$On suppose connus les coefficients binomiaux. Comment déterminer tous les couples $\left ( n,\, m \right )$ d'entiers strictement positifs tels que $\binom{n}{3}=m^2$. Peut-on généraliser avec les triplets $ \left (n,\, m, \, k \right )$ tels que $\binom{n}{k}=m^2, \, \, \, k\geq 4$ ?$

On suppose connus les coefficients binomiaux. Comment déterminer tous les couples $\left ( n,\, m \right )$ d'entiers strictement positifs tels que $\binom{n}{3}=m^2$. Peut-on généraliser avec les triplets $ \left (n,\, m, \, k \right )$ tels que $\binom{n}{k}=m^2, \, \, \, k\geq 4$ ?

26 avril 2023 · 1 min. de lecture

Réponse publiée sur Quora

les ${n \choose 3}$sont des Nombres tétraédriques et 0, 1, 4 et 19600 sont les seuls entiers qui sont à la fois tétraédriques et carrés

selon A003556 - OEIS ça a été démontré par A. J. J. Meyl en 1879 dans la Question 1194 , Nouvelles Annales de Mathématiques, 2ème série, tome 17 (1878), p. 464-467.

Pour la généralisation, la conjecture de Guglielmetti dit qu’il n’y en a pas pour k>3 et n>1 …

Dernière mise à jour le 26 avril 2023

Auteurs

Dr. Goulu (il/lui)

Ingénieur à la retraite, toujours curieux et voyageur

EPFL MS Informatique 1988, PhD automatique 1994, eMBA Management of Technology

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On suppose connus les coefficients binomiaux. Comment déterminer tous les couples $\left ( n,\, m \right )$ d'entiers strictement positifs tels que $\binom{n}{3}=m^2$. Peut-on généraliser avec les triplets $ \left (n,\, m, \, k \right )$ tels que $\binom{n}{k}=m^2, \, \, \, k\geq 4$ ?