Les impossibles 2

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En 1900, le mathématicien Hilbert proposa 23 problèmes  devant être résolus au XXème siècle. Les deux premiers sont liés à la “révolution de la logique” mentionnée dans la première partie  de cette réflexion sur ce qui est scientifiquement impossible. Suite à ceci, les mathématiciens savent désormais qu’il leur sera toujours possible de formuler des théorèmes impossibles à démontrer quels que soient les axiomes qu’ils adoptent. Mais le sixième problème de Hilbert  qui visait à appliquer une démarche similaire à la physique n’a toujours pas été résolu : on n’a pas réussi à définir les “axiomes de la physique”. Les difficultés ont été multiples. Pour commencer, la notion de “vérité ” diffère entre mathématiciens et physiciens. En logique, le “vrai” est purement formel : les axiomes sont admis comme “vrais” par définition, et tout ce qui en découle logiquement par les théorèmes (démontrés) est alors qualifié de “vrai”.

Les principes de la physique

En physique, le but est de construire une théorie dans laquelle ce qui est “vrai” correspond à ce que l’on peut observer dans la réalité*. La physique ne peut donc tout simplement pas accepter d’ “axiomes” car toute vérité doit être vérifiée par l’expérience, ou du moins n’être contredite par aucune observation. C’est pourquoi on parle plutôt de “lois ”, de “postulat s” ou de principes physiques que d’axiomes. Il en existe une ribambelle, je n’en ai même pas trouvé de liste réputée exhaustive, mais en voici quelques uns:

• le principe cosmologique , qui dit que l’univers est homogène et isotrope, et que nous n’en occupons pas une position particulière.
• le principe de causalité , qui dit que les effets suivent les causes dans le temps
• les lois de conservation dont le fameux principe de conservation de l’énergie
• les trois principes de la thermodynamique
• la symétrie CPT dont j’ai causé dans mon meilleur article  de tous les temps
• les trois axiomes de la mécanique quantique , dont certains dérivent les six postulats de la mécanique quantique
• les deux postulats d’Einstein  de la relativité restreinte
• etc.

Ces principes physiques diffèrent des axiomes mathématiques encore par plusieurs aspects:

• Les principes ne sont pas indépendants les uns des autres : certains sont le résultats de la combinaison d’autres, voire des reformulations. Par exemple, le théorème d’Emmy Noether , collaboratrice de Hilbert, démontre mathématiquement l’équivalence entre les lois de conservation et les invariances par symétrie ou translation telles que celles résultant du principe cosmologique.
• Les principes ne sont pas démontrés, mais pas indémontrables non plus. Il n’est pas exclu qu’ils soient démontrés un jour vu ce qui précède. Par contre ils sont pour la plupart parfaitement vérifiés expérimentalement.
• Comme toute proposition scientifique les principes sont des propositions réfutables  : il suffit de trouver un contre-exemple pour les envoyer à la poubelle, ou du moins au recyclage …
• Car les principes sont parfois “juste un peu faux” ou valables dans des cas limités, et il est souvent possible de les reformuler pour tenir compte d’une nouvelle découverte sans tout remettre en question. Ce fut le cas de la conservation de la masse par exemple, et ce sera peut-être le cas du principe cosmologique suite à la découverte du Huge-LQG .
• En fait, la cohérence logique  des principes physiques entre eux n’est pas établie. Certains estiment que les postulats de relativité

Ensuite, la physique manipule des “grandeurs physiques ” associées à des unités qui introduisent des contraintes supplémentaires : il n’existe pas de masses négatives, il est interdit d’additionner des volts et des mètres, et additionner des milliers de kilomètres par seconde peut se révéler non trivial  . analyse dimensionnelle validée par un résultat purement mathématique, le théorème de Vaschy-Buckingham Toutes ces contraintes font qu’il y a moins de choses vraies en physique que dans les mathématiques sous-jacentes ***. Par exemple, l’équation d’Einstein de la relativité générale a défini de manière purement mathématique une ribambelle d’univers différents, parmi lesquels l’univers statique  auquel Albert croyait, l’univers de Gödel (oui, encore lui) dans lequel le voyage dans le temps est possible, l’Univers anti de Sitter mentionné par Hawking dans son récent article , et d’autres encore . Toutes ces théories sont “vraies” au sens mathématique car chacune découle logiquement de certains axiomes et postulat s. Selon la théorie des modèles de Tarski ce sont des théories “valides”. Mais au bout du compte, ce sont les vérifications expérimentales qui en ont fait, font ou feront des vérités physiques. Si l’on peut éventuellement discuter de la validité absolue de l’un ou l’autre de ces principes, il faut bien réaliser que leur ensemble forme actuellement un ensemble cohérent (= non contradictoire) qui permet à la fois de décrire et quantifier les mesures expérimentales et de prédire le résultat de pratiquement toutes les expériences qu’il est possible de réaliser Stephen Hawking a dit : “J’étais déçu qu’il n’existât pas de théorie pouvant être formulée comme un nombre fini de principes. Mais j’ai changé d’avis.”

Les impossibilités techniques

Joli ! et de Sandrine en plus !

• les impossibilités purement logiques, indépendantes de la physique. C’est

Notes:

* En philosophie, cette distinction empiriste  entre vérités “analytiques”  et “synthétiques” est aujourd’hui remise en question par les disciples de Quine  [1] , [2]  dont la philosophie analytique repose sur une étude du langage inspirée de celle que les logiciens appliquèrent au langage des mathématiques. *** Je ne peux résister au plaisir de vous raconter une anecdote à ce propos. Au lycée, notre prof de physique nous avait donné ce problème : “deux conducteurs de voitures identiques de masse m roulant en sens inverse à vitesse v égales s’aperçoivent à distance d qu’ils vont se télescoper et freinent tous deux avec une force constante f. Après quel temps de freinage vont-ils entrer en collision et à quelle vitesse ?” Toute le monde s’en sort facile : il n’y a qu’à calculer la décélération a=f/m puis résoudre v.t-a.t^{2/2 = d/2 soit l’équation du second degré a.t}2 -2.v.t +d = 0, ce qui donne $t = \frac{v \pm \sqrt{v^2 -a.d}}{a}$ et $v_c = \pm \sqrt{v^2 -a.d}$ pour la vitesse de collision. Le prof avait mis 0 à tous ceux qui avaient mis les deux solutions, car physiquement après la collision les voitures ne bougent plus alors que mathématiquement elles s’interpénètrent jusqu’à l’arrêt, puis la force de freinage les fait reculer jusqu’à ce qu’elles s’interpénètrent en marche arrière …

Références

1. Willard Van Orman Quine “Two Dogmas of Empiricism ”, 1951, Philosophical Review 60 p. 20-43

2. "The Analytic/Synthetic Distinction ", Stanford Encyclopedia of Philosophy

3. Stephen Hawking “Gödel and the End of Physics ”

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Wightman _axioms

5. http://physics.stackexchange.com/questions/97730/what-is-fundamentally-physically-impossible

6. http://www.philolog.fr/a-quoi-reconnait-on-quune-theorie-est-scientifique/

8. http://www.cracked.com/article _19978_5-mind-blowing-ways-that-science-has-done-impossible.html

9. http://philosophiedessciences.blogspot.ch/2014/02/scientisme-et-empirisme.html

10. Murray Gell-Mann “Sur la beauté et la vérité en physique ”, conférence TED, 2007