Division-Mathematiques | Dr. Goulu

Pourquoi la multiplication semble t-elle plus facile que la division (de mon point de vue d'ignorant en arithmétique) ?

Sun, 08 Sep 2024 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Elle l’est.

Dejà, la multiplication de deux nombres entiers donne un nombre entier, alors que la division pas toujours.

Pour la multiplication par un petit nombre entier n, on peut faire n additions successives, alors que pour diviser 2 par 3 on se retrouve avec une infinité d’étapes et autant de décimales.

Multiplier par 0 est un petit problème, mais diviser par 0 est un gros problème…

Tout ceci explique pourquoi la multiplication était connue des egyptiens, chinois et autres civilisations antiques, qui utilisaient volontiers les bases 12 ou 60 bien pratiques pour les divisions par 3,4,(5),6 utiles au marché, alors que les divisions non triviales étaient réservées aux érudits qui connaissaient la division euclidienne et la notion de reste : 17/5 = 3 + 2/5

La méthode de division qu’on apprend (peut-être encore) à l’école est un algorithme datant du moyen âge.

Plus “récemment” , je me rappelle de mon émerveillement en passant du 6502 de mon PET au qui avait une instruction de multiplication de 2 nombres de 8 bits, et de l’ été de boulot pour me payer un capable de faire des divisions, 10 ans plus tard…

D’une manière générale, beaucoup de fonctions sont difficiles à inverser. Je ne vais pas vous gâcher le plaisir de la trigonométrie inverse, mais être beaucoup plus terre à terre : regardez le montant sur votre compte en banque. C’est le résultat de plein d’additions et de soustractions précédentes, faciles à vérifier. Maintenant visez un objectif financier futur : avoir X euro sur votre compte dans 10 ans. Vous n’avez qu’à faire ces additions et soustractions vers le futur plutôt que vers le passé, la fonction inverse…

Le quotient de deux entier de gauss est-il nécessaire un entier de gauss ?

Sun, 02 May 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Dans C non, mais dans l’ des , oui.

“il suffit de " définir la division de deux entiers de Gauss ainsi :

Soit a et b deux entiers de Gauss tels que b soit non nul, alors il existe un couple d’entiers de Gauss tel que :

${\displaystyle a=bq+r\quad {\text{avec}}\quad N(r)
Illustrons la division euclidienne par un exemple :
$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-36+242\mathrm {i} \\b&=50+50\mathrm {i} \\{\frac {a}{b}}&={\frac {103}{50}}+{\frac {139}{50}}\mathrm {i} \end{aligned}}}$$
L’objectif est de trouver un entier de Gauss q proche de a / b. Par proche on entend que le reste de la division soit de norme plus petite que la norme de b. Une autre manière d’exprimer la division euclidienne est de dire que la distance entre a / b et q est strictement inférieure à 1.

Dans l’illustration, le carré contenant a / b est mis en valeur par un fond rouge. Les quatre sommets du carré sont alors candidats à être solution de la division euclidienne. Chaque sommet est le centre d’un cercle de rayon un, dont l’intersection du disque intérieur avec le carré rouge indique la zone où la division est possible. On remarque que tout point du carré est couvert par au moins un cercle. Plus précisément les points près du centre sont couverts par quatre cercles, une zone près de chaque sommet est couverte par trois cercles, le reste du carré, autour des côtés, par deux cercles à l’exception des sommets, couverts par un unique cercle.

En conclusion, la division euclidienne admet toujours de une à quatre solutions, la solution est unique si et seulement si a / b est un entier de Gauss. Dans notre exemple, les trois solutions acceptables sont :
$${\displaystyle s_{1}=2+3\mathrm {i} \quad s_{2}=2+2\mathrm {i} \quad s_{3}=3+3\mathrm {i} .}$$
L’unicité de la solution n’est pas si importante, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien.

Est-il réellement impossible de diviser par 0 ou est-ce simplement que nous ne savons pas encore le faire ?

Fri, 19 Feb 2021 00:00:00 +0000

Réponse publiée

La par un nombre d est définie comme la de la multiplication par d :

si $a=b \times d$, alors $b = a/d$

et vice-versa.

Si vous mettez d=0 là-dedans, vous voyez que $a=b \times 0$ donne $a=0$ quel que soit b, et donc que la donne un résultat indéfini.

Pas infini : inDEfini, dans le sens que normalement, on ne “peut” que diviser a=0 par d=0 , puisque seule la réciproque $0 = b \times 0$ est vraie, et que le résultat correspondant est 0/0 = n’importe quel b.

Donc pour $a \ne 0$, c’est encore pire : la multiplication réciproque $a=b \times 0$ne peut pas être vraie.

les matheux expriment ceci en disant que la division par zéro

contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde d’un , car zéro (l’ de l’addition) est un pour la multiplication

Autrement dit, on ne peut pas définir la division par zéro sur le car on aboutit à des contradictions. Même pas un , d’ailleurs.

Autrement dit “multiplier ou diviser par zéro, il faut choisir”.

Et les matheux sont capables de choisir la division par zéro, les fous !

Ils ont commencé par des trucs softs comme les limites et les pour nous aider dans des cas pratiques.

Puis ils ont défini les qui permettent de manipuler des nombres “presque infinis” et “presque nuls” proprement.

Enfin de récentes ont conduit à définir des dans lesquelles la division par zéro est bien définie. C’est notamment le cas de la “roue” :

Carlström, J. (2004). , 14(1), 143–184. ( )

Evidemment, dans une “roue” c’est la multiplication qui devient bizarre…

Donc la réponse à votre question est : c’est vraiment impossible, mais on sait le faire quand même…

Notes de bas de page