Dr. Goulu

Pourquoi … Comment … Combien ?

Al-Khawarizmismes

statue d'Al-Khawarizmi en Ousbekistan, par Heathen Dawn sur Flickr

Dans les années 800, le mathématicien perse Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī introduit le zéro (indien) dans les chiffres arabes, décrit comment résoudre les équations du second degré, et propose de résoudre certains problèmes mathématiques en répétant une séquence d’opérations jusqu’à ce qu’un « critère d’arrêt » soit satisfait. Au XIIème siècle, les moines latins nomment « algorismus » cette méthode d’Al Khuwarizmi, qui devient « algorithme » en français en 1554.

Pour cette idée fondamentale des mathématiques et indispensable en informatique, Al Khuwarizmi a reçu à titre posthume un cratère lunaire à son nom, et environ 165’000 fautes d’orthographe commises par des ignares qui mettent un y grec à la place d’un  ī persan…

Après que des fous aient passé leur vie à calculer à la main des tables de logarithmes ou des décimales de pi, c’est évidemment l’arrivée des ordinateurs qui a donné à l’algorithmique son importance actuelle. Aujourd’hui, vous utilisez des algorithmes tous les jours, sans le savoir. Par exemple lorsque vous cliquez sur le titre d’une colonne sur votre ordinateur, et que les lignes sont triées en un clin d’oeil. Ou lorsque vous demandez votre route à un GPS. A chaque fois que vous téléphonez ou utilisez votre carte de crédit, vous utilisez des algorithmes de cryptographie qui étaient de la science-fiction il y a 50 ans.

Bon, ça c’était l’introduction. En fait cet article est motivé par la coïncidence de trois événements survenus la semaine passée :

