Peut-on dire qu'il y a une infinité de nombre premiers ?

Réponse publiée sur Quora

Oui, on peut, et c’est même très facile à démontrer.

Si il y en avait une suite finie, en faisant le produit de tous les termes et en y ajoutant 1, on obtiendrait soit :

• un nombre premier
• un nombre pouvant être factorisé en facteurs premiers qui ne sont pas dans la suite.

On ajoute les nouveaux nombres premiers ainsi découverts à la suite, et on recommence à l’infini …

Je viens de faire un petit programme python (ci-dessous) qui produit cette suite :

2, 3, 7, 43, 13, 139, 3263443, 547, 607, 1033, 31051, 29881, …

et je découvre que c’est A126263 - OEIS , qui est la factorisation de la Suite de Sylvester , alors merci pour la question.

Le p’tit Python :

from Goulib.math2 import factors
suite = set()
prod = 1
def add(n):
    global prod
    if n in suite:
        return
    suite.add(n)
    prod = prod*n
    print(n, end=', ')
add(2)
while True:
    for n in factors(prod+1):
        add(n)