Pourquoi la somme des nombres à l'infini est-elle égale à -1/12?

quora Pourquoi

Réponse publiée sur Quora

Ce n’est pas la somme “normale” des entiers qui donne -1/12 mais leur Sommation de Ramanujan , que Ramanujan avait noté $(\Re)$ dans ses carnets, sans expliquer ce que c’était tant c’étai évident pour lui :

$$\sum_{k=1}^xf(k) = C + \int_0^x f(t)\,{\rm d}t + \frac12f(x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k - 1)}(x)$$

si vous regardez l’équation pour la fonction identité f(x)=x, vous voyez qu’elle lie la somme des entiers à l’intégrale des entiers.

Comme le montre David Louapre à la fin de son super article, cette relation (que l’on retrouve en physique ! ) a une signification profonde :

la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de ∫xdx qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. Dans le cas de Casimir, il s’agit bien d’ailleurs du niveau énergétique « de base », quand les plaques sont très éloignées. Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo ∫xdx.

https://scienceetonnante.com/201…