Comment faire passer un Arc par 3 points

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Tombé sur ce problème tout bête en apparence : Comment faire passer un arc de cercle par 3 points ? Ou plus précisément comment définir un arc de cercle orienté entre deux points a et c, passant par un troisième point b ?

La partie facile, c’est de trouver le cercle passant par 3 points, d’autant qu’il y a (au moins) deux méthodes:

1. la géométrique : trouver le centre du cercle circonscrit au triangle abc, intersection des médiatrices de deux côtés du dit triangle, puis mesurer le rayon entre ce point et n’importe lequel des 3 points
2. la mathématique (qui revient au même) : trouver le point (x,y) équidistant des 3 points et le rayon r en résolvant ces trois équation simultanées:

\[mathjax\]$$\left\\{\begin{matrix} (x-a_x)^2+(y-a_y)^2=r^2\\\\ (x-b_x)^2+(y-b_y)^2=r^2\\\\ (x-c_x)^2+(y-c_y)^2=r^2 \end{matrix}\right.$$

En soustrayant la 3ème des deux autres, on élimine r:

$$\left\\{\begin{matrix} (x-a_x)^2+(y-a_y)^2-(x-c_x)^2-(y-c_y)^2=0\\\\ (x-b_x)^2+(y-b_y)^2-(x-c_x)^2-(y-c_y)^2=0 \end{matrix}\right.$$

que l’on peut ramener à deux équations du premier degré en x et y:

$$\left\\{\begin{matrix} 2(c_x-a_x)x+2(c_y-a_y)y=c^2-a^2\\\\ 2(c_x-b_x)x+2(c_y-b_y)y=c^2-b^2 \end{matrix}\right.$$

où:

$$a^2=a_x^2+a_y^2$$

, 

$$b^2=b_x^2+b_y^2$$

et 

$$c^2=c_x^2+c_y^2$$

et finalement en posant:

$$d = 2\left( a_x(b_y-c_y) + b_x(c_y-a_y) + c_x (a_y - b_y)\right)$$

on obtient

$$\left\\{\begin{matrix} x = \[ a^2 (b_y-c_y) + b^2 (c_y-a_y) + c^2 (a_y-b_y)\]/d\\\\ y = \[ a^2 (c_x-b_x) + b^2 (a_x-c_x) + c^2 (b_x-a_x) \]/d \end{matrix}\right.$$

Ian Galton, “An efficient three-point arc algorithm ”, 1989, IEEE Computer Graphics and Applications , Volume 9 Issue 6 doi:10.1109/38.41468