Les nombres imaginaires sont-ils utiles ?

Réponse publiée sur Quora

Pour compléter l’excellente réponse de Pierre C à propos de l’ “utilité” en physique, je dirais que la Forme algébrique $z = a+b.i$ d’un nombre complexe n’a pas vraiment d’utilité*. On utilise beaucoup plus la Forme polaire $z = r.e^{i\theta}$ qui permet de manipuler à la fois des fréquences (via les sin & cos) et leur amplitude, constante ou évoluant dans le temps selon une exponentielle comme dans le cas d’ondes amorties.

On retrouve donc les nombres complexes dans des choses comme la Transformation de Fourier qui permet d’obtenir le Spectre fréquentiel d’un signal , ou dans l’étude des Systèmes dynamiques , donc de pratiquement tout ce qui bouge …

Note* (devenue une grosse digression) : en y réfléchissant, je ne vois qu’un aspect de la physique où un nombre imaginaire apparaît sans être associé à une rotation, c’est dans la Métrique de Minkowski (et d’autres solutions des équations d’Einstein). Dans l’équivalent de la formule de Pythagore décrit par cette métrique, la Distance dans un espace-temps plat se mesure par la formule

$d=\sqrt{x^2+y^2+z^2\textbf{-(c.t)}^2}$

avec c= cette bonne vieille “vitesse de la lumière” qui prend tout son sens ici : c’est juste un facteur entre les unités de temps de t (secondes) et de distance de x,y,z (mètres) !

Notez le signe moins … Cependant on peut transformer le signe - en + pour retomber sur une “distance qui a l’air euclidienne” en introduisant l’unité imaginaire i comme ça :

$d=\sqrt{x^2+y^2+z^2 \textbf{+(c.i.t)}^2}$

Et ça, ça signifie qu’en relativité, Le temps est une 4ème dimension imaginaire au sens mathématique ! Le temps est “perpendiculaire” à l’espace, mais fondamentalement différent des dimensions spatiales.