  • Mes collègues ont (enfin) réussi à faire fonctionner un algo que j’avais pondu pour optimiser les mouvements d’une machine. Un algo assez simple (optimisation gloutonne, évidemment…), bien testé, mais pas suffisamment documenté, donc pas bien utilisé, donc inspirant une certaine méfiance… Mais là ça marche! Vidéo bientôt.
  • La découverte de l’existence du Prix J.H. Wilkinson attribué tous les 4 ans aux auteurs d’un logiciel de calcul numérique particulièrement efficace, dont certains que je connaissais depuis peu (FFTW et Triangle) et d’autres à découvrir (deal.II)
  • Enfin, sur les liens du jeudi de Neamar, un lien vers la page d’un chercheur listant les algorithmes considérés comme les plus importants par ses collègues et lui. Il y en a 32, assez pour évaluer vos connaissances en la matière ou les rafraichir, et apprendre éventuellement des choses:
  1. l’algorithme A* trouve le chemin « le plus court ou presque » entre deux noeuds d’ un graphe. Il est utilisé dans les GPS et dans les jeux vidéo pour  les déplacements des personnages par « intelligence artificielle »
  2. Beam Search peut dans certains cas trouver un chemin meilleur qu’A*, mais nécessite plus de calculs.
  3. La dichotomie est la technique que les enfants utilisent pour chercher un mot dans le dictionnaire : on l’ouvre à la moitié, puis à la moitié de la moitié où se trouve le mot et ainsi de suite jusqu’à trouver la bonne page.
  4. « Branch and bound » : Séparation et évaluation est une méthode générique d’optmisation combinatoire permettant d’éviter d’évaluer toutes les possibilités.
  5. L’ algorithme_de_Buchberger est un truc de matheux datant de 1976, qui généralise à la fois le plus ancien algorithme connu, celui du PGCD d’Euclide et celui de l’élimination gaussienne (connue des Chinois dàjà 1700 ans plus tôt…)
  6. La compression des données omniprésentes dans nos fichiers informatiques. Il existe de nombreux algorithmes spécifiques, parmi lesquels la transformée_de_Burrows-Wheeler me parait particulièrement géniale.
  7. L’échange des clés Diffie-Hellman permet à deux personnes qui ne se connaissent pas d’échanger des informations confidentielles sur un canal non sécurisé. Indispensable en télécommunications.
  8. L’algorithme de Dijkstra détermine le chemin le plus court entre deux neouds d’un graphe, sous certaines contraintes expliquées dans l’article sur le  GPS encore.
  9. Les différences finies permettent d’approximer des dérivées, comme dans la formule f’(x) = (f(x+h) – f(x-h)) / 2h. (Je les utilise tous les jours, mais est-ce vraiment des algorithmes ?)
  10. La Programmation Dynamique est une méthode d’optimisation sous contrainte. Elle permet d’obtenir une solution optimale à partir des solutions optimales de sous-problèmes. Curieusement, en 1976, on  amontré que les algorithmes de programmation dynamique sont équivalents à ceux de recherche d’un chemin optimal dans un graphe…
  11. L’algorithme d’Euclide pour déterminer le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux entiers est le plus ancien algorithme connu. Il est paru dans les « Eléments » d’Euclide autour de 300 av J.C et ne nécessite pas de factorisation des nombres.
  12. L’algorithme « espérance maximisation » est très utilisé en traitement d’images.
  13. La transformée de Fourier rapide (FFT) est extrêmement utilisée en traitement du signal, et plein d’autres domaines, jusque dans l’étude des succès Hollywoodiens.
  14. La descente de gradient est l’algorithme le plus connu pour obtenir le minimum d’une fonction à plusieurs variables.
  15. Les fonctions de hachage permettent de manipuler plus facilement de grosses données en les réduisant à des empreintes. Shazam utilise cette idée de manière spectaculairement efficace. Mais ici aussi, j’hésiterais à parler d’algorithme pour une « simple » fonction…
  16. Le Tas est une structure de données exploitée dans beaucoup d’algorithmes informatiques très efficaces comme le tri par tas. ( Il faut absolument que je trouve le temps d’étudier le « soft heap« , une structure de données « miraculeuse » découverte en 2000 )
  17. L‘algorithme de Karatsuba permet de multiplier 2 (grands) nombres plus vite qu’avec la méthode que vous avez apprise à l’école.
  18. L’algorithme LLL détermine des vecteurs de base « presque » orthogonaux à partir d’un grand nombre de vecteurs. Il est utilisé en cryptographie.
  19. l’algorithme_de_Ford-Fulkerson permet de résoudre le problème de flot maximum
  20. Le Tri fusion permet de réarranger rapidement une liste dans un ordre spécifique
  21. La Méthode_de_Newton permet de trouver une  approximation des zéros d’une fonction, des solutions d’une équation à plusieurs variables, ou les minima/maxima.
  22. Q-learning est une technique d’ »apprentissage renforcé »
  23. le Crible quadratique est la meilleure méthode de factorisation d’un nombre, à part le crible sur le corps des nombres généralisés qui est à peine meilleur mais beaucoup plus compliqué. Si vous voulez casser une clé RSA, c’est ce qu’il vous faut, en plus de beaucoup de gros ordinateurs…
  24. RANSAC, pour  »RANdom SAmple Consensus » est un algorithme d’ajustement de paramètres à des données qui ignore les données « visiblement complètement fausses »
  25. RSA, pour Rivest_Shamir_Adleman, est le génial algorithme de cryptographie a clé révélée utilisé dans la plupart des systèmes de sécurité actuels : carte bancaire, commerce électronique etc.
  26. l’algorithme_de_Schönhage-Strassen effectue des multiplications de grands entiers en utilisant la FFT. Sacrés mathématiciens…
  27. l’ algorithme_du_simplexe permet de résoudre les problèmes dits de programmation linéaire, dans lesquels on cherche à optimiser la valeurs d’une fonction de plusieurs variables devant satisfaire des contraintes d’inégalités.
  28. La décomposition_en_valeurs_singulières permet de factoriser des matrices rectangulaires, donc de résoudre des systèmes linéaires surdéterminés (avec plus d’équations que d’inconnues). Elle est utilisée dans de nombreux domaines, de la robotique aux prévisions météo.
  29. Résoudre des systèmes d’équations linéaires par élimination de Gauss-Jordan ou décomposition de_Cholesky est l’une des opérations les plus communes en analyse numérique, utilisée dans pratiquement tous les domaines de l’ingénierie.
  30. les « tenseurs de structure » (Structure_tensor en anglais) sont très utilisées en traitement d’image : ils permettent de quantifier l’appartenance d’un pixel à une région homogène. Méritent-ils de figurer dans les algorithmes ? la question est ouverte.
  31. Union-Find est une structure de données permettant de partitionner des données dans des ensembles disjoints, et de trouver rapidement à quel ensemble appartient une donnée ainsi que de réunir rapidement des ensembles.
  32. L’algorithme de Viterbi, une retombée de la conquête spatiale permettant de corriger les erreurs de transmission en télécommunication. Il est bien caché dans vos téléphones portables, mais il est là.

