Si on considère qu’un cerveau à autour de 10^15 synapses et que chacune peu être soit « excitée » soit « au repos » à un instant donné (infâme approximation d’informaticien, 1024 excuses…), alors il existe (au moins) 2^10^15 états possibles du cerveau. Là ça commence à faire un très grand nombre.

Mais un « très très très » grand nombre, c’est effectivement incommensurablement plus grand que tout ce que l’on peut imaginer. En fait c’est vachement plus grand que l’idée qu’ont la plupart des gens de l’infini…

mais peut-être que pour exprimer le nombre possible d’états du cerveau du joueur d’échec (eternel) devant résoudre l’ensemble des parties d’échec…. ça peut commancer de devenir utile

2) c’est une excellente question, à laquelle il est relativement simple de répondre si on pense que le nombre de chiffres du résultat d’un produit est au maximum la somme du nombre de chiffres des facteurs. Si je note a’ le nombre de chiffres de a, on a donc (a*b)’<=a’+b’. En utilisant la hiérarchie des opérateurs décrite dans l’article, on voit que (a^b)’<= a’*b . En poursuivant le raisonnement, on a (a^^b)’<= a’*a^b (et voila la merveilleuse démonstration qui prenait trop de place dans l’article ). Et ainsi de suite. Donc dès qu’il y a 3 flèches, il en faut 2 pour exprimer le nombre de chiffres du résultat. Mais qu’une seule pour le nombre de chiffres du nombre de chiffres du résultat… Je crois que j’ai une idée pour généraliser ceci avec une petite fonction Python qui dira par exemple que le nombre de chiffres du nombre de chiffres du nombre de chiffres de 99^^^99 est 4

3) oui ce débat est très intéressant. Personnellement je pense que les maths sont inventées par l’homme, et que les nombres sont une merveilleuse création de la faculté d’abstraction humaine. Que ce soit pi ou 9^^^^9, nous sommes capables de manipuler par la pensée, ou via des symboles très compacts, des concepts qui transcendent la nature physique de l’Univers. C’est en fait surtout cette notation compacte qui m’a intéressé, et le fait qu’elle permette de démontrer l’existence d’une solution incroyablement grande (le nombre de Graham) à un problème relativement simple à énoncer.

Exercice 2 : à partir de quel nombre (exprimé en puissance de Knuth) doit-on recourir à la notation de Knuth elle-même pour exprimer le *nombre de chiffres* du nombre désigné ?

Exercice 3 : dans le grand débat « les mathématiques sont-elles inventées par l’homme ou découvertes ? », quelle est la réalité de nombres qui planent quelques trilliards de trilliards d’ordres de grandeur au-dessus de toute quantité physique imaginable ? (On doit déjà avoir dépassé de quelques infinis le nombre de combinaisons possibles de tous les atome de tout le multivers non ?)

Ce qui me fascine aussi, c’est qu’un jour (peut-être dans des millions d’années), quelque part (pas forcément dans cette Galaxie), quelqu’un trouvera une utilisation pratique de ces délires.