Très très très grands nombres
Quel est le plus grand nombre entier que vous pouvez exprimer ? neuf milliards de milliards de milliards de (répéter quelques fois) milliards ? C’est un bon début, mais chaque « milliards de » n’ajoute que 9 zéros au nombre mais vous coute 12 lettres. Cherchez plus grand et plus court, disons en 5 caractères maximum.
99^99, où ^ signifie « à la puissance », est déjà mieux : ça donne un nombre de 197 chiffres. Mais on peut faire beaucoup mieux : 9^9^9 donne un nombre monstrueux [à condition de considérer que 9^9^9 signifie 9^(9^9) et non (9^9)^9 ] de 387’420’489 chiffres (J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l’écrire dans cette marge car elle est trop longue 
je la laisse donc à la sagacité du lecteur…)
A priori, de tels nombres n’ont aucune utilité : ils sont beaucoup plus grands que le nombre de particules dans l’Univers mais pourraient être intéressants tout de même : « Le problème avec les entiers est que nous avons seulement examiné les plus petits. Il se pourrait que les choses les plus extraordinaires arrivent pour des entiers réellement grands, ceux que l’on ne peut appréhender ou qu’on n’a simplement pas commencé à concevoir de manière très précise« . Ces mots sont de Ronald Graham, le mathématicien détenant le record du plus grand nombre entier utilisé dans une démonstration mathématique, le nombre de Graham. C’est la plus petite solution connue d’un problème apparemment simple, mais ce nombre est si extraordinairement grand qu’un ordinateur de la taille de l’Univers n’arriverait pas à le stocker en mémoire. Pourtant il figure (presque) en noir sur blanc dans la démonstration de Graham, qui utilise une notation mathématique adaptée.
Les « puissances itérées de Knuth » consistent à généraliser la progression entre les opérateurs considérés comme des itérations :
- l’addition a+b est équivalente à b incrémentations : a+b=a+1+1+…+1+1 avec b « +1″
- la multiplication a.b est équivalente à b additions : a.b=a+a+ … +a avec b « a »
- l’élévation à la puissance a^b est équivalente à b multiplications : a^b=a.a. …a avec b « a »
- ensuite, Knuth définit l’opérateur ↑↑ ainsi : a↑↑b est équivalent à b élévations successives à la puissance a : a↑↑b=a^a^a…^a, avec b-1 « ^a ».
Avec cette notation, notre 9^9^9 se note 9↑↑2, un nombre minuscule à côté de 9↑↑9, lui même ridicule comparé à 9↑↑99 qui tient en 5 caractères aussi … - On peut continuer en définissant a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑…↑↑a avec b-1 « ↑↑a ». Cet opérateur permet d’écrire les 5 caractères 9↑↑↑9, un nombre absolument titanesque. (qui arrivera à déterminer sa taille ?)
- Et évidemment, on peut continuer ainsi à l’infini en ajoutant des flèches, ou plus simplement définir un opérateur généralisé ↑n ainsi:
Outre sa beauté, cette généralisation des opérateurs mathématiques courants semble redoutablement puissante pour écrire de très très grands nombres.
Pourtant, nos amis mathématiciens ont éprouvé le besoin de manipuler des nombres encore plus grands de façon encore plus compacte et ont inventé les flèches chaînées de Conway :
- la chaine notée a→b→n est équivalente à a↑nb. Par exemple, notre 9^9^9 se note 9→9→2. Donc avec 5 caractères toujours, on peut écrire 9→9→9, un nombre colossalement plus grand.
- pour n=1, on ne note pas le 3ème terme de la chaîne et on retrouve l’exponentiation usuelle : 9→9=9^9
- mais on peut aussi allonger la chaine. Les chaines de longueur 4 ou plus permettent de manipuler des nombres encore plus grands à l’aide règles bien définies.
Concluons en revenant au nombre G de Graham. Il est défini comme le 64ème élément de la suite
4, 3↑↑↑↑3,3↑(3↑↑↑↑3)3, 3↑s33,…, 3↑s(n-1)3, … dans laquelle chaque élément donne le nombre de flèches dans l’élément suivant. Le 64ème élément a des milliards de milliards … de milliards de flèches. On ne sait pas directement l’écrire en chaine de Conway, mais on sait que G est compris entre
3→3→64→2 < G < 3→3→65→2
Plutôt compact pour des nombres qui n’ont pas beaucoup de chiffres à envier à l’infini …
sources :
- Ronald Graham et les mathématiques discrète sur le Blog à Maths
- Notation des puissances itérées de Knuth sur Wikipedia
- Flèche chaînée de Conway sur Wikipedia
- Factoids : big numbers
- Robert Munafo’s Large Numbers
6 commentaires »
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tombé sur un problème intéressant mentionné à cette page :
lequel de ces deux nombres est le plus grand ? A ou B ?