Connaissez-vous d’autres algorithmes dignes de figurer dans la liste ? les commentaires sont là pour les proposer.

11 juillet 2010 Publié par Dr. Goulu | Histoire, Informatique | | 15 commentaires

La forme du coeur

Enfin une explication rationnelle de la forme du cœur. Pas celle de l’organe mais celle du symbole de l’amour, celle que les filles aiment en bijou, les  garçons en gâteau et qui ne ressemble que très vaguement à une illustration anatomique.

Symbole de l'amour : la graine de silphium sur une pièce d'argent de 700 av JC

Une des représentations les plus anciennes de ce symbole figure sur les pièces  en argent de Cyrène datant de 700 av JC et représente des graines de silphium. Cette plante de la famille de la férule aujourd’hui disparue ne poussait que dans cette région de la Libye actuelle et était l’un de ses principaux produits, cité dans plusieurs textes anciens. Certains historiens vont jusqu’à penser que cette plante a justifié à elle seule la colonisation et la fondation de Cyrène par les Grecs.

Et à quoi donc servait cette plante si recherchée ? A beaucoup de choses assez habituelles pour des plantes « médicinales », mais surtout au contrôle des naissances. Ses vertus contraceptives étaient reconnues dans tout le monde antique et semblent bien avoir été réelles puisque dès la domination romaine sur Cyrène en 96 av JC, la natalité de la Rome antique pourtant à son apogée a baissé. A cette époque le médecin Soranus écrivit :

« les femmes doivent boire le jus de silphium avec de l’eau une fois par mois car il empêche non seulement la conception, mais détruit aussi tout ce qui existe. »

Récemment, des parents de la silphium été soumis à des tests de laboratoire. Asafoetida a réduit d’environ 50% la fécondité des rats et Jaeschikaena Ferula a été efficace à près de 100% lorsqu’ administrée dans les trois jours suivant la copulation.

Symbole de l'Amour s'il n'y avait pas eu la silphium ...

Durant le premier siècle av JC, la silphium était un produit très recherché, mais les tentatives de la cultiver ou la replanter ailleurs qu’en Cyrénaïque ont échoué. Selon Pline, les derniers plants de silphium ont été offerts à l’empereur Néron, donc vers l’an 60 de notre ère. Il n’est pas certain que la surexploitation soit la cause unique de la disparition de silphium, mais les fabricants de pilules contraceptives peuvent remercier les Romains de ne pas nous en avoir laissé quelques graines bien au sec…

Références

  1. Pline l’Ancien  » Histoire naturelle Livre XIX, 15« 
  2. The Cyrenaica Archaeological Project
  3. Alan Bellows « The Birth Control of Yesteryear« , 2007, damninteresting.com

24 mai 2010 Publié par Dr. Goulu | Biologie, Histoire, Société | 5 commentaires

Histoire d’angles

Combien d’unités de mesure des angles connaissez vous ? Il y a le degré, bien sur, le radian probablement, peut-être le grade, mais encore ?

"Angles, lines, light, and shadows" par Kefindooley sur flickr

Diviser un tour en 360 degrés est une excellente idée qu’a eu un illustre Babylonien anonyme il y a environ 4000 ans. Pourquoi 360 ? D’abord, 360 est un nombre hautement composé donc facile à diviser, et les Babyloniens comptaient en base 60. D’ailleurs ils divisèrent le degré en 60 minutes, et la minute en 60 secondes d’arc, et mêmes en tierces et quartes. Aussi probablement parce que 1° est un petit angle, mais un angle encore facilement mesurable à l’oeil: le diamètre angulaire de la Lune et du Soleil sont proches de 0.5°. Hipparque de Nicée trouva ces unités tellement pratiques et les publia si bien que le degré, la minute et la seconde sont aujourd’hui toujours les unités d’angle les plus utilisées. Il me semble bien que ce doit être la plus ancienne unité de mesure encore en usage, et de très loin.

Le radian a probablement été découvert le jour où l’illustre inventeur oublié de la roue a mesuré son rayon avec une ficelle et enroulé la ficelle sur le périmètre de son oeuvre. Il y ensuite été implicitement utilisé par tous les géomètres de l’Histoire, mais  mais ce n’est qu’en 1873 qu’un dénommé James Thomson imprima le mot « radian » sur des questions d’examen à ses étudiants 1,2. Le radian est une unité purement géométrique, directement liée à pi et indépendante de toute convention humaine. C’est pourquoi l’article de la Wikipedia sur le radian comporte deux informations contestables:

  1. le radian ne vaut pas environ 57,3°, c’est le degré qui vaut environ 0.0175 radians ;-)
  2. le radian n’est pas une unité dérivée du système international, car sa définition est totalement indépendante des unités MKSA, en particulier du mètre.

