci par $F = m.a$

Même le cancre interrogé sur “efégalema” ne parviendra pas à emberlificoter ses explications autant que le grand Newton, pour autant qu’elles soient justes. En 3 siècles, les 803 caractères de la formulation newtonienne destinée à l’élite intellectuelle de son temps ont été réduits à 5 symboles assénés à tous les ados du monde ou presque.

Et ce n’est pas un cas unique. Même $E=mc^2$ est un raccourci de l’article d’Einstein qui disait initialement ;

Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de $L/c^2$

Avec le temps, on développe des formulations “simples” de phénomènes qui ne le sont pas du tout.

(texte partiellement tiré de )

Quelles sont les équations différentielles relatives aux marées océaniques ?

Tue, 27 Aug 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Vous les trouverez dans

Pierre-Simon de Laplace “ ”, 1799 au “Livre XIII. Des oscillations des fluides qui recouvrent les planètes” que j’ai trouvé rien que pour vous ici :

Le seul problème est qu’elles sont exprimées en français plutôt qu’en formules, mais en gros ce n’est “que” la réponse d’un volume de fluide à des excitations périodiques.

Les équations ne vous serviront pas à grand chose, ce sont les conditions aux limites (côtes, profondeurs, …) qui rendent le problème vraiment pas trivial.

En pratique on fait plutôt de l’analyse spectrale à partir de mesures. A Brest on utilise une centaine d’harmoniques …

Existe-t-il toujours une méthode pour trouver les racines d'un polynôme de degré n (pour n un entier naturel donné)?

Sat, 17 Aug 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Les racines des polynômes du , du , de et de s’expriment à l’aide des quatre opérations usuelles et des . Hors cas particuliers, ceci ne se généralise pas aux degrés supérieurs, selon le . Pour la solution générale d’ fait intervenir des . Pour les équations de degrés supérieurs, sauf dans quelques cas particuliers, il ne reste que le , qui est d’ailleurs utile même pour les plus petits degrés.

Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?

Tue, 11 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

La méthode la plus rapide et qui ne fait pas intervenir les nombres réels (et leur perte de précision numérique en informatique) est d’utiliser l’idée d’un certain Brenner en 1951: écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle.

La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice

$$Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant $log_2(n)$ multiplications de matrices 2×2, ce qui est hyper rapide.

En utilisant cette combine, mon permet de calculer le 10^19 ème terme de Fibonacci en un pouillème de seconde (ok, modulo quelque chose…)

Existe-t-il des relations mathématiques qui définissent les formes rencontrées dans la nature ?

Fri, 26 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

Qui définissent, non. Qui décrivent, oui.

Avant de revenir à la question, laissez-moi dire pourquoi cette distinction est importante. Si vous dites que les relations mathématiques “définissent” des phénomènes naturels, alors ces relations mathématiques doivent être “écrites” quelque part et la nature doit avoir une manière de les “lire” et de les exécuter.

Or à part peut-être l’ADN, il n’y a strictement rien dans la nature qui ressemble à des informations qu’un système peut lire et exécuter. Un atome radioactif n’a pas de fonction random(time/halflife) pour décider quand se désintégrer, la Lune ne calcule pas sa force de gravitation universelle avec la Terre pour savoir où aller, un tournesol n’a pas de programme calculant la séquence de Fibonacci pour savoir comment arranger ses graines, etc.

Par contre nous, humains, mathématiciens, physiciens, et probablement toute autre espèce intelligente, sommes capables de décrirece que nous observons sous forme de “modèles”, de regrouper ces “modèles” par similitude (par exemple la ) pour en tirer des “lois” plus générales, et, grâce aux mathématiques, de faire des calculs prévisionnels : quand aura lieu le prochain solstice, à quel angle incliner le canon pour zigouiller l’ennemi, combien de personnes faut-il vacciner pour éradiquer la variole etc.

Mais là, les relations mathématiques sont dans nos bouquins, dans nos cerveaux et nos ordinateurs. La nature n’en a rien à battre, elle continue à faire ce qu’elle a toujours fait et que je ne peux justement pas décrire sans utiliser les “relations mathématiques” ci-dessus puisque c’est justement à ça qu’elles servent : décrire.

Par exemple, plein de gens s’émerveillent de ce que la coquille du Nautile suive une (et pas forcément une en passant.. )

C’est vrai que c’est beau, mais c’est le contraire : c’est la spirale logarithmique qui suit la coquille du Nautile !

Le Nautile ne fait que grandir dans sa coquille et l’agrandit en utilisant le moins de matière possible, en évitant de créer des discontinuités de courbure qui fragiliseraient sa coquille. C’est nous qui, en observant le Nautile, avons compris qu’il est un gros flemmard qui minimise l’énergie comme nous tous et même pratiquement tout dans l’Univers (“loi plus générale” obtenue en regroupant de nombreuses observations distinctes) et que ceci conduit à l’apparition de spirales logarithmiques.

Vous saisissez la nuance ? Alors je vous ai converti au :-)

Et un de moins, un !

voir aussi :