A = 2^79641170620168673833
B = 3^50247984153525417450
Exercice : exprimer le déficit budgétaire 2010 dans cette notation.
Exercice 2 : à partir de quel nombre (exprimé en puissance de Knuth) doit-on recourir à la notation de Knuth elle-même pour exprimer le *nombre de chiffres* du nombre désigné ?
Exercice 3 : dans le grand débat « les mathématiques sont-elles inventées par l’homme ou découvertes ? », quelle est la réalité de nombres qui planent quelques trilliards de trilliards d’ordres de grandeur au-dessus de toute quantité physique imaginable ? (On doit déjà avoir dépassé de quelques infinis le nombre de combinaisons possibles de tous les atome de tout le multivers non ?)
Ce qui me fascine aussi, c’est qu’un jour (peut-être dans des millions d’années), quelque part (pas forcément dans cette Galaxie), quelqu’un trouvera une utilisation pratique de ces délires.
1) 40 milliards d’euros, c’est entre 2^3^3 et 3^3^3. Mais il y a un gros trou entre les deux. 10^10 est plus proche.
2) c’est une excellente question, à laquelle il est relativement simple de répondre si on pense que le nombre de chiffres du résultat d’un produit est au maximum la somme du nombre de chiffres des facteurs. Si je note a’ le nombre de chiffres de a, on a donc (a*b)’<=a’+b’. En utilisant la hiérarchie des opérateurs décrite dans l’article, on voit que (a^b)’<= a’*b . En poursuivant le raisonnement, on a (a^^b)’<= a’*a^b (et voila la merveilleuse démonstration qui prenait trop de place dans l’article
). Et ainsi de suite. Donc dès qu’il y a 3 flèches, il en faut 2 pour exprimer le nombre de chiffres du résultat. Mais qu’une seule pour le nombre de chiffres du nombre de chiffres du résultat… Je crois que j’ai une idée pour généraliser ceci avec une petite fonction Python qui dira par exemple que le nombre de chiffres du nombre de chiffres du nombre de chiffres de 99^^^99 est 4 
3) oui ce débat est très intéressant. Personnellement je pense que les maths sont inventées par l’homme, et que les nombres sont une merveilleuse création de la faculté d’abstraction humaine. Que ce soit pi ou 9^^^^9, nous sommes capables de manipuler par la pensée, ou via des symboles très compacts, des concepts qui transcendent la nature physique de l’Univers. C’est en fait surtout cette notation compacte qui m’a intéressé, et le fait qu’elle permette de démontrer l’existence d’une solution incroyablement grande (le nombre de Graham) à un problème relativement simple à énoncer.
Après lecture de l’article je me suis dis que l’on pourrait utiliser cela pour exprimer le nombre de partie d’échecs possibles…. mais finalement c’est très décevant tant le nombre de partie d’échec possible est « ridiculement » faible pour cette notation (cf http://www.geocities.com/explorer127pl/szachy.html).
mais peut-être que pour exprimer le nombre possible d’états du cerveau du joueur d’échec (eternel) devant résoudre l’ensemble des parties d’échec…. ça peut commancer de devenir utile
10^40 positions possibles aux échecs, c’est pas mal, mais c’est juste un grand nombre, largement inférieur au nombre d’atomes de l’univers. 10^140 parties d’échecs distinctes, ça commence effectivement à être un assez grand nombre, mais ridicule par rapport au nombre de parties de Go autour de 10^768.
Si on considère qu’un cerveau à autour de 10^15 synapses et que chacune peu être soit « excitée » soit « au repos » à un instant donné (infâme approximation d’informaticien, 1024 excuses…), alors il existe (au moins) 2^10^15 états possibles du cerveau. Là ça commence à faire un très grand nombre.
Mais un « très très très » grand nombre, c’est effectivement incommensurablement plus grand que tout ce que l’on peut imaginer. En fait c’est vachement plus grand que l’idée qu’ont la plupart des gens de l’infini…
et le plus dingue, c’est de penser que quelquesoit l’entier naturel que l’on considère -aussi grand soit-il-, la probabilité d’en choisir un autre au hasard dans l’ensemble des entiers naturels qui lui soit plus petit est…0!