Quelles sont les dimensions du cylindre qui maximise le volume ?

Wed, 03 Jun 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

… avec une surface S donnée, je parie ?

bon alors je “retourne” ma , petit malin ….

on a la surface $S=2\pi.r^2 + 2\pi.r.h$ (1)

et on veut maximiser le volume $V=\pi.r^2.h$ (2)

de (1) on tire $h=S/(2\pi.r)-r (3)$

En introduisant ça dans (2) on obtient

V(r)=$S.r/2 -\pi.r^3$

en dérivant par rapport à r on obtient

$V'(r)=S/2 - 3\pi.r^2$

V’(r)=0 a une seule solution réelle positive pour $r=\sqrt{S/6\pi}$

en introduisant dans (3) on obtient $h=\sqrt{4.S/3\pi}$

Quelles sont les dimensions du cylindre qui minimise la surface ?

Wed, 03 Jun 2020 00:00:00 +0000

Réponse publiée

il manque “pour un volume V fixé”

on a $V=\pi.r^2.h$ , donc $h=V/(\pi.r^2)$ (1)

et $S=2\pi.r^2 + 2\pi.r.h$ (2) pour la surface $$

En introduisant (1) dans (2) on obtient

S(r)=$2\pi.r^2 + 2V/r$

en dérivant par rapport à r on obtient

S’(r)=4$\pi.r - 2V/r^2$

S’(r)=0 a pour $r=\sqrt[3]{V/2\pi}$

en introduisant dans (1) on obtient $h=V/\left(\pi.(V/2\pi)^{2/3}\right)$

soit $h=\sqrt[3]{4V/\pi}$