Pourquoi la vitesse de la lumière est au carré ?

Réponse publiée sur Quora

L’Équation d’Einstein ne contient pas la vitesse de la lumière au carré*

La fameuse E=mc^2 n’est qu’une des nombreuses équations de la physique qui contient $c^2$ parce qu’il apparaît quand on calcule une distance dans l’espace-temps avec ce bon vieux Pythagore un peu adapté.

Dans lcet Espace de Minkowski , la distance $d$ entre deux événements $(x_1,y_1,z_1,t_1)$ et $(x_2,y_2,z_2,t_2)$ s’écrit

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2-(c.t_1-c.t_2)^2}$

comme vous le voyez, la vitesse de la lumière $c$ sert à convertir les temps en longueurs et comme $(c.t_1-c.t_2)^2 = c^2(t_1-t_2)^2$, on se retrouve avec des $c^2$ dès qu’on mixe des temps et des longueurs, la base de la relativité.

(Et comme vous le voyez aussi, la coordonnée temporelle a un signe - sous la racine, parce que Le temps est une 4ème dimension imaginaire au sens mathématique , mais c’est un autre sujet)

Accessoirement , “ça joue” au niveau des unités puisqu’une masse en $kg$ multipliée par une vitesse ($m/s$) au carré ça donne des $kg.m^2/s^2$ qui sont bien des Joule , l’unité SI d’énergie.

Note en fait si, mais cachée dans la Constante d’Einstein , ou elle est encore au carré : $c^4$ …