Comment un ensemble de nombres infinis peut-il être plus grand qu'un autre ensemble infini ?

Réponse publiée sur Quora

facilement.

Prenez l’ensemble N* des nombres entiers positifs, sans le 0.

N* est infini.

Maintenant appliquez la fonction f(n)=1/n à tous les nombres de N, n=(1,2,3,4…). Tous les f(n) vont constituer un ensemble de nombres (1, 1/2, 1/3, 1/4, …) tout aussi infini que N*, mais :

1. limité à l’intervalle ]0,1], un tout petit morceau de l’ensemble Z* des rationnels positifs non nuls qui est donc beaucoup plus grand que N*. Par exemple il n’existe aucun n entier tel que 1/n = 4/3
2. plein de trous, parce qu’une infinité de nombres rationnels dans l’intervalle ]0,1] ne peuvent pas être écrits sous la forme 1/n avec n entier. Par exemple 2/3.

Et pourtant, l’ensemble Z* des rationnels (nombres de la forme a/b avec a et b entiers) est un ensemble tout aussi “dénombrable” que N* parce qu’on peut définir des fonctions comme

$f(a,b) = \frac{(a+b)^2+a+b}{2}+a$

qui vont faire correspondre à chaque élément a/b de l’ensemble Z* un et un seul élément de N*. Autrement dit, on peut numéroter chaque fraction a/b avec un seul nombre entier.

Par contre l’ensemble R des nombres réels n’est pas dénombrable, donc il est vraiment infiniment plus grand que les ensembles N ou Z.

voyez cette video pour une jolie illustration de ceci

https://www.youtube.com/watch?v=…