Comment un ensemble de nombres infinis peut-il être plus grand qu'un autre ensemble infini ?

Fri, 31 Mar 2023 00:00:00 +0000

Réponse publiée

facilement.

Prenez l’ensemble N* des nombres entiers positifs, sans le 0.

N* est infini.

Maintenant appliquez la fonction f(n)=1/n à tous les nombres de N, n=(1,2,3,4…). Tous les f(n) vont constituer un ensemble de nombres (1, 1/2, 1/3, 1/4, …) tout aussi infini que N*, mais :

limité à l’intervalle ]0,1], un tout petit morceau de l’ensemble Z* des rationnels positifs non nuls qui est donc beaucoup plus grand que N*. Par exemple il n’existe aucun n entier tel que 1/n = 4/3
plein de trous, parce qu’une infinité de nombres rationnels dans l’intervalle ]0,1] ne peuvent pas être écrits sous la forme 1/n avec n entier. Par exemple 2/3.

Et pourtant, l’ensemble Z* des rationnels (nombres de la forme a/b avec a et b entiers) est un ensemble tout aussi “dénombrable” que N* parce qu’on peut définir des fonctions comme

$f(a,b) = \frac{(a+b)^2+a+b}{2}+a$

qui vont faire correspondre à chaque élément a/b de l’ensemble Z* un et un seul élément de N*. Autrement dit, on peut numéroter chaque fraction a/b avec un seul nombre entier.

Par contre l’ensemble R des nombres réels n’est pas dénombrable, donc il est vraiment infiniment plus grand que les ensembles N ou Z.

voyez pour une jolie illustration de ceci

La théorie des ensembles ZF ou ZFC a-t-elle servit à quelque chose et c'est quoi cette chose ?

Sun, 07 Feb 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui, elles ont servi à éviter les paradoxes de la logique découverts au début du 20ème siècle, et à reformaliser les mathématiques sur des bases plus solides.

définit les axiomes de la théorie des ensembles sur laquelle sont construites les mathématiques usuelles, notamment en introduisant l'

(qui donne la théorie ZFC).

Cette revolution des bases des maths a ouvert la voie à des résultats fondamentaux comme les

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Ensembles-Mathematiques | Dr. Goulu

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