Est-il réellement impossible de diviser par 0 ou est-ce simplement que nous ne savons pas encore le faire ?

Réponse publiée sur Quora

La Division par un nombre d est définie comme la réciproque de la multiplication par d :

si $a=b \times d$, alors $b = a/d$

et vice-versa.

Si vous mettez d=0 là-dedans, vous voyez que $a=b \times 0$ donne $a=0$ quel que soit b, et donc que la Division par zéro donne un résultat indéfini.

Pas infini : inDEfini, dans le sens que normalement, on ne “peut” que diviser a=0 par d=0[1] , puisque seule la réciproque $0 = b \times 0$ est vraie, et que le résultat correspondant est 0/0 = n’importe quel b.

Donc pour $a \ne 0$, c’est encore pire : la multiplication réciproque $a=b \times 0$ne peut pas être vraie.

les matheux expriment ceci en disant que la division par zéro

contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde loi de composition d’un corps , car zéro (l’élément neutre de l’addition) est un élément absorbant pour la multiplication

Autrement dit, on ne peut pas définir la division par zéro sur le Corps des nombres car on aboutit à des contradictions. Même pas un Anneau , d’ailleurs.

Autrement dit “multiplier ou diviser par zéro, il faut choisir”.

Et les matheux sont capables de choisir la division par zéro, les fous !

Ils ont commencé par des trucs softs comme les limites et les matrices pseudo-inverse pour nous aider dans des cas pratiques.

Puis ils ont défini les Nombres hyperréels qui permettent de manipuler des nombres “presque infinis” et “presque nuls” proprement.

Enfin de récentes“tentatives plus poussées” ont conduit à définir des Structures algébriques dans lesquelles la division par zéro est bien définie. C’est notamment le cas de la “roue” :

Carlström, J. (2004). Wheels – on division by zero | Mathematical Structures in Computer Science | Cambridge Core , 14(1), 143–184. (pdf )

Evidemment, dans une “roue” c’est la multiplication qui devient bizarre…

Donc la réponse à votre question est : c’est vraiment impossible, mais on sait le faire quand même…

Notes de bas de page

[1] Zéro divisé par zéro égalent ?… - Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes