Peut-on scientifiquement démontrer que les décimales après la virgule du chiffre Pi sont infinies ?

Réponse publiée sur Quora

Oui. Jean-Henri Lambert a prouvé que Pi est irrationnel en 1761.

Il a exposé un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente . Il en déduit qu’un développement de tan(m/n), avec m et n entiers non nuls, s’écrit

$$\tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\cfrac {m}{n-{\cfrac {m^{2}}{3n-{\cfrac {m^{2}}{5n-{\cfrac {m^{2}}{7n-{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$$

Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par contraposition , cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral . L’une d’entre elles, due à Ivan Niven , est très largement connu[1]

(Wikipedia)

Notes de bas de page

[1] https://www.ams.org/journals/bul…