Le grade par contre est une vraie unité dérivée du système international, car elle est basée sur la définition du mètre de 1791 comme étant la dix-millionième partie d’un quart de méridien terrestre. En définissant un grade comme un 400ème de tour, on parcourait 100 km pour un grade sur une carte Michelin graduée dans ces unités, sur le méridien de Paris évidemment… Voilà donc une unité d’angle assez proche du degré mais moins pratique parce que 400 n’est pas hautement composé (8 diviseurs entiers contre 24 pour 360), et qui est liée à une unité de longueur alors que ni le degré ni le radian ne le sont… Après trois petits tours dans les classes hexagonales, le grade se dirige à grands pas vers la Poubelle de l’Histoire.

Toute cette longue introduction nous amène à une autre unité, peu connue et dont je voulais faire étalage :  le « pour mille d’artillerie ». Il y a si peu d’information sur ce terme que je pensais que ce n’était qu’une fantaisie suisse gravée sur les manivelles des canons que j’ai passé quelques semaines à pointer sur d’inoffensives montagnes sur lesquelles il fallait ensuite grimper pour chercher les obus non explosés qui auraient pu tuer des touristes (russes), voire des vaches. En fait le terme « pour mille d’artillerie » est un helvétisme du mil angulaire, un angle très proche du milliradian. Comme c’est un petit angle, sa tangente est presque égale à sa valeur en radians et vaut environ 1/1000, ce qui aide bien pour l’application sus-mentionnée : on tire à 10’000 m, ça pète 30 mètres à droite, hop, 3 pour mille à gauche, feu ! C’est bon, on peut ressortir les cartes de Jass et déboucher une autre bouteille..

Pour bien faire il faudrait environ 6283 mils par tour, mais 6400 est plus facile à diviser (25 diviseurs), et comme 6400=100 x 2^6, on peut même fabriquer un rapporteur gradué en mils en pliant un papier carré en deux par la diagonale, puis encore en deux par la bissectrice de l’angle de 45° et ainsi de suite plusieurs fois. Bref, le mil combine astucieusement la définition rigoureuse du radian, la divisibilité entière du degré (hélas pas par 3, mais par les puissances de 2 c’est bien utile aussi) et ajoute juste ce qu’il faut du système décimal. Une unité bien pratique, et pas seulement pour tirer sur ses voisins.

Je voulais encore citer d’autres unités d’angle découvertes en rédigeant cet article, notamment  le Du chinois, qui a une définition astronomique intéressante : il correspond au déplacement angulaire moyen du Soleil sur la voute céleste en 24h, soit 360°/ 365.25 [jours/an], ce qui donne un angle très proche du degré ! Les chinois avaient encore le cun, le chi et le zhang, mais c’étaient des unités pifométriques dont l’utilité se limite au Scrabble.

Références

  1. Trigo Historique
  2. Les origines des notations mathématiques

16 janvier 2010 Publié par Dr. Goulu | Géométrie, Histoire | 2 commentaires

Initiatives populaires

Chantier permanent, par StadtWanderer

Depuis 1848, les citoyens suisses jouissent du droit d’initiative populaire : il suffit que 100’000 citoyens (environ 2% du corps électoral) soutiennent une proposition de modification de la Constitution pour que l’adoption du texte soit soumise au vote de l’ensemble de la population*. C’est ainsi que l’Article 72, al. 3 de notre Constitution contient désormais 6 mots qui auraient à la rigueur pu figurer dans un règlement de construire local : « La construction de minarets est interdite.« 

Depuis 150 ans, seules 17 initiatives populaires ont été acceptées sur les 171 qui ont été soumises au vote. Beaucoup, à mon avis 13, concernaient des aspects plutôt émotionnels, liés à la morale, l’éthique ou la religion. Mais au moins 4 ont eu un impact décisif sur le pays :

Après quelques votes sur des textes à la limite de la violation de traités internationaux, certains proposent de limiter le droit d »initiative en soumettant les textes a une juridiction examinant leur compatibilité. En réalité, c’est déjà le cas : le Parlement a décidé dans quatre cas de ne pas soumettre une initiative au vote. Pourtant l’initiative de 1977 « contre la vie chère et l’inflation » est proche de celle acceptée en 1982 « tendant à limiter tout abus dans la formation des prix » (bravo ma maman!) et les deux initiatives sur le budget militaire de 1955 et 1995 étaient bien plus modérée que l’initiative de 2001 « pour une Suisse sans armée » qui a été soumise au vote, et dont le score de 35.8% a initié des réformes de l’armée dépassant les propositions des initiatives invalidées. Quant à l’initiative invalidée « pour une politique d’asile raisonnable » de 1996, beaucoup de ses exigences ont été satisfaites suite au net coup de barre à droite en la matière dès 1999…

Limiter le droit d’initiative n’a donc fait que de retarder le traitement politique de préoccupations de la population. Dans ce sens, les initiatives devraient être perçues comme des « signaux avancés » appelant une réaction politique mesurée, avant qu’un texte souvent extrême soit soumis au vote. La surprise de l’interdiction des minarets provient probablement de l’absence de signal avancé. Cette initiative était conçue comme un signal, son succès a surpris même les initiants. Peut-être devrait-elle servir de signal à nos voisins…

Ailleurs.

Outre en Suisse, la forme directe de l’initiative populaire n’existe que dans certains Etats des USA, qui se sont d’ailleurs inspirés de la démocratie directe suisse pendant leur période progressiste, il y a longtemps. Certains Etats limitent les domaines pouvant être sujet à initiative, d’autres imposent un nombre trop élevé de signatures pour que ce droit soit utilisable, mais la démocratie directe est bien vivante aux USA. On pourrait encore citer l’Italie, pays dans lequel 500’000 personnes peuvent demander un référendum sur l’abrogation d’une loi.

Partout ailleurs, le droit d’initiative est « indirect » : il permet aux citoyens de forcer leur pouvoir législatif à légiférer sur un sujet donné, mais pas à le voter directement.

En France, l’Article 11 de la Constitution de la Vème République introduit depuis 2008 la possibilité d’un « référendum législatif » à l’initiative de 10% des citoyens et de 20% du Parlement. Impossible. Ensuite, la proposition de loi est d’abord s0umise à l’Assemblée Nationale et au Sénat, et ce n’est que si le législatif ne parvient pas à se prononcer que la loi est soumise au référendum…  Re-impossible. Mais impossible n’est pas français, n’est-ce pas ?

Côté européen, le traité de Lisbonne introduit l’ « initiative citoyenne européenne » qui permettra à 1 millions de citoyens de forcer la Commission à soumettre un texte de loi. Beaucoup de détails sont encore à régler, si vous êtes citoyeu de l’UE vous avez jusqu’au 31 décembre pour vous exprimer, ou plutôt pour conquérir un droit très puissant, parce qu’on ne va pas vous l’offrir sur un plateau.

Note* Ailleurs, on appelle « référendum » le simple fait de faire voter la population; en Suisse ce terme est réservé aux votations obligatoires en cas de modification de la Constitution ou de signature de traités, ou aux votations sur des abrogations de lois réclamées par 50’000 citoyens.

Références:

  1. Le référendum d’Initiative Populaire, note de synthèse du Sénat
  2. le blog de Démocratie Directe, un français idéaliste…
  3. Initiative populaire sur Wikipedia. Je trouve cet article peu clair car mêlant les notions de démocratie directe et de démocratie participative.

13 décembre 2009 Publié par Dr. Goulu | Histoire, Politique, Suisse | , , | 5 commentaires

Longitude

le chronomètre H1 de John Harrisson © National Maritime Museum, Greenwich, London

Je viens de transférer « Longitude : l’histoire vraie du génie solitaire qui résolut le plus grand problème scientifique de son temps »¹ de la liste « bouquin à lire un jour » à la liste « bouquins lus et vivement recommandés ».

Je ne m’étais pas précipité pour le lire car je connaissais un peu l’histoire de John Harrisson, génial horloger anglais qui construisit dès 1734 les premières horloges suffisamment précises pour permettre aux navires de déterminer leur longitude en mer.

La talent de Dava Sobel est d’avoir replacé cette réalisation technique dans le contexte scientifique et économique de l’époque. Économique d’abord car les naufrages dus à une mauvaise estimation de la longitude coutaient cher en richesses submergées et en vies noyées. C’est d’ailleurs après le naufrage en 1707 de la flotte de l’amiral Clowdisley aux iles Scilly qui causa la mort de 2000 hommes que le roi promulgua le « Longitude  Act » en 1714 : celui qui parviendrait à déterminer la longitude d’un navire à moins de 30 milles près (~56 km) après 40 jours de navigation recevrait la somme fabuleuse de £20’000 de l’époque, soit environ 10 millions d’euros actuels, plus que tous les prix Nobel réunis!

Les navigateurs arrivaient à déterminer leur latitude avec cette « précision » déjà près d’un millénaire grâce aux astrolabes, et au début du XVIIIème, ils atteingnaient une précision d’environ un mille en latitude grâce au sextant. Pourquoi diable n’arrivait-on même pas à avoir une vague idée de la longitude ? Pourquoi ce défi était-il si difficile ?

« Longitude » explique bien la différence fondamentale entre les deux dimensions de la cartographie : la latitude est une valeur absolue, la longitude est relative à un méridien de référence arbitraire, actuellement celui de Greenwich. On peut donc déterminer sa latitude en observant la hauteur de quelques étoiles au dessus de l’horizon, alors que la longitude exige de mesurer une différence entre une observation locale et la même observation faite simultanément au méridien de référence.

Fondamentalement, tout le monde était d’accord : il fallait déterminer le décalage horaire entre Greenwich et le bateau. La solution évidente de nos jours du chronomètre (ou l’horloge atomique des satellites GPS), ne l’était pas du tout à l’époque. La Terre effectuant une rotation de 360° en 24 heures ou 1440 minutes, elle tourne d’un degré en 4 minutes. Pour remporter le prix du « Longitude Act », il fallait une horloge ne dérivant que d »une seconde sur un bateau secoué par les vagues, alors que les meilleures horloges fixes de l’époque dérivaient de plusieurs minutes par jour. Personne ne croyait qu’il soit possible de réaliser un mécanisme 100 à 1000 fois plus précis.

Puisqu’on utilisait l’observation astronomique pour remettre les pendules à l’heure, la majorité écrasante des scientifiques de l’époque estimaient que la solution était à trouver dans les cieux. D’autant  qu’un siècle plus tôt, en 1610, Gallilée découvrit les satellites de Jupiter et mit au point un système de mesure de la longitude² basé sur une table prédisant leurs (nombreuses) éclipses. Cette méthode permit à Cassini de cartographier les côtes françaises avec une précision de l’ordre de 10 km autour dans les années 1680, mais se révéla impraticable en mer. De plus, Ole Rømer s’aperçut qu’il fallait tenir compte de la vitesse de la lumière pour une mesure précise et fournit la première mesure raisonnable de la constante c.

Outre de nombreuses idées farfelues répertoriées dans le chapitre le plus amusant du livre, la méthode des « distances lunaires » avait les faveurs de bon nombre de scientifiques de l’époque, et notamment de l’astronome royal, Nevil Maskelyne que Dava Sobel dépeint comme un farouche adversaire de Harrisson.

Après une vie de travail, John Harrison et son fils William remportèrent en 1772 le prix avec l’extraordinaire montre  « de poche » H4, de 13 cm de diamètre et d’un poids de 1.5 kg qui n’a dérivé que de 5 secondes après une traversée de l’Atlantique de 2 mois, soit à peine plus d’un mille d’erreur en longitude!

Les montres de Harrisson et leurs copies réalisées par Kendall ont été utilisées pendant plus d’un siècle à bord des navires de Sa Majesté, leur fiabilité est telle que les exemplaires exposés au National Maritime Museum de Greenwich sont encore en état de marche.

Bon, je voulais écrire une critique de livre et j’ai pondu un article sur la longitude… Mais lisez ce livre, il est excellent.

Références:

  1. Dava Sobel, « Longitude : l’histoire vraie du génie solitaire qui résolut le plus grand problème scientifique de son temps », Lattès, Paris, 1995 (traduit de l’anglais par Gérald Messadié) ISBN 2709617439
  2. Michel Toulmonde « Galilée et les satellites de Jupiter
    au service de la cartographie au XVIIe siècle    « , Observatoire de Paris (SYRTE) et Université d’Evry 2009
  3. « John Harrison and the Longitude problem« , National Maritime Museum de Greenwich
  4. Jonathan Betts « John Harrison (1693–1776) and
    Lt. Cdr Rupert T. Gould R.N. (1890–1948)    « , National Maritime Museum / Royal Observatory, Greenwich

4 octobre 2009 Publié par Dr. Goulu | Histoire, Horlogerie, Livres | | 4 commentaires

« Articles